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\subsection{DFT und Chebyshev-Interpolation}
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Mithilfe der DFT können günstig und einfach die Chebyshev-Koeffizienten berechnet werden.
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Die Idee basiert auf dem Satz 2.4.16, durch welchen schon schnell klar wird, dass es eine Verbindung zwischen den Fourier-Koeffizienten und Chebyshev-Koeffizienten gibt.
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Die Chebyshev-Knoten sind folgendermassen definiert:
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\begin{align*}
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t_k := \cos\left( \frac{2k + 1}{2(n + 1)} \pi \right), \smallhspace k = 0, \ldots, n
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\end{align*}
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Mit den Hilfsfunktionen $g: [-1, 1] \rightarrow \C, s \mapsto f(\cos(2\pi s))$ und $q: [-1, 1] \rightarrow \C, s \mapsto p(\cos(2\pi s))$,
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können wir folgendes mit der Interpolationsbedingung $f(t_k) = p(t_k)$ tun:
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\begin{align*}
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f(t_k) = p(t_k) \Longleftrightarrow g\left( \frac{2k + 1}{4(n + 1)} \right) = p\left( \frac{2k + 1}{4(n + 1)} \right)
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\end{align*}
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Wir wenden nun die Translation $s^* = s + \frac{1}{4n + 1}$ an, die Hilfsfunktionen sind dann $g*(s) = g(s^*)$ und $q^*(s) = q(s^*)$
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und man kann zeigen (Seite 101 im Skript), dass $q^*$ das trigonometrische Interpolationspolynom von $g^*$ ist,
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also kann man eine Chebyshev-Interpolation durch eine DFT durchführen.
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Folglich überträgt sich auch die Fehlerabschätzung. Die Interpolationsbedingungen sind folgendermassen definiert:
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\begin{align*}
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q\left( \frac{k}{2(n + 1)} + \frac{1}{4(n + 1)} \right) = z_k :=
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\begin{cases}
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y_k & \text{ für } k = 0, \ldots, n \\
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y_{2n + 1 - k} & \text{ für } k = n, \ldots, 2n + 1
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\end{cases}
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\end{align*}
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Um das ganze zu implementieren ist eine andere Darstellung nützlich.
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