mirror of
https://github.com/janishutz/eth-summaries.git
synced 2025-11-25 18:44:24 +00:00
56 lines
3.6 KiB
TeX
56 lines
3.6 KiB
TeX
\newpage
|
|
\subsection{Beweise der Nichtexistenz}
|
|
Im Gegensatz zum Beweis, dass eine bestimmte Klasse von Programmen (Algorithmen) ein Problem lösen kann
|
|
(was ein einfacher Existenzbeweis ist, bei welchem man eine korrekte Implementation liefern kann),
|
|
ist der Beweis, dass diese Klasse von Programmen (Algorithmen) dies nicht tun kann viel schwieriger,
|
|
da man (logischerweise) nicht für alle (undendlich vielen) Programme zeigen kann, dass sie das Problem nicht lösen.
|
|
|
|
In diesem Kurs werden wir aber vorerst nur die Klasse der endlichen Automaten behandlen, welche sehr stark eingeschränkt sind,
|
|
was diese Beweise verhältnismässig einfach macht.
|
|
Falls also ein EA $A$ für zwei unterschiedliche Wörter $x$ und $y$ im gleichen Zustand endet (also $\hdelta(q_0, x) = \hdelta(q_0, y))$),
|
|
so heisst das für uns von jetzt an, dass $A$ nicht zwischen $x$ und $y$ unterscheiden kann:
|
|
|
|
\begin{lemma}[]{Unterscheidung von Wörtern}
|
|
Sei $A$ ein EA über $\Sigma$ und $x \neq y \in \Sigma^*$ so dass
|
|
\begin{align*}
|
|
(q_0, x) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda) \text{ und } (q_0, y) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda)
|
|
\end{align*}
|
|
für ein $p \in Q$ (also $\hdelta_A (q_0, x) = \hdelta(q_0, y) = p(x, y \in \class [p])$).
|
|
Dann existiert für jedes $z \in \Sigma^*$ ein $r \in Q$, so dass $xz, yz \in \class[p]$, also gilt insbesondere
|
|
\begin{align*}
|
|
xz \in L(A) \Longleftrightarrow yz \in L(A)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{lemma}
|
|
Das obenstehende Lemma 3.3 ist ein Spezialfall einer Eigenschaft, die für jedes (deterministische) Rechnermodell gilt.
|
|
Es besagt eigentlich nichts anderes, als dass wenn das Wort $xz$ akzeptiert wird, so wird auch das Wort $yz$
|
|
|
|
Mithilfe von Lemma 3.3 kann man für viele Sprachen deren Nichtregularität beweisen.
|
|
|
|
\inlineex Sei $L = \{ 0^n1^n \divides n \in \N \}$.
|
|
Intuitiv ist diese Sprache Nichtregulär, da $n$ undendlich gross sein kann, aber ein EA logischerweise endlich ist.
|
|
Wir müssen hier nur formal ausdrücken, dass das Zählen benötigt wird, dass $L$ akzeptiert wird:
|
|
|
|
Dazu benutzen wir einen indirekten Beweis. Sei $A$ ein EA über $\alphabets{bool}$ und $L(A) = L$.
|
|
Wir betrachten die Wörter $0^1, 0^2, \ldots, 0^{|Q| + 1}$.
|
|
Weil wir $|Q| + 1$ Wörter haben, existiert $i, j \in \{ 1, 2, \ldots, |Q| + 1 \}$, so dass $\hdelta_A(q_0, 0^i) = \hdelta_A(q_0, 0^j)$,
|
|
also gilt nach Lemma $0^i z \in L \Leftrightarrow 0^j z \in L \smallhspace \forall z \in \wordbool$.
|
|
Dies gilt jedoch nicht, weil für jedes $z = 1^i$ zwar jedes $0^i 1^i \in L$ gilt, aber $0^j 1^j \notin L$
|
|
|
|
|
|
Um die Nichtregularität konkreter Sprachen zu beweisen, sucht man nach einfach verifizierbaren Eigenschaften,
|
|
denn wenn eine Sprache eine dieser Eigenschaften \textit{nicht} erfüllt, so ist sie nicht regulär.
|
|
|
|
% TODO: For Kolmogorov complexity elaborate some more, i.e. how to do proofs properly / how to derive a word more easily
|
|
% -> TA Slides explain that really well
|
|
|
|
Eine Methode zum Beweis von Aussagen $L \notin \mathcal{L}_{\text{EA}}$ nennt sich \bi{Pumping} und basiert auf folgender Idee:
|
|
Wenn für ein Wort $x$ und einen Zustand $p$ gilt, dass $(p, x) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda)$, so gilt auch für alle $i \in \N$, dass $(p, x^i) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda)$.
|
|
Also kann $A$ nicht zwischen $x$ und $x^i$ unterscheiden, oder in anderen Worten, wie viele $x$ er gelesen hat,
|
|
also akzeptiert $A$ entweder alle Wörter der Form $yx^iz$ (für $i \in \N$) oder keines davon
|
|
|
|
\begin{lemma}[]{Pumping-Lemma für reguläre Sprachen}
|
|
Sei $L$ regulär. Dann existiert ein Wort $w \in \word$
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
Bei der Wahl von den Teilen von $w$ sollte man idealerweise einen Teil bereits gross genug zu wählen, so dass (i) zutrifft, was es nachher einfacher macht.
|