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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage[landscape, left=0.75cm, top=1cm, right=0.75cm, bottom=1.5cm, footskip=15pt]{geometry}
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\usepackage{flowfram}
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\ffvadjustfalse
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\setlength{\columnsep}{1cm}
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\Ncolumn{3}
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% TCB boxes for important stuff
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\usepackage[many]{tcolorbox}
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\tcbset {
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base/.style={
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title={#1}
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}
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\newtcolorbox{subbox}[1]{
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% Mathematical typesetting & symbols
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\usepackage{amsthm, mathtools, amssymb}
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\usepackage{marvosym, wasysym}
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\allowdisplaybreaks
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% Tables
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\usepackage{tabularx, multirow}
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\usepackage{booktabs}
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\renewcommand*{\arraystretch}{2}
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% Make enumerations more compact
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\usepackage{enumitem}
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\setitemize{itemsep=0.5pt}
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\setenumerate{itemsep=0.75pt}
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% To include sketches & PDFs
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\usepackage{graphicx}
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% For hyperlinks
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\usepackage{hyperref}
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\hypersetup{ colorlinks=true }
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% Fomatting
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{parskip} % Disables new paragraph indent
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% Metadata
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\title{Analysis I}
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\author{Robin Bacher}
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\date{FS 2025}
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% Math helpers
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\def\limxo{\lim_{x\to 0}}
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\def\limxi{\lim_{x\to\infty}}
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\def\limxn{\lim_{x\to-\infty}}
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\def\sumk{\sum_{k=1}^\infty}
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\def\sumn{\sum_{n=0}^\infty}
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\def\dx{\text{ d}x}
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\def\R{\mathbb{R}}
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\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\N{\mathbb{N}}
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\def\C{\mathbb{C}}
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\def\Z{\mathbb{Z}}
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\def\Def{\overset{\text{def.}}{\iff}}
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\def \cgeq{\succcurlyeq}
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\def \cleq{\preccurlyeq}
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\def \limn{\lim\limits_{n \to \infty}}
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\def \limi{\liminf\limits_{n \to \infty}}
|
|
\def \lims{\limsup\limits_{n \to \infty}}
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% Custom resets
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\renewcommand{\arraystretch}{1.3} % Decrease row height
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\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
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\begin{document}
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\section{Grundlagen}
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\textbf{Axiome der reelen Zahlen}
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$\R$ ist ein kommutativer, angeordneter \& ordnungsvollständiger Körper. Ordnungsvollständigkeit unterscheidet $\R$ von $\Q$.\\
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\small
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|
$
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\begin{array}{lll}
|
|
\arraycolsep=1.4pt
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|
A1 & \forall x,y,z \in \R & x + (y + z) = (x + y) + z\\
|
|
A2 & \forall x \in \R & x + 0 = x \\
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|
A3 & \forall x \in \R \ \exists y \in \R & x + y = 0 \\
|
|
A4 & \forall x, z \in \R & x + z = z + x \\
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|
\hline
|
|
M1 & \forall x,y,z \in \R & x \cdot ( y \cdot z ) = (x \cdot y ) \cdot z \\
|
|
M2 & \forall x \in \R & x \cdot 1 = x \\
|
|
M3 & \forall x \neq 0 \in \R \exists y \in \R & x \cdot y = 1 \\
|
|
M4 & \forall x,z \in \R & x \cdot z = z \cdot x \\
|
|
D & \forall x,y,z \in \R & x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \\
|
|
\hline
|
|
O1 & \forall x \in \R & x \leq x \\
|
|
O2 & \forall x,y,z \in \R & x \leq y \land y \leq z \implies x \leq z \\
|
|
O3 & \forall x,y \in \R & x \leq y \land y \leq x \implies x = y \\
|
|
O4 & \forall x,y \in \R & x \leq y \lor y \leq x \text{ (Total)} \\
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|
\hline
|
|
K1 & \forall x,y,z \in \R & x \leq y \implies x + z \leq y + z \\
|
|
K2 & \forall x \geq 0, y \geq 0 \in \R & x \cdot y \geq 0 \\
|
|
\end{array}$
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|
\\
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\normalsize
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|
\textbf{Ordnungsvollständigkeit} \\
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$\forall A,B \neq \emptyset \subseteq \R \quad$ s.d. $\quad \forall a \in A, b \in B\ \quad (a \leq b) :\\
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\exists c \in \R : \quad \forall a \in A \ \forall b \in B \quad (a \leq c \land c \leq b)$
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|
\textbf{Archimedisches Prinzip} \\
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$\forall x > 0, y \in \R \quad \exists n \in \N : \quad (y \leq n \cdot x)$
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\textbf{Absolutbetrag} \\
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$\begin{array}{lcl}
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|
\text{Def:} & \forall x \in \R & |x| := \max\{x,-x\} \\
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|
\hline
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|
(i) & \forall x \in \R & |x| \geq 0 \\
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|
(ii) & \forall x,y \in \R & |xy| = |x|\ |y| \\
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|
(iii) & \forall x,y \in \R & |x + y| \leq |x| + |y| \\
|
|
(iv) & \forall x,y \in \R & |x + y| \geq |x| - |y| \\
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|
\end{array}
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|
$
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|
\textbf{Young'sche Ungleichung}\\
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$\forall \epsilon > 0\ \forall x,y \in \R : \quad 2|xy| \leq \epsilon x^2 + \frac{1}{\epsilon}y^2$
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|
\textbf{Bernoulli Ungleichung}\\
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|
$\forall n \in \N, x > -1 \quad \quad (1+x)^n \geq 1 + n \cdot x$
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\begin{subbox}{Infimum \& Supremum}
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\footnotesize
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Für $A \subseteq \R$:\\
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\normalsize
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$\begin{array}{ccl}
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\sup A := & \begin{cases}
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|
\min\{c \in \R \ |\ \forall a \in A:\ a \leq c \} \\
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|
+\infty\quad \text{\footnotesize falls oben unbeschr.}
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|
\end{cases} \\
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|
\inf A := & \begin{cases}
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|
\max\{c \in \R \ |\ \forall a \in A: c \leq a\} \\
|
|
- \infty \quad \text{\footnotesize falls unten unbeschr.}
|
|
\end{cases} \\
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|
\end{array}$
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|
\end{subbox}
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|
% \textbf{Infimum \& Supremum}\\
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|
% Für $A$ nach oben / unten beschränkt:
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% $\begin{array}{ccl}
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|
% \sup A := & \min (c) & \quad \text{ s.d. } \quad \forall a \in A a \leq c\\
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|
% \inf A := & \max (c) & \quad \text{ s.d. } \quad \forall a \in A c \leq a\\
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|
% \end{array}$
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% Sonst: $ \quad \sup A = + \infty \quad \inf A = - \infty$
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\textbf{Monotonie}\\
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Für $f: D \rightarrow \R,\quad D \subset \R, \quad x,y \in D$:
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$\begin{array}{lcl}
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|
\text{mon. wachsend} &\Def& x \leq y \implies f(x) \leq f(y)\\
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|
\text{str. mon. wachs.} &\Def& x < y \implies f(x) < f(y)\\
|
|
\text{mon. fallend} &\Def& x \geq y \implies f(x) \geq f(y)\\
|
|
\text{str. mon. fallend} &\Def& x < y \implies f(x) < f(y)
|
|
\end{array}$
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|
\textbf{Intervalle}\\
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|
Untermengen von $\R$.
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$\begin{array}{lcl}
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|
\text{offenes Intervall} &\Def& (a,b) = \{x \in \R\ |\ a <x < b \}\\
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|
\text{geschl. Intervall} &\Def& [a,b] = \{x \in \R\ |\ a \leq x \leq b \}\\
|
|
\text{kompakt} &\Def& I = [a,b],\quad a \leq b
|
|
\end{array}$\\
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|
Länge $\mathcal{L}(I) := \begin{cases}
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|
b-a & \exists a,b: a \leq b,\quad [a,b] = I\\
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|
+\infty & \text{else}
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|
\end{cases}$
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\textbf{Satz von Cauchy-Cantor}\\
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\color{gray}\footnotesize
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$I_1 \supseteq I_2 \supseteq \ldots \supseteq I_n \supseteq I_{n+1} \supseteq \ldots$ s.d. $\forall i \geq 1: I_i$ kompakt.
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\color{black}\normalsize
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|
|
$\mathcal{L}(I_1) < +\infty \implies \underset{n \geq1}{\bigcap} I_n \neq \emptyset$
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|
\textbf{Injektivität \& Surjektivität}\\
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|
Für eine Funktion $f:X\rightarrow Y$:
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$\begin{array}{lcll}
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|
\text{Injektiv} &\Def& \forall a,b \in X: & f(a)=f(b) \implies a = b\\
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|
\text{Surjektiv} &\Def& \forall y \in Y: & \exists x \in X: f(x) = y\\
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|
\end{array}$
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|
\textbf{Quadratische Gleichungen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$a,b,c \in \R,\quad a \neq 0$
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\normalsize\color{black}
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|
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2\cdot a}\quad\quad\quad D = b^2-4\cdot a\cdot c$
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|
\textbf{Binomialkoeffizient}\\
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\color{gray}\footnotesize
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|
$n,k \in \N^*,\quad n \geq k$\\
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\color{black}\normalsize
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|
$\binom{n}{k}:= \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\quad\quad\quad\quad$
|
|
$(a+b)^n = \sum^n_{k=0}\binom{n}{k}a^{n-k}\cdot b^k$
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|
\newpage
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\section{Folgen}
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$\begin{array}{llll}
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|
\textbf{Folge} & (a_n)_{n\geq1} & a: & \N^* \rightarrow \R\\
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|
\textbf{Teilfolge } & (a_{l(n)})_{l(n) \geq 1} & l: & \N^* \rightarrow \N^* \ \forall n \ l(n) < l(n+1)
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\end{array}$
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\begin{subbox}{Limes}
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$\limn (a_n) := l \quad \text{ist eindeutig definiert, falls:}\\\\
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|
(i)\quad\ \forall \epsilon > 0: \quad \{ n \in \N\ |\ a_n \notin\ ]l-\epsilon, l+\epsilon [\ \} \text{ ist endlich}\\
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|
(ii)\quad \forall \epsilon > 0, \ \exists N \geq 1 : \quad |a_n - l| < \epsilon,\ \forall n \geq N$
|
|
\end{subbox}
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|
\textbf{Konvergenz}\\
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|
$(a_n)_{n \geq 1}$ ist konvergent, falls $\limn a_n$ existiert. \\
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|
Konvergente Folgen sind immer beschränkt.\\
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\footnotesize\color{gray}
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Nicht umgekehrt: $(-1)^n$ ist beschränkt, aber nicht konvergent.
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\normalsize\color{black}
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\textbf{Rechenregeln Limes}\\
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Für konvergente $(a_n)_{n\geq1}, (b_n)_{n\geq1}$:
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$\begin{array}{cccc}
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(i) & \limn (a_n + b_n) & = & \limn (a_n) + \limn (b_n) \\
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|
(ii) & \limn (a_n \cdot b_n) & = & \limn (a_n) \cdot \limn (b_n) \\
|
|
(iii) & \limn (\frac{a_n}{b_n}) & = & \limn (a_n) \setminus \limn (b_n) \\
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|
\text{wobei} & \forall n \geq 1 (b_n \neq 0) & \land & \limn (b_n) \neq 0 \\
|
|
(iv) & \exists K\ \forall n \geq K (a_n \leq b_n) & \implies & \limn(a_n) \leq \limn (b_n)
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\end{array}
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$
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\begin{subbox}{Limes Inferior \& Limes Superior}
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Für $(a_n)_{n \geq 1}$ beschränkt:\\
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$b_n := \inf \{ a_k \ | \ k \geq n \} \quad \quad c_n := \sup \{ a_k \ | \ k \geq n \}$
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\begin{align*}
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\limi(a_n) := \limn(b_n)\\
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|
\lims(a_n) := \limn(c_n)
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|
\end{align*}
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|
$\forall n \in \N (b_n \leq c_n) \implies \limi(a_n) \leq \lims(a_n)$
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\end{subbox}
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\textbf{Komplement-Trick}\\
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Nützlich für einige Grenzwerte:
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\small
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$$\sqrt{ax + b} -\sqrt{cx+d} = \frac{ax+b - (cx+d)}{\sqrt{ax+b}+\sqrt{cx+d}}$$
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\normalsize
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|
\newpage
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|
\textbf{Komplexe Folgen}\\
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\color{gray}\footnotesize
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|
$(b_n)_{n\geq1} \in \R,\quad (a_n)_{n\geq1} \in \C$
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\color{black}\normalsize
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|
In $\C$ gelten die selben Resultate, aber:
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$(i)\quad \ \forall n \in \N :\ |a_n| \leq b_n \land \limn(b_n)=0 \Rightarrow \limn(a_n) = 0\\
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(ii)\quad \liminf(a_n) \text{ und } \limsup(a_n) \text{ existieren nicht.}
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|
$
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|
$(a_n)_{n\geq1} \in \C \text{ konv.} \iff (\Re(a_n))_{n\geq1},\ (\Im(a_n))_{n\geq1} \text{ konv.}$
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\subsection{Konvergenzkriterien}
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\begin{subbox}{Monotoner Konvergenz-Satz}
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$(a_n)_{n \geq 1} \text{ mon. fallend}, (b_n)_{n \geq 1} \text{ mon. steigend}$:
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$\begin{array}{lcr}
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|
a_n \text{ unten beschr: } & \implies \limn(a_n) = \inf \{a_n\ |\ n \geq 1 \}\\
|
|
b_n \text{ oben beschr: } & \implies \limn(b_n) = \sup \{b_n\ |\ n \geq 1 \}
|
|
\end{array}$
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|
\end{subbox}
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|
\begin{subbox}{Sandwich-Satz}
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|
$(a_n), (b_n), (c_n) \text{ s.d. } \forall n \in \N: a_n \leq b_n \leq c_n$\\
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|
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|
$\limn(a_n) = \limn(c_n) = A \implies \limn(b_n) = A$
|
|
\end{subbox}
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|
|
\textbf{Cauchy Kriterium I}\\
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|
$(a_n)_{n \geq 1} \text{ beschr. } \land \ \limi(a_n) = \lims(a_n)$
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|
|
\textbf{Cauchy Kriterium II}\\
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|
$\forall \epsilon > 0\ \exists N \geq 1 : \quad |a_n - a_m| < \epsilon \quad \forall n,m \geq N$
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|
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|
\textbf{Bolzano-Weierstrass}\\
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|
$(a_n)_{n \geq 1}$ beschr. $\implies$ Ex existiert konv. Teilfolge $(b_n)_{n \geq 1}$
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|
$\limi(a_n) \leq \limn(b_n) \leq \lims(a_n)$
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\section{Reihen}
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\textbf{Reihe} $\quad\quad\quad(S_n)_{n\geq1}$ s.d. $S_n := \sum_{k=1}^na_k$
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\textbf{Konvergenz} $\quad \sum_{k=0}^{\infty}a_k := \limn \sum_{k=0}^n a_k$
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|
\textbf{Absolute Konvergenz}\\
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|
$\sumk | a_k |$ konv. $ \implies \sumk a_k $ konv.
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|
$\forall (a_k)_{k\geq1}:\quad | \sumk a_k | \leq \sumk | a_k |$
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|
\textbf{Rechenregeln}\\
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|
Für konvergente Reihen $\sumk a_k$, $\sum_{j=1}^\infty b_j$, $\alpha \in \R$:
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$\begin{array}{llll}
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|
(i) & \sumk (a_k + b_k) & = & (\sumn a_k) + (\sum_{j=1}^\infty b_j) \\
|
|
(ii) & \sumk (\alpha \cdot a_k) & = & \alpha \cdot (\sumk a_k)
|
|
\end{array}$
|
|
|
|
\textbf{Konvergente Reihen sind Nullfolgen}\\
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|
$\sumn a_n$ konv $\implies \limn a_n = 0$\\
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|
\footnotesize\color{gray}
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|
Nicht umgekehrt: $\sumn\frac{1}{n}$ divergiert, obwohl $\limn \frac{1}{n}=0$.
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|
\normalsize\color{black}
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|
|
\textbf{Doppelfolge} $(a_{i,j})_{i,j\geq1}$
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|
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|
\textbf{Doppelreihe} $\sum_{i=0}^\infty(\sum_{j=0}^\infty a_{i,j})$, $\quad \sum_{j=0}^\infty(\sum_{i=0}^\infty a_{i,j})$\\
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|
\color{gray}\footnotesize
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|
Die beiden Grenzwerte können verschieden sein.
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\color{black}\normalsize
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|
\textbf{Cauchy}
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|
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|
$\exists B \geq 0:\quad \sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^m|a_{i,j}| \leq B \quad \forall m \geq 0$\\
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|
$\implies S_i := \sum_{j=0}^\infty a_{ij}$ und $U_j := \sum_{i=0}^\infty a_{i,j}$ konv. abs.
|
|
|
|
$\sum_{i=0}^\infty S_i = L_1$ und $\sum_{j=0}^\infty U_j = L_2$ konv. abs. s.d. $L_1 = L_2$.
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|
|
|
Jede Anordnung $\sigma: \N \rightarrow \N \times \N$ s.d. $b_k := a_{\sigma(k)}$ konv. abs.
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|
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\textbf{Cauchy Produkt}\\
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$\sumn(\sum_{j=0}^n a_{n-j}\cdot b_j)\\
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|
= a_ob_0 + (a_ob_1 + a_1b_0) + (a_ 0b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) + \ldots$
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|
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|
\subsection{Konvergenzkriterien}
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\begin{subbox}{Vergleichssatz}
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Für $\sumk a_k$, $\sumk b_k$ mit $\forall k \geq 1 \ (0 \leq a_k \leq b_k)$\\
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oder $\exists K \geq 1 \ (0 \leq a_k \leq b_k) \ \forall k \geq K$
|
|
|
|
$\begin{array}{lll}
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|
\sumk b_k \text{ konv. } & \implies & \sumk a_k \text{ konv. } \\
|
|
\sumk a_k \text{ div. } & \implies & \sumk b_k \text{ div.}
|
|
\end{array}$
|
|
\end{subbox}
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|
|
|
\textbf{Cauchy Kriterium}\\
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|
$\forall \epsilon > 0 \ \exists N \geq 1 \quad \quad | \sum_{k=n}^m a_k | < \epsilon \quad\quad \forall m \geq n \geq N$
|
|
|
|
\textbf{Monotoner Konvergenz-Satz}\\
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|
$\forall k \in \N^* ( a_k \geq 0) \text{ konv. } \iff \sum_{k=1}^n a_k \text{ oben beschränkt}$
|
|
|
|
\textbf{Leibniz}\\
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|
Für $(a_n)_{n \geq 1}$ mon. fall. und $\forall n (a_n \geq 0)$, $\limn a_n = 0$:\\
|
|
$\sumk (-1)^{k+1} a_k$ konv.
|
|
|
|
%$a_1 - a_2 \quad \leq \quad \sumk (-1)^{k+1} a_k \quad \leq \quad a_1$
|
|
|
|
\textbf{Dirichlet}\\
|
|
$\sumk a_k$ abs. konv.\\
|
|
$\implies$ $\forall \phi:\N^*\rightarrow\N^* \ (\text{bijektiv}): \sumk a_{\phi(k)}$ abs. konv.
|
|
|
|
$\sumk a_k = \sumk a_{\phi(k)}$, unabh. von $\phi$.
|
|
|
|
\begin{subbox}{Quotientenkriterium}
|
|
$\lims \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1 \implies \sumn a_n$ abs. konv.
|
|
|
|
$\lims \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > 1 \implies \sumn a_n$ div.\\\\
|
|
\footnotesize\color{gray}
|
|
Wobei $(a_n)_{n \geq 1}$ mit $\forall n (a_n \neq 0)$
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\normalsize\color{black}
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\end{subbox}
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\begin{subbox}{Wurzelkriterium}
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$\lims |a_n|^\frac{1}{n} < 1 \implies \sumn a_n$ abs. konv.
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$\lims |a_n|^\frac{1}{n} > 1 \implies \sumn a_n$ div.
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\end{subbox}
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Beide Kriterien geben keine Aussage bei genau $0$.
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\subsection{Fundamentalreihen}
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\begin{subbox}{Potenzreihen (Konvergenzradius)}
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$\sumk c_k z^k$ abs. konv. $\impliedby |z| < \rho$\\
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$\sumk c_k z^k$ div. $\quad\quad\ \ \impliedby |z| > \rho$\\
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$\rho = \begin{cases}
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\begin{array}{ll}
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|
+ \infty, & \lims |c_k|^\frac{1}{k} = 0\\
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|
(\lims |c_k|^\frac{1}{k})^{-1}, & \lims |c_k|^\frac{1}{k} > 0
|
|
\end{array}
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|
\end{cases}$
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\end{subbox}
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\textbf{Geometrische Reihe}\\
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$\sumn q^n = \frac{1}{1-q} \iff |q| < 1$
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\textbf{Harmonische Reihe}\\
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$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty$
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\textbf{Zeta Funktion}\\
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$\zeta(s) = \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^s}$ konv. $\iff s > 1$
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\textbf{Exponentialfunktion}\\
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$\exp(z) := \sumn \frac{z^n}{n!} = e^z$ konv. $\forall z \in \C$
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\newpage
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\section{Stetige Funktionen}
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\footnotesize\color{gray}
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$D \subset \R, \quad x_0 \in D, \quad f,g:D\rightarrow\R, \quad \lambda \in \R$
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\normalsize\color{black}
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\textbf{Stetigkeit}\\
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$f \text{ stetg in } x_0 \Def \forall\epsilon>0,\exists\delta>0: \forall x \in D: $\\
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$|x-x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$
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$f$ stetig $\Def \forall x \in D:$ $f$ stetig in $x$
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\begin{subbox}{Stetigkeit durch Folgen}
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$f$ stetig in $x_0$ $\iff \forall (a_n)_{n\geq1} \in D:\\
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\limn a_n = x_0 \implies \limn f(a_n) = f(x_0)$
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\end{subbox}
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\textbf{Rechenregeln}\\
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Für $f,g$ stetig in $x_0$:
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$(i)\ \quad f + g, \quad\quad \lambda \cdot f,\quad\quad f \cdot g$\\
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$(ii)\quad g(x_0) \neq 0 \implies \frac{f}{g}: \{ x \in D \ |\ g(x) \neq 0 \} \rightarrow \R $
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sind stetig in $x_0$.
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\subsection{Theoreme}
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\begin{subbox}{Zwischenwertsatz}
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$\forall c \in \R: f(a) \leq c \leq f(b)\\
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\implies \exists z \in I: a \leq z \leq b \land f(z) = c$\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$I \subset R$ (Intervall), $f: I \rightarrow \R$ (stetig), $a,b \in I$
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\normalsize\color{black}
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\end{subbox}
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\textbf{Polynom-Nullstellen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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Für alle $P: \R \rightarrow \R,\quad P(x) = a_nx^n+\ldots+a_0:$\\
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\normalsize\color{black}
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$a_n \neq 0 \land n \equiv_2 1 \implies \exists x \in \R: P(x) = 0$
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\begin{subbox}{Min-Max-Satz}
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Stetige $f$ sind auf $I$ immer beschränkt.\\
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$\exists u,v \in I:\quad f(u) \leq f(x) \leq f(v)\quad \forall x \in I$
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f:I = [a,b] \rightarrow \R,\quad f \text{ stetig auf }I,\quad I \text{ ist kompakt}$
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\normalsize\color{black}
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\end{subbox}
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|
\textbf{Stetigkeit in Kompositionen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$D_1,D_2 \subset \R,\quad f:D_1\rightarrow D_2,\quad g:D_2\rightarrow \R$\\
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\normalsize\color{black}
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|
$f,g$ stetig in $x_0, f(x_0) \implies g \circ f: D_1 \rightarrow \R$ in $x_0$ stetig.\\
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|
$f,g$ stetig $\quad\quad\quad\quad\quad\ \implies g \circ f: D_1 \rightarrow \R$ stetig
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|
\textbf{Stetigkeit der Umkehrabbildung}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$I = [a,b] \subset \R$ ist ein Intervall\\
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\normalsize\color{black}
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$f: I \rightarrow \R$ stetig, str. mon.\\
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|
$\implies f^{-1}: f(I) \subset \R \rightarrow I$ stetig, str. mon.\\
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\& $\ \ \ f(I) = [f(a), f(b)]$ ist ein Intervall.
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\subsection{Funktionenfolgen}
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\textbf{Funktionenfolge}
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$\quad (f_n)_{n\geq1}$
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Formal: eine Abbildung $\N \rightarrow \R^D$ s.d. $n \mapsto f(n) =: f_n$
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\textbf{Punktweise Konvergenz}\\
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$(f_n)_{n\geq1}$ konv. pw. gegen $f: D \rightarrow \R$, wenn:\\
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$\forall x \in D: f(x) = \limn f_n(x)$
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$f$ muss nicht stetig sein, auch wenn $\forall n \in \N: f_n$ stetig.
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\begin{subbox}{Gleichmässige Konvergenz}
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$(f_n)_{n\geq1}$ konv. glm. gegen $f: D \rightarrow \R$, wenn:\\
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$\forall \epsilon > 0, \exists N \geq 1: \forall n \geq N, \forall x \in D: |f_n(x)-f(x)| < \epsilon$\\
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Wobei $N$ nur von $\epsilon$ abh. (nicht von $x$).
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$f_n$ glm. konv. $\implies f_n$ pw. konv.
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\end{subbox}
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\textbf{Altenative Definition für gleichmässige Konvergenz}\\
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$\limn \underset{x \in D}{\sup} |f_n(x)-f(x)| = 0 \iff f_n$ glm. konv. gegen $f$.
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|
\textbf{Gleichmässige Konvergenz ist stetig}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$D \subset \R,\quad f_n:D\rightarrow \R,\quad f:D\rightarrow \R$\\
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\normalsize\color{black}
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|
$\forall n \in \N: f_n$ stetig in $D$, glm. konv. gegen $f$\\
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$\implies f$ auch stetig in $D$.
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Es folgt: $f$ nicht stetig $\implies$ $f_n$ nicht glm. konv.
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\textbf{Cauchy Kriterium}\\
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$f_n:D\rightarrow \R$ konv. glm. in $D$, wenn:\\
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$\forall \epsilon > 0, \exists N \geq 1: \forall n,m \geq N, \forall x \in D: |f_n(x)-f_m(x)| < \epsilon$
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\textbf{Limes-Funktion stetiger glm. konv. Folgen}\\
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|
$f_n:D\rightarrow\R$ glm. konv. Folge stetiger Funktionen.\\
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$\implies f(x) := \limn f_n(x)$ ist stetig.
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\textbf{Glm. Konvergenz von Funktionenreihen}\\
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$\sum^\infty_{k=0} f_k(x)$ konv. glm. in $D$, falls:\\
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|
$S_n(x) := \sum^n_{k=0}f_k(x)$ glm. konv. ist.
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\textbf{Vergleichssatz für stetige Funk.-Reihen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$D \subset \R,\quad f_n:D\rightarrow \R,\quad \text{alle } f_n \text{ stetig}$\\
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\normalsize\color{black}
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$\forall x \in D: |f_n(x)| \leq c_n$ für $(c_n)_{n\geq1}$ s.d. $\sumn c_n$ konv.\\
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$\implies \sumn f_n(x)$ konv., $f(x) := \sumn f_n(x)$ stetig in $D$.
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\textbf{Potenzreihen}\\
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$\sum_{k=0}^\infty c_kx^k$ s.d. $\rho > 0$, $\quad f(x) := \sum_{k=0}^\infty c_kx^k,\quad |x| < \rho$
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$\implies \forall 0 \leq r < \rho:\quad \sum_{k=0}^\infty c_kx^k$ konv. glm. in $[-r, r]$\\
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|
\& $\ \ \ \ f: (-\rho, \rho) \rightarrow \R$ ist stetig.
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\subsection{Grenzwerte von Funktionen}
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\footnotesize\color{gray}
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$D\subset \R,\quad f,g:D\rightarrow\R.\quad x_0 \in \R$ ist Häufungspunkt für $D$
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\normalsize\color{black}
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\textbf{Häufungspunkt}\\
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$x_0 \in \R$ ist ein Häufungspunkt in $D$, falls:\\
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$\forall\delta>0:(\ (x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{\ x_0\} \ ) \cap D \neq \emptyset$\\
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Man kann (in $D$) beliebig nah zu $x_0$, wobei $x_0 \notin D$ möglich.
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\textbf{Grenzwert für Funktionen}\\
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$\underset{x \to x_0}{\lim}f(x) = L$, wenn für $L$ gilt:
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$\forall \epsilon > 0,\exists \delta > 0:\\
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\forall x \in D \cap (\ (x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{\ x_0 \} \ ):\quad |f(x)-L|<\epsilon$
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\textbf{Grenzwert durch Folgen}\\
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$\underset{x \to x_0}{\lim}f(x) = L$ gdw.\\
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|
$\forall(a_n)_{n\geq1}$ in $D\setminus\{x_0\}$ s.d. $\limn a_n = x_0: \underset{x \to x_0}{\lim}f(a_n)=L$
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|
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|
\textbf{Stetigkeit durch Grenzwert}\\
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|
$f$ stetig in $x_0 \in D \iff \underset{x \to x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)$
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|
\textbf{Rechenregeln}\\
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Wenn $\underset{x \to x_0}{\lim}f(x),\quad \underset{x \to x_0}{\lim}g(x)$ exisieren:
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|
$\underset{x \to x_0}{\lim}(f+g)(x)=\underset{x \to x_0}{\lim}f(x) + \underset{x \to x_0}{\lim}g(x)$\\
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|
$\underset{x \to x_0}{\lim}(f\cdot g)(x) = \underset{x \to x_0}{\lim}f(x) \cdot \underset{x \to x_0}{\lim}g(x)$
|
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|
\textbf{Grenzwerte abschätzen}\\
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$f \leq g \implies \underset{x \to x_0}{\lim}f(x) \leq \underset{x \to x_0}{\lim}g(x)$ falls existent
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\textbf{Sandwich bei Funktionen}\\
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$g_1 \leq f \leq g_2\quad\land\quad \underset{x \to x_0}{\lim}g_1(x)=\underset{x \to x_0}{\lim}g_2(x)$\\
|
|
$\implies \underset{x \to x_0}{\lim}f(x)$ existiert: $\underset{x \to x_0}{\lim}f(x) = \underset{x \to x_0}{\lim}g_1(x)$
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|
\textbf{Komposition und Grenzwert}\\
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\footnotesize\color{gray}
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Hier: $D, E \subset \R,\quad x_0$ Hf.-P. in $D,\quad f:D\rightarrow E,\quad g:E\rightarrow\R$\\
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\normalsize\color{black}
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|
$\underset{x \to x_0}{\lim}g(f(x))= g(\underset{x \to x_0}{\lim}f(x))$, falls $g$ stetig in $\underset{x \to x_0}{\lim}f(x)$
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|
\section{Differenzierbare Funktionen}
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|
\begin{subbox}{Differenzierbarkeit}
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|
\begin{tabular}{lll}
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|
$f$ diff.-bar in $x_0$ & $\Def$ & $\underset{x \to x_0}{\lim} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existiert.\\
|
|
$f$ diff.-bar in $D$ & $\Def$ & $\forall x_0 \in D:$ $f$ in $x_0$ diff.-bar.
|
|
\end{tabular}
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|
$$f'(x) := \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \underset{x \to x_0}{\lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
|
|
\end{subbox}
|
|
\footnotesize\color{gray}
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|
$D \subset \R,\quad f,g:D\rightarrow\R,\quad x_0 $ Häufungspunkt von $D$
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\normalsize\color{black}
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\textbf{Weierstrass}\\
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|
$f$ diff.-bar in $x_0 \iff\exists c \in \R,\quad r:D\rightarrow\R:\\
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|
f(x)=f(x_0)+c(x-x_0)+r(x)(x-x_0)\\
|
|
r(x_0)=0$ und $r$ stetig in $x_0$
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|
|
|
\textbf{Weitere Bedingung}\\
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|
$f$ in $x_0$ diff.-bar $\iff \exists \phi:D\rightarrow\R,\quad \phi$ stetig in $x_0$ s.d.\\
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|
$\forall x \in D:\quad f(x) = f(x_0) + \phi(x)(x-x_0),\quad \phi(x_0)=f'(x_0)$
|
|
|
|
\textbf{Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit}\\
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|
$f$ diff.-bar (in $x_0) \implies f$ stetig (in $x_0$) $\implies f$ integr.\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
Nicht umgekehrt: $f(x) = |x|$ ist stetig, aber nicht diff.-bar.
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\normalsize\color{black}
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|
\begin{subbox}{Rechenregeln}
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$\begin{array}{lllll}
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|
(i) & (f+g)(x_0) &=& f'(x_0)+g'(x_0)\\
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|
(ii) & (f \cdot g)'(x_0) &=& f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)\\
|
|
(iii) & (\frac{f}{g})'(x_0) &=& \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}
|
|
\end{array}$
|
|
\end{subbox}
|
|
\footnotesize\color{gray}
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|
$f,g$ in $x_0$ diff.-bar, $(iii):\quad g(x_0) \neq 0$
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\normalsize\color{black}
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|
\textbf{Kompositionen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$D, E \subset \R,\quad x_0 \in D $ ist H.-P. in $D$, $\quad f(x_0)$ ist H.-P. in $E$\\$f:D\rightarrow E$ diff.-bar in $x_0,\quad g:E\rightarrow \R$ diff.-bar in $f(x_0)$\\
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|
\normalsize\color{black}
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|
$g \circ f:D\rightarrow\R$ diff.-bar in $x_0$:\\
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|
$(g\circ f)'(x_0) = g'(f(x_0))f'(x_0)$
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\begin{subbox}{Ableitung der Umkehrabbildung}
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|
$y_0$ ist Häufungspunkt in $E$, $f^{-1}$ in $f(x_0)$ diff.-bar und:
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$$(f^{-1})'(f(x_0)) = \frac{1}{f'(x_0)}$$
|
|
\end{subbox}
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f:D\rightarrow E$ ist bijektiv, $\quad x_0 \in D$ ist H.-P.,\\
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|
$f$ diff.-bar in $x_0,\quad f^{-1}$ in $f(x_0)$ stetig.
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\normalsize\color{black}
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\subsection{Erste Ableitung}
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\textbf{Spezielle Punkte: Lokale Extrema}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$D\subset\R,\quad f:D\rightarrow\R,\quad x_0 \in D$\\
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\normalsize\color{black}
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|
$x_0$ lokales Minimum, wenn:\\
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|
$\exists \delta > 0,\quad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)\cap D:\quad f(x) \leq f(x_0)$\\
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|
$x_0$ lokales Maximum, wenn:\\
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|
$\exists \delta > 0,\quad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)\cap D:\quad f(x) \geq f(x_0)$
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|
Sattelpunkte \& Wendepunkte sind \textit{keine} Extrema.
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|
\textbf{Lokale Extrema durch Ableitung}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f:(a,b)\rightarrow\R,\quad x_0 \in (a,b),\quad f$ in $x_0$ diff.-bar\\
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|
\normalsize\color{black}
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|
Falls $x_0$ ein lok. Extremum ist: $f'(x_0) =0$.
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|
$f'(x_0) > 0 \implies \exists\delta>0:\\
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|
\null\quad\quad f(x) > f(x_0)\quad \forall x \in (x_0, x_0+\delta),\\
|
|
\null\quad\quad f(x) < f(x_0)\quad \forall x \in (x_0-\delta,x_0)$
|
|
|
|
$f'(x_0) < 0 \implies \exists\delta>0:\\
|
|
\null\quad\quad f(x) < f(x_0)\quad \forall x \in (x_0, x_0+\delta),\\
|
|
\null\quad\quad f(x) > f(x_0)\quad \forall x \in (x_0-\delta,x_0)$
|
|
|
|
\textbf{Verhalten von $f$ mittels $f'$}\\
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|
\footnotesize\color{gray}
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|
$f,g:[a,b]\rightarrow\R$ stetig, in $(a,b)$ diff.-bar\\
|
|
\normalsize\color{black}
|
|
$\forall \xi \in (a,b):\ \ldots$\\
|
|
$\null\quad f'(\xi) =0 \implies f$ ist konstant\\
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|
$\null\quad f'(\xi) = g'(\xi) \implies \exists c \in \R: f(x) = g(x) +c\ \forall x \in [a,b]$\\
|
|
$\null\quad f'(\xi) \geq 0 \implies f$ auf $[a,b]$ mon. wachsend.\\
|
|
$\null\quad f'(\xi) > 0 \implies f$ auf $[a,b]$ str. mon. wachsend.\\
|
|
$\null\quad f'(\xi) \leq 0 \implies f$ auf $[a,b]$ mon. fallend.\\
|
|
$\null\quad f'(\xi) < 0 \implies f$ auf $[a,b]$ str. mon. fallend.
|
|
|
|
$\exists M \geq 0:\quad |f'(\xi)| \leq M\quad \forall \xi \in (a,b)$\\
|
|
$\implies \forall x_1,x_2 \in [a,b]:\quad |f(x_1)-f(x_2)| \leq M|x_1-x_2|$
|
|
|
|
\subsection{Höhere Ableitungen}
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|
\textbf{Definitionen: Höhere Ableitungen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$D \subset \R,\quad f:D\rightarrow\R \text{ diff.-bar in } D,\quad \text{jedes } x_0 \in D \text{ ist H.P. von } D,\\ f^{(1)} := f',\quad n \geq 2$\\
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|
\normalsize\color{black}
|
|
$f$ ist $n$-mal diff.-bar in $D \Def f^{(n-1)}$ in $D$ diff.-bar.\\
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|
$f^{(n)} := (f^{n-1})'$ die $n$-te Ableitung von $f$.
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|
$f$ ist $n$-mal stetig diff.-bar in $D$ $\Def$ $f^{n}$ stetig in $D$
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$f$ ist glatt $\Def \forall n \geq 1$ $f$ ist $n$-mal diff.-bar.
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\textbf{Stetigkeit tieferer Ableitungen}\\
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|
$f$ $n$-mal diff.-bar $\iff$ $f$ $n-1$-mal stetig diff.-bar
|
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|
|
\textbf{Rechenregeln}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$D \subset \R,\quad n \geq1,\quad f,g:D\rightarrow\R$ $n$-mal diff.-bar in $D$\\
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|
\normalsize\color{black}
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|
$(i)\ \ \ (f+g)^{(n)} = f^{(n)}+g^{(n)}$\\
|
|
$(ii)\ \ (f \cdot g)^{(n)} = \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$\\
|
|
$(iii)\ \ \forall x \in D: g(x) \neq 0 \implies \frac{f}{g} \text{ in } D$ $n$-mal diff.-bar
|
|
|
|
\textbf{Komposition höherer Ableitungen}\\
|
|
\footnotesize\color{gray}
|
|
$E,D \subset \R$ s.d. alle $x_0 \in E, D$ H.-P. sind$,\\ f:D\rightarrow E,\quad g: E \rightarrow \R,\quad f,g$ $n$-mal diff.-bar\\
|
|
\normalsize\color{black}
|
|
$g \circ f$ ist $n$-mal diff.-bar.
|
|
|
|
$(f\circ g)^{(n)}(x) = \sum^k_{k=1}A_{n,k}(x)(g^{(k)}\circ f)(x)$
|
|
|
|
$A_{n,k}$ ist ein Polynom in $f', f^{(2)},\ldots,f^{(n+1-k)}$.
|
|
|
|
\textbf{Extrema mehrfach differenzierbarer $f$}\\
|
|
\footnotesize\color{gray}
|
|
$n \geq 0,\quad a < x_0 < b,\quad f:[a,b]\rightarrow\R $ in $(a,b)$ $(n+1)$-mal diff.-bar\\
|
|
\normalsize\color{black}
|
|
Wenn: $f'(x_0) = f^{(2)}(x_0) = \ldots = f^ {(n)}(x_0) = 0$:
|
|
|
|
$\null\quad n \equiv_2 0,\quad x_0$ lokales Extremum $\implies f^{(n+1)}(x_0) = 0$\\
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|
$\null\quad n \equiv_2 1,\quad f^{(n+1)}(x_0) > 0 \implies x_0$ str. lokales Minimum\\
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$\null\quad n \equiv_2 1,\quad f^{(n+1)}(x_0) < 0 \implies x_0$ str. lokales Maximum\\
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\textbf{Extrema zweimal differenzierbarer $f$}\\
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$f:[a,b]\rightarrow\R,$ stetig, $2$-mal diff.-bar in $(a,b)$\\
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\normalsize\color{black}
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$a < x_0 < b,\quad f'(x_0) = 0,$ dann:
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$\null\quad f^{(2)}(x_0) > 0 \implies x_0$ str. lokales Minimum\\
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$\null\quad f^{(2)}(x_0) < 0 \implies x_0$ str. lokales Maximum\\
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\subsection{Wichtige Theoreme}
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\textbf{Satz von Rolle}\\
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$f:(a,b)\rightarrow\R$ stetig$,\quad f$ diff.-bar in $(a,b)$\\
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\normalsize\color{black}
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$f(a)=f(b)\quad\implies\quad\exists\xi\in(a,b):\quad f'(\xi)=0$
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\begin{subbox}{Satz von Lagrange}
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$f:(a.b) \subset \R \to \R$ in $(a,b)$ diff.-bar:
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$$\exists\xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$
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\end{subbox}
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\textbf{Satz von Cauchy}\\
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$f,g:[a,b]\rightarrow\R$ stetig, in $(a,b)$ diff.-bar\\
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\normalsize\color{black}
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$\exists \xi \in (a,b): g'(\xi)(f(b)-f(a)) = f'(\xi)(g(b)-g(a))$
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Falls $\forall x \in (a,b),\quad g'(x) \neq 0:$\\
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$\implies g(a) \neq g(b),\quad \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
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\begin{subbox}{Satz von L'Hôpital}
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Falls: $\underset{x \to b^-}{\lim}f(x) = 0, \underset{x \to b^-}{\lim} = 0$, $\underset{x \to b^-}{\lim} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existiert:
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$$\underset{x \to b^-}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x \to b^-}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
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\footnotesize
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|
Auch falls: $b=+\infty,\quad \underset{x \to b^-}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)} = +\infty,\quad x \to a^+$
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\end{subbox}
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f,g:(a,b)\rightarrow\R$ diff.-bar in $(a,b),\quad g'(x) \neq 0\quad \forall x \in (a,b)$
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\normalsize\color{black}
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\newpage
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\subsection{Konvexe/Konkave Funktionen}
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\includegraphics[width=1\linewidth]{konvex.png}
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\textbf{Definition: Konvex}\\
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$I \subset \R \text{ ist ein beliebiges Intervall,}\quad f:I\rightarrow \R$\\
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\normalsize\color{black}
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$f$ konvex auf $I$, falls: $\forall x \leq y \in I,\quad \forall \lambda \in [0,1]:$\\
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$\null\quad f(\lambda x + (1-\lambda)y)\quad\leq\quad\lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$
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$f$ str. konvex auf $I$, falls: $\forall x < y \in I,\quad \forall \lambda \in (0,1):$\\
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$\null\quad f(\lambda x + (1-\lambda)y)\quad<\quad\lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$
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\textbf{Summe konvexer Funktionen ist konvex}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$f:I\rightarrow \R,\quad f$ konvex$,\quad n \geq 1,\quad \{\ x_1,\ldots,x_n\} \subset \R,\\ \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in [0,1],\quad\sum_{i=1}^n\lambda_i = 1$
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\normalsize\color{black}
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$f(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i) \leq \sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i)$
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\textbf{Bedingungen für Konvexität}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$f:I\rightarrow \R,\quad f$ beliebig\\
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\normalsize\color{black}
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$f$ (str.) konvex $\iff \forall x_0 < x < x_1 \in I:\\ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq/< \frac{f(x_1)-f(x)}{x_1-x}$
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f:(a,b)\rightarrow \R,\quad f$ diff.-bar in $(a,b)$\\
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\normalsize\color{black}
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$f$ (str.) konvex $\iff$ $f'$ (str.) mon. wachsend.
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\footnotesize\color{gray}
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$f:(a,b)\rightarrow \R,\quad f$ 2 mal diff.-bar in $(a,b)$\\
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\normalsize\color{black}
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$f$ (str.) konvex $\iff f'' \geq 0$ (bzw. $f'' > 0$) auf $(a,b)$.
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\newpage
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\subsection{Potenzreihen \& Taylorpolynome}
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\textbf{Gleichmässige konvergenz erhält Differenzierbarkeit}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$f_n:(a,b)\rightarrow\R$ ist Funktionenfolge$,\\ f_n$ einmal in $(a,b)$ diff.-bar $\forall n \geq 1$\\
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\normalsize\color{black}
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$(f_n)_{n\geq1}$ und $(f_n')_{n\geq1}$ glm. konv. in $(a,b)$.\\
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$\implies f:= \limn f_n$ ist stetig diff.-bar s.d. $f' = \limn f_n'$
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\textbf{Potenzreihen sind differenzierbar}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$\sum^\infty_{k=1} c_kx^k$ ist Potenzreihe, s.d. $\rho > 0$\\
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\normalsize\color{black}
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$f(x) = \sum^\infty_{k=1}c_k(x-x_0)^k$ ist auf $(x_0-\rho, x_0+\rho)$ diff.-bar.
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$f'(x) = \sum_{k=1}^\infty k\cdot c_k (x-x_0)^{k-1}\quad\quad\forall x \in (x_0-\rho, x_0+\rho)$
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\textbf{Potenzreihen sind glatt}\\
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$f(x) = \sum_{k=1}^\infty c_k (x-x_0)^k$ ist glatt auf $(x_0-\rho,x_0+\rho)$
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$f^{(j)}(x) = \sum^\infty_{k=j} c_k \frac{k!}{(k-j)!}(x-x_0)^{k-j}$, wobei $c_j = \frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}$
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|
\textbf{Approximation glatter $f$ durch Polynome}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f:[a,b]\rightarrow\R \text{ stetig, } (n+1)\text{-mal diff.-bar in } (a,b)$\\
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\normalsize\color{black}
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|
$\forall a < x \leq b,\quad\exists \xi \in (a,x):$\\
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|
$f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
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\begin{subbox}{Taylor Approximation}
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$a \in \R$ s.d. $c < a < d$, $\forall x \in [c,d],\ \exists \xi \in (x,a):$
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$$f(x) = \underbrace{\sum^n_{k=0} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k}_{=:\ T_n} + \underbrace{\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}_{=:\ R_n} $$
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|
Wobei: $\forall m \geq 1\ \exists n \geq 1: f^{(m)}(x_0) = T_n^{(m)}(x_0)$\\
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\footnotesize
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|
$R_n$ wird als Fehlerabschätzung um $a$ genutzt.
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\normalsize
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\end{subbox}
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\footnotesize\color{gray}
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$f:[c,d]\rightarrow\R$ stetig, $(n+1)$ mal diff.-bar in $(c,d)$
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\normalsize\color{black}
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\footnotesize
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\textbf{Taylor-Approximation bei nahen Punkten}\\
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Die Taylor-Approximation bezieht sich wirklich nur auf $x=a$. Beispiel:
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$f(x) = \begin{cases}
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0 & x = 0 \\
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\exp(-\frac{1}{x^2}) & x \neq 0
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\end{cases}$
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Wenn $a=0$ ist $T_n(x) = 0\ \forall x \in \R\ \forall n \geq 1$.\\
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|
Aber $\underset{x \to \infty}{\lim} f(x) = \underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = 1$ konvergiert sehr schnell.
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\newpage
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\section{Das Riemann Integral}
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$a,b \in \R,\quad a <b,\quad I = [a,b]$
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\normalsize\color{black}
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\textbf{Partition} von $I$: $\null\quad\quad\quad\ \ \ P \subsetneq [a,b],\ \{a,b\} \subset P,\ P \text{ endlich}$\\
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\textbf{Verfeinerung} von $P$: $\null\quad\ $ Partition $P'$ s.d. $P' \subset P$\\
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\textbf{Partitionenmenge} von $I$: $\mathcal{P}(I) := \{P\ |\ P\text{ ist Partition von } I\}$
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Für alle $P_1,P_2$ vom selben $I=[a,b]$ gilt:\\
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$P_1 \cup P_2$ ist auch eine Partition von $I$\\
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$\exists P'\subsetneq I:\quad P' \subset P_1\land P' \subset P_2$
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\textbf{Ober- und Untersummen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f:[a,b]\rightarrow\R$ ist beschränkt, $P \subsetneq [a,b]$ ist Partition von $[a,b]$\\
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|
$M \in \R:\quad M \geq 0\quad\land\quad |f(x)| \leq M\quad \forall x \in [a,b]$\\
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\normalsize\color{black}
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|
$\delta_i := x_i - x_{i-1}\quad$ für $P = \{x_0,\ldots,x_n\}$
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$s(f,P) := \sum_{i=1}^nf_i\delta_i,\quad\quad f_i = \underset{x_{i-1}\leq x\leq x_i}{\inf} f(x)$
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|
|
|
$S(f,P) := \sum_{i=1}^nF_i\delta_i,\quad\quad F_i = \underset{x_{i-1}\leq x\leq x_i}{\sup} f(x)$
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|
|
|
Für beliebige Partitionen $P_1, P_2$: $\quad s(f,P_1) \leq S(f,P_2)$
|
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|
$s(f) := \underset{P \in \mathcal{P(I)}}{\sup} s(f,P),\quad\quad S(f) := \underset{P\in\mathcal{P}(I)}{\inf}S(f,P)$
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|
$s(f) \leq S(f)$
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\subsection{Riemann-Integrierbarkeit}
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\begin{subbox}{Riemann-Integrierbarkeit}
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\small
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$f:[a,b]\rightarrow\R$ (beschr.) ist integrierbar $\Def$ $s(f) = S(f)$
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\normalsize
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$$\int_a^bf(x)\ dx := s(f) = S(f)$$
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\end{subbox}
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\textbf{Integrierbarkeit durch Ober-/Untersummen}\\
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$f:[a,b]\rightarrow\R$ (beschr.) ist integrierbar\\
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$\iff \forall\epsilon>0,\ \exists P \in \mathcal{P}(I):\quad S(f,P) - s(f,P) < \epsilon$
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\textbf{Integrierbarkeit als Grenzwert}\\
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\footnotesize\color{gray}
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Sei $\mathcal{P}_\delta(I) := \{\text{Partitionen P} \subsetneq [a,b]\ |\ \underset{1 \leq i \leq n}{\max} \delta_i \leq \delta \}$\\
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\normalsize\color{black}
|
|
$f:[a,b]\rightarrow\R$ (beschr.) ist integrierbar\\
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|
$\iff \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0: \forall P \in \mathcal{P}_\delta(I):\ \ \ S(f,P)- s(f,P) < \epsilon$
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|
|
\textbf{Polynombrüche sind Integrierbar, ohne Nullstellen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$P, Q: \R \rightarrow\R$ sind Polynome\\
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\normalsize\color{black}
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$\lnot\exists x \in [a,b]: Q(x)=0\implies \frac{P}{Q}:[a,b]\rightarrow\R$ ist integr.
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|
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|
\textbf{Stetige Funktionen sind integrierbar}\\
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|
$f:[a,b]\rightarrow\R$ stetig $\implies f$ ist integrierbar.\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
Nicht umgekehrt: Treppenfunktionen sind integr., aber nicht stetig.
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\normalsize\color{black}
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|
\textbf{Monotone Funktionen sind integrierbar}\\
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|
$f:[a,b]\rightarrow \R$ monoton $\implies f$ ist integrierbar.
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|
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|
\textbf{Operationen erhalten Integrierbarkeit}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f,g:[a,b]\rightarrow \R $ beschr. und intgrierbar$,\quad \lambda \in \R$\\
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\normalsize\color{black}
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|
$f+g,\quad \lambda \cdot f,\quad f \cdot g,\quad |f|,\quad \min(f,g),\quad \max(f,g),\quad \frac{f}{g}$\\
|
|
sind integrierbar.$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ (Für $\frac{f}{g}: |g(x)| > 0$)
|
|
\begin{subbox}{Konstanten und Addition}
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\footnotesize
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|
$I \text{ kompakt},\quad f_1,f_2:I\rightarrow\R$ beschr. integr.$,\quad \lambda_1,\lambda_2 \in \R$
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\small
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$$\int_a^b\lambda_1f_1(x) + \lambda_2f_2(x)\ dx = \lambda_1 \int_a^bf_1(x)\ dx+\lambda_2\int_a^bf_2(x)\ dx$$
|
|
\end{subbox}
|
|
\normalsize
|
|
|
|
\textbf{Gleichmässige Stetigkeit}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$D\subset\R,\quad f:D\rightarrow\R$\\
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\normalsize\color{black}
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|
$f$ in $D$ glm. stetig $\Def \forall \epsilon>0,\ \exists\delta >0\quad\forall x,y \in D:\quad |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$
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|
|
|
\textbf{Gleichmässige Stetigkeit auf kompakten Intervallen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f:[a,b]\rightarrow\R$\\
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\normalsize\color{black}
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|
$f$ Stetig auf kompaktem $[a,b] \implies$ $f$ glm. stetig auf $[a,b]$
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|
\textbf{Integrale erhalten Monotonie}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f,g:[a,b]\rightarrow\R$ beschr. integr.\\
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\normalsize\color{black}
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|
$\forall x \in [a,b]:\quad f(x) \leq g(x) \implies \int_a^bf(x)\ dx \leq \int^b_a g(x)\ dx$
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|
$|\int_a^bf(x)\ dx| \leq \int^b_a|f(x)|\ dx$
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\newpage
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\subsection{Wichtige Theoreme}
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\begin{subbox}{Cauchy-Schwarz}
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\footnotesize
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|
$f,g:[a,b]\rightarrow \R$ beschr. integr.\\
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|
\normalsize
|
|
$$\int_a^b |f(x)g(x)\ dx| \leq \sqrt{\int^b_a f^2(x)\ dx}\cdot\sqrt{\int_a^bg^2(x)\ dx}$$
|
|
\end{subbox}
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|
|
\textbf{Mittelwertsatz bei Integralen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f:[a,b]\rightarrow \R$ stetig\\
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\normalsize\color{black}
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|
$\exists \xi \in [a,b]:\quad \int_a^bf(x)\ dx = f(\xi)(b-a)$
|
|
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|
\textbf{Konseqzenz des Mittelwertsatz für Integrale}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f,g:[a,b]\rightarrow\R,\quad$ $f$ stetig$,\quad g$ beschr. integr.\\
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|
\normalsize\color{black}
|
|
$\forall x \in [a,b]:\quad g(x) \geq 0$\\
|
|
$\implies \exists\xi \in [a,b]: \int_a^bf(x)g(x)\ dx = f(\xi)\int_a^bg(x)\ dx$
|
|
|
|
\textbf{Integration ist die Umkehrfunktion der Ableitung}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$a < b,\quad f:[a,b]\rightarrow\R$ stetig\\
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\normalsize\color{black}
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|
$F(x):[a,b]\rightarrow\R,\quad F(x) \mapsto \int_a^xf(x)\ dt,$
|
|
|
|
ist in $[a,b]$ stetig, diff.-bar und $F'(x) = f(x)$.
|
|
|
|
\textbf{Stammfunktionen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$a < b,\quad f:[a,b]\rightarrow\R$ stetig\\
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|
\normalsize\color{black}
|
|
$F:[a,b]\rightarrow\R$ ist Stammfunktion von $f$\\
|
|
$ \Def F$ stetig diff.-bar in $[a,b]$ und $F' = f$ in $[a,b]$.
|
|
|
|
\textbf{Fundamentalsatz der Differentialrechnung}\\
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\footnotesize\color{gray}
|
|
$f:[a,b]\rightarrow\R$ stetig\\
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|
\normalsize\color{black}
|
|
Die Stammfunktion $F$ von $f$ existiert s.d.\\
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|
$\int_a^bf(x)\ dx = F(b) - F(a)$
|
|
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|
\textbf{Bogenlänge}
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|
$L = \int_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\ dx$
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|
\newpage
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|
\subsection{Integrationsmethoden}
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\small
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|
Bei rationalen $f$: Polynomdivision \& Partialbruchzerlegung.
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|
\normalsize
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|
\begin{subbox}{Partielle Integration}
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|
\footnotesize
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|
$a<b,\quad f,g:[a,b]\rightarrow\R$ stetig diff.-bar\\
|
|
\normalsize
|
|
$$\int f(x)\cdot g'(x)\ dx = f(x)\cdot g(x) - \int f'(x)\cdot g(x)\ dx$$
|
|
$$\int_a^bf(x)g'(x)\ dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) -\int_a^b f'(x)g(x)$$
|
|
\end{subbox}
|
|
|
|
\begin{subbox}{Substitution}
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|
\footnotesize
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|
$a<b,\quad \phi:[a,b]\rightarrow\R$ stetig diff.-bar,\\
|
|
$I \subset \R,\quad \phi([a,b]) \subset I,\quad f: I\rightarrow\R$ stetig\\
|
|
\normalsize
|
|
$$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(x)\ dx = \int^b_af(\phi(t))\cdot\phi'(t)\ dt$$
|
|
\end{subbox}
|
|
|
|
\textbf{Umgekehrte Kettenregel}\\
|
|
\footnotesize\color{gray}
|
|
$f:[a,b]\to\R$ diff.$,\quad g:[c,d]\to\R$ diff$,\quad [c,d] \subseteq f([a,b])$\\
|
|
\normalsize\color{black}
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|
$\int f'(g(x)\cdot g'(x)\ dx = f(g(x))$
|
|
|
|
\textbf{Umformungen}\\
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|
\footnotesize\color{gray}
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|
$I \subset \R,\quad f:I\rightarrow\R$\\
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|
\normalsize\color{black}
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|
$a,b,c \in \R$ s.d. $[a+c, b+c] \subset I$\\
|
|
$\implies \int_{a+c}^{b+c}f(x)\ dx = \int_a^bf(t+c)\ dt$
|
|
|
|
$a,b,c \in \R$ s.d. $c \neq 0$ und $[ac,\ bc] \subset I$\\
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|
$\implies \int_a^bf(ct)\ dt = \frac{1}{c}\int_{ac}^{bc}f(x)\ dx$
|
|
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|
\newpage
|
|
|
|
\subsection{Uneigentliche Integrale}
|
|
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|
\textbf{Definition: Uneigentliche Integrale}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f:[a,\infty)\rightarrow \R$ beschr. integr auf $[a,b]\quad \forall b > a$ \\
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|
\normalsize\color{black}
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|
Falls $\underset{b \to \infty}{\lim} \int_a^bf(x)\ dx$ existiert:\\
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|
$\int_a^\infty f(x)\ dx := \underset{b \to \infty}{\lim}\int_a^b f(x)\ dx$
|
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|
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Man sagt: $f$ ist auf $[a, \infty)$ integrierbar.
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\textbf{Reihenkonvergenz über Integration}\\
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Sei $f:[1,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ mon. fallend.
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$\sum^\infty_{n=1}f(n)$ konv. $\iff \int_1^\infty f(x)\ dx$ konv.
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|
\textbf{Integration von $f:(a,b]\rightarrow\R$}\\
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|
Integrierbar, falls $\underset{\epsilon\to0^+}{\lim}\int^b_{a+\epsilon}f(x)\ dx$ existiert.\\
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|
Man schreibt dann: $\int_a^bf(x)\ dx$.
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|
\subsection{Konvergente Reihen}
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|
\textbf{Integration konvergenter Folgen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$f_n:[a,b]\rightarrow\R$ Folge beschr. integr. $f$, glm. konv. zu $f:[a,b]\rightarrow\R$\\
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|
\normalsize\color{black}
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|
$f$ ist beschr. integr. und $\limn\int^b_af_n(x)\ dx = \int_a^b f(x)\ dx$
|
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|
|
\textbf{Integration konvergenter Reihen}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$f_n:[a,b]\rightarrow\R$ Folge beschr. integr. $\sumn f_n$, glm. konv. in $[a,b]$\\
|
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\normalsize\color{black}
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$\sumn\int_a^bf_n(x)\ dx = \int_a^b(\sumn f_n(x))\ dx$
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\textbf{Integration von Potenzreihen}\\
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$f(x) = \sumn c_kx^k$ s.d. $\rho >0$.
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$\forall 0 \leq r < \rho:\quad\ \ $ $f$ auf $[-r,r]$ integr. und\\
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$\forall x \in (-\rho,\rho):\quad\int_0^xf(t)\ dt = \sumn \frac{c^n}{n+1}x^{n+1}$
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\newpage
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\subsection{Approximationsformeln}
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\textbf{Bernoulli Polynome}\\
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Wir nutzen Polynome $P_n$, die erfüllen:\\
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$P_k'=P_{k-1},\quad k \geq1\quad$ und $\null\quad \int_0^1P_k(x)\ dx=0\ \forall k \geq1$
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Für die Bernoulli-Polynome $B_k$ gilt: $B_k(x) = k!P_k(x)$.
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$B_k$ ist rekursive definiert:\\
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$B_0 = 1,\quad B_{k-1} = \sum_{i=0}^{k-1}\binom{k}{i}B_i = 0$
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$B_k$ Explizit:\\
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$B_k(x) = \sum_{i=0}\binom{k}{i}B_i ^kx^{k-i}\quad \text{ s.d. }\quad \int_0^1B_k(x)\ dx = 0$
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Somit:\\
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$B_0(x) = 1,\quad B_1(x) = x-\frac{1}{2},\quad B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6},\quad
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|
\ldots$
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$\overset{\sim}{B}_k(x) = \begin{cases}
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|
B_k(x) & \forall x:0 \leq x < 1\\
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|
B_k(x-n) & \forall x: n \leq x < n+1
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|
\end{cases}$
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\textbf{Euler-McLaurin Summationsformel}\\
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\footnotesize\color{gray}
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$f:[0,n]\rightarrow\R$ $k$-mal stetig diff.-bar$,\quad k \geq 1$\\
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\normalsize\color{black}
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Für $k = 1:$\\
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$\sum_{i=1}^nf(i) = \int^n_0f(x)\ dx + \frac{1}{2}(f(n)-f(0))+\int_0^n\overset{\sim}{B}_1(x)f'(x)\ dx$\\
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|
Für $k \geq 2:$\\
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|
$\sum_{i=1}^nf(i)= \int^n_0f(x)\ dx + \frac{1}{2}(f(n)-f(0))\\+\sum_{j=2}^k\frac{(-1)^j B_j}{j!}(f^{(j-1)}(n)-f^{(j-1)}(0))+ \overset{\sim}{R}_k$
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|
|
|
s.d $\quad\overset{\sim}{R}_k = \frac{(-1)^{k-1}}{k!}\int_0^n\overset{\sim}{B}_k(x)f^{(k)}(x)\ dx$
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\textbf{Stirling'sche Formel}\\
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Zur Approximation von $n!$
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$n! \approx \frac{\sqrt{2\pi n}\cdot n^n}{e^n}\quad\quad$ bzw. $\quad \limn\frac{n!}{\frac{\sqrt{2\pi n}\cdot n^n}{e^n}}=1$
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Via Euler-McLaurin lässt sich präziser beweisen:
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$n! = \frac{\sqrt{2\pi n}\cdot n^n}{e^n}\cdot\exp(\frac{1}{12n}+R_3(n))$
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s.d. $|R_3(n)| \leq \frac{\sqrt{3}}{216}\cdot\frac{1}{n^2}\quad\forall n \geq 1$
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\newpage
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\section{Spezifische Funktionen}
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\subsection{Grundfunktionen}
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\textbf{Potenzen}\\
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$f: \R \rightarrow \R:\quad x \mapsto x^n$
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stetig und glatt $\forall n \in \N$.\\
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$n \equiv_2 1 \iff f $ str. monoton wachsend
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\textbf{Polynome}\\
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$f: \R \rightarrow \R:\quad x \mapsto a_nx^n + \ldots + a_0$
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|
stetig und glatt.\\
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$\deg(f) := \underset{0 \leq i \leq n}{\max}\{i \in \N \ |\ a_i \neq 0 \}$
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|
Für poly. $f,g \neq 0$, Nullstellen von $g$: $x_1, \ldots , x_m$:\\
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|
$\frac{f}{g}: \R \setminus \{x_1, \ldots, x_m \} \rightarrow \R:\quad x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}$ ist stetig.
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\textbf{Betragsfunktion}\\
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$f: \R \rightarrow \R:\quad x \mapsto |x|$
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stetig, in $x_0=0$ nicht diff.-bar.\\
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$g$ stetig $\implies |g|(x) := |g(x)|$ stetig.
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\textbf{Abrundrungsfunktion}\\
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|
$f:\R \rightarrow \R:\quad x \mapsto \lceil x \rceil := \max \{m \in \Z \ |\ m \leq x \}$
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$f$ nicht stetig in $x_0 \iff x_0 \in \Z$\\
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Für $D=\R \setminus \Z$ ist $\lceil x \rceil: D\rightarrow\R$ stetig.
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|
\textbf{Min.-/Max.-Funktionen}\\
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|
$\max(f,g)(x) := \max(f(x), g(x))$\\
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|
$\min(f,g)(x)\ := \min(f(x), g(x))$
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|
Sind $f,g$ stetig, sind auch $\max(f,g), \min(f,g)$ stetig.
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\newpage
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|
\subsection{Beweisfunktionen}
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|
\textbf{Indikatorfunktion von $\Q$}\\
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$f(x) = \begin{cases}
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|
1 & x \in \Q\\
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|
0 & x \notin \Q
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|
\end{cases} \quad\quad\quad\ \ f: \R \rightarrow \R$\\
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|
$\forall x \in \R:$ nicht stetig, nicht integr. in $x$.
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|
$g(x) = \begin{cases}
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|
x & x \in \Q\\
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|
1-x & x \notin \Q
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|
\end{cases}\quad\quad g: \R \rightarrow \R$\\
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|
Ist nur in $x=\frac{1}{2}$ stetig, sonst nirgends.
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|
\textbf{Van der Waerden Funktion}\\
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\footnotesize\color{gray}
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|
$x \in \R$\\
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\normalsize\color{black}
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|
Sei $g(x) = \min\{|x-m|\ |\ m \in \Z \}$.\\
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|
D.h. $g$ gibt die nächste ganze Zahl zu $x$ aus.
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$f(x) = \sumn\frac{g(10^nx)}{10^n}$
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|
Die Reihe ist glm. konv. auf ganz $\R$ und $f$ stetig.\\
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|
$f$ ist nirgendwo diff.-bar.
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\textbf{Glatte Funktion, ohne konv. Potenzreihe}\\
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|
$f(x) = \begin{cases}
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|
\exp(-\frac{1}{x^2}) & x \neq 0\\
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|
0 & x = 0
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|
\end{cases}$
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|
|
|
$f$ ist glatt auf $\R$ s.d. $\forall k \geq 0: f^{(k)}(0) = 0$.\\
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|
Da $f(x) > 0\quad \forall x \neq 0$ gibt es keine P.-Reihe mit pos. $\rho$.
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|
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|
\textbf{Funktion mit nicht-stetiger Ableitung}\\
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|
$f(x) = \begin{cases}
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|
x^2\cdot\sin(\frac{1}{x}) & x \neq 0\\
|
|
0 & x = 0
|
|
\end{cases}$\\
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|
Wobei $f'$ nicht stetig in $x_0 = 0$.
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\newpage
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|
\subsection{Exponentialfunktion}
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|
\begin{subbox}{Definition: Exponentialfunktion}
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\footnotesize
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|
$\forall z \in \C: \exp(z)$ konvergiert.
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\normalsize
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|
$$\exp: \C \rightarrow \C \quad\quad \exp(z) := \sumn\frac{z^n}{n!}$$
|
|
\end{subbox}
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|
|
|
\textbf{Exponentialfunktion in $\R$}\\
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|
$\exp: \R \rightarrow (0, +\infty)$
|
|
|
|
str. mon. wachs., stetig, surj. und glatt.
|
|
|
|
$\begin{array}{lll}
|
|
\exp(x) > 0 & \color{gray} \forall x \in \R \\
|
|
\exp(x) > 1 & \color{gray}\forall x > 0 \\
|
|
\exp(x) \geq 1 + x & \color{gray}\forall x \in \R \\
|
|
\exp(x)\cdot\exp(y) = \exp(x + y) & \color{gray}\forall x,y \in \R
|
|
\end{array}$
|
|
|
|
\textbf{Natürlicher Logarithmus}\\
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|
$\exp^{-1} :=\quad \ln:(0, +\infty) \rightarrow \R$
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|
|
|
str. mon. wachs., stetig, bijektiv und glatt.
|
|
|
|
$\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b) \quad\quad \color{gray}\forall a,b \in (0, +\infty)$
|
|
|
|
\textbf{Allgemeine Potenzen}\\
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|
$x^a: (0, +\infty) \rightarrow (0, +\infty) :=\quad \exp(a\cdot\ln(x))\quad$\\
|
|
\footnotesize\color{gray}
|
|
$x > 0,\quad a \in \R$
|
|
\normalsize\color{black}
|
|
|
|
$a > 0 \implies$ stetig, bijektiv, str. mon. wachs.\\
|
|
$a < 0 \implies$ stetig, bijektiv, str. mon. fall.
|
|
|
|
\textbf{Potenzgesetze}\\
|
|
\color{gray}\footnotesize
|
|
$\forall a,b \in \R,\quad \forall x >0:\quad$\\
|
|
\color{black}\normalsize
|
|
$\begin{array}{ll}
|
|
\ln(x^a) = a\ln(x) &\quad x^ax^b = x^{a+b} \\
|
|
(x^a)^b=x^{ab} &\quad x^0=1
|
|
\end{array}$
|
|
|
|
\newpage
|
|
\subsection{Trigonometrische Funktionen}
|
|
|
|
\begin{subbox}{Definition: Trigonometrische Funktionen}
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|
\footnotesize
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|
$\forall z \in \C:\sin(z), \cos(z)$ konv. abs.
|
|
\normalsize
|
|
\begin{align*}
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|
\sin(z) = & \sumn(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} &= z - \frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\ldots\\
|
|
\cos(z) = & \sumn(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!} &= 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\ldots
|
|
\end{align*}
|
|
\small
|
|
\begin{center}
|
|
$\tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)}\quad\quad\cot(z)=\frac{\cos(z)}{\sin(z)}$
|
|
\end{center}
|
|
\end{subbox}
|
|
|
|
\textbf{Trigonometrische Funktionen in $\R$}\\
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|
$\sin,\cos: \R \rightarrow \R$ sind stetig und glatt.
|
|
|
|
$\pi := \inf\{t>0\ |\ \sin(t) = 0\} \in (2,4)$\\
|
|
$\forall0\leq x\leq \sqrt{6}:\quad x \geq \sin(x) \geq x-\frac{x^3}{3!}$
|
|
|
|
Nullstellen von $\sin$ in $\R$: $\{k\cdot\pi\ |\ k \in \Z\}$
|
|
|
|
$\null\quad\sin(x) > 0\quad \forall x \in (2k\pi, (2k+1)\pi)$\\
|
|
$\null\quad\sin(x) < 0\quad\forall x \in ((2k+1)\pi, (2k+2)\pi)$
|
|
|
|
Nullstellen von $\cos$ in $\R$: $\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ |\ k \in \Z \}:$
|
|
|
|
$\null\quad\cos(x) > 0\quad\forall x \in (-\frac{\pi}{2}+2k\pi, -\frac{\pi}{2}+(2k+1)\pi)$\\
|
|
$\null\quad\cos(x) < 0\quad\forall x \in (-\frac{\pi}{2}+(2k+1)\pi, -\frac{\pi}{2}+(2k+2)\pi)$
|
|
|
|
\textbf{Hyperbelfunktionen}
|
|
|
|
$\begin{array}{llll}
|
|
\cosh(x) &: \R \to [1,\infty] &:=& \frac{e^x+e^{-x}}{2}\\
|
|
\sinh(x) &: \R \to \R &:=& \frac{e^x - e^{-x}}{2}\\
|
|
\tanh(x) &: \R \to [-1,1] &:=& \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}
|
|
\end{array}$
|
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|
|
$\sinh,\cosh,\tanh$ sind glatt.
|
|
|
|
\newpage
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|
\section{Tabellen}
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\color{gray}
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|
Credits: Einige Tabellen von D. Camenisch \& J. Steinmann
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\color{black}
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\subsection{Trigonometrische Identitäten}
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\textbf{Trigonometrische Identitäten in $\C$}
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$\begin{array}{lll}
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|
e^{iz} &=& \cos(z)+i\sin(z)\\
|
|
\hline
|
|
\cos(z)^2+\sin(z)^2 &=& 1\\
|
|
\hline
|
|
\sin(z) &=& \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\
|
|
\cos(z) &=& \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\\
|
|
\hline
|
|
\sin(z+w) &=& \sin(z)\cos(w)+\cos(z)\sin(w)\\
|
|
\cos(z+w) &=& \cos(z)\cos(w)+\sin(z)\sin(w)\\
|
|
\hline
|
|
\sin(2z) &=& 2\sin(z)\cos(z)\\
|
|
\cos(2z) &=& \cos(z)^2-\sin(z)^2\\
|
|
\end{array}$
|
|
|
|
$e^{i\pi}=-1,\quad e^{2i\pi}=1,\quad e^{\frac{i\pi}{2}}=i$
|
|
|
|
\footnotesize
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|
$\sin(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}$ kann hilfreich sein um $\sin(z)^n$ um zuschreiben.
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\normalsize
|
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|
|
\textbf{Trigonometrische Identitäten in $\R$}
|
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|
|
$\begin{array}{lll}
|
|
\sin(-x) &=& -\sin(x)\\
|
|
\cos(-x) &=& \cos(x)\\
|
|
\tan(-x) &=& -\tan(x)\\
|
|
\hline
|
|
\sin(x+\frac{\pi}{2}) &=& \cos(x)\\
|
|
\cos(x+\frac{\pi}{2}) &=& -\sin(x)\\
|
|
\sin(x+\pi) &=& \cos(x)\\
|
|
\sin(x+2\pi) &=& \sin(x)\\
|
|
\hline
|
|
\sin(x)^2 &=& \frac{1}{2}(1-\cos(2x))\\
|
|
\cos(x)^2 &=& \frac{1}{2}(1+\cos(2x))\\
|
|
\hline
|
|
\sin(\arctan(x)) &=& \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\
|
|
\cos(\arctan(x)) &=& \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\
|
|
\hline
|
|
\sin(x) &=& \frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan(x)^2}} \\
|
|
\cos(x) &=& \frac{1}{\sqrt{1 + \tan(x)^2}}
|
|
\end{array}$
|
|
|
|
\newpage
|
|
\subsection{Trigonometrische Funktionen: Werte}
|
|
|
|
\textbf{Funktionswerte am Winkelkreis}\\
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|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{degrees_circle.pdf}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\textbf{Trigonometrische Analogien}
|
|
|
|
\small
|
|
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
|
|
& \rotatebox{90}{\(-\alpha\)}& \rotatebox{90}{$90$\(^{\circ}\) \(-\alpha\)}& \rotatebox{90}{$90$\(^{\circ}\) \(+\alpha\)}& \rotatebox{90}{$180$\(^{\circ}\) \(-\alpha\)}& \rotatebox{90}{$180$\(^{\circ}\) \(+\alpha\)}& \rotatebox{90}{$k*360$\(^{\circ}\) \(-\alpha\)}&\rotatebox{90}{$k*360$\(^{\circ}\) \(+\alpha\)}\\
|
|
\hline
|
|
\(\sin\)&
|
|
\(-\sin{ }\)& \(\cos{ }\)& \(\cos{ }\)& \(\sin{ }\)&
|
|
\(-\sin{ }\)&
|
|
\(-\sin{ }\)&
|
|
\(\sin{ }\)\\
|
|
\hline
|
|
\(\cos\)&
|
|
\(\cos{ }\)&
|
|
\(\sin{ }\)&
|
|
\(-\sin{ }\)&
|
|
\(-\cos{ }\)&
|
|
\(-\cos{ }\)&
|
|
\(\cos{ }\)&
|
|
\(\cos{ }\)\\
|
|
\hline
|
|
\(\tan\)&
|
|
\(-\tan{ }\)&
|
|
\(\cot{ }\)&
|
|
\(-\cot{ }\)&
|
|
\(-\tan{ }\)&
|
|
\(\tan{ }\)&
|
|
\(-\tan{ }\)&
|
|
\(\tan{ }\)\\
|
|
\end{tabular}
|
|
\normalsize
|
|
\\
|
|
|
|
\textbf{Werte der trigonometrischen Funktionen}
|
|
|
|
\footnotesize
|
|
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
|
|
$\alpha$ & $0$° & $30$° & $45$° & $60$° & $90$° & $120$° & $150$° & $180$° & $270$° \\
|
|
& $0$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\frac{2\pi}{3}$ & $\frac{5\pi}{6}$ & $\pi$ & $\frac{3\pi}{2}$\\
|
|
\hline
|
|
$\sin$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $-1$\\
|
|
\hline
|
|
$\cos$ & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $-\frac{1}{2}$ & $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $-1$ & $0$\\
|
|
\hline
|
|
$\tan$ & $0$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & & $-\sqrt{3}$ & $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $0$ & \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\normalsize
|
|
|
|
|
|
\newpage
|
|
\footnotesize
|
|
\subsection{Integrale \& Ableitungen}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{c||c||c}
|
|
$F(x)$ & $f(x)$ & $f'(x)$ \\
|
|
\hline
|
|
\hline
|
|
$x$ & $c$ & $0$\\
|
|
$\frac{1}{a+1}\cdot x^{a+1}$ & $x^a$ & $a\cdot x^{a-1}$\\
|
|
$\frac{1}{a\cdot(n+1)}\cdot(ax+b)^{n+1}$ & $(ax+b)^n$ & $n \cdot(ax+b)^{n-1}\cdot a$\\
|
|
$\ln|x|$ & $\frac{1}{x}=x^{-1}$ & $-\frac{1}{x^2} = -x^{-2}$\\
|
|
$\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}$ & $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$\\
|
|
$\frac{n}{n+1}\cdot x^{\frac{1}{n}+1}$ & $\sqrt[\leftroot{0} n]{x} = x^\frac{1}{n}$ & $\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}$\\
|
|
\hline
|
|
$e^x$ & $e^x$ & $e^x$\\
|
|
$\frac{1}{\ln(a)}\cdot a^x$ & $a^x$ & $a^x\cdot \ln(a)$\\
|
|
$x\cdot (\ln|x|-1)$ & $\ln|x|$ & $\frac{1}{x} = x^{-1}$\\
|
|
$\frac{x}{\ln(a)}\cdot(\ln|x|-1)$ & $\log_a(x)$ & $\frac{1}{x\cdot\ln(a)}$\\
|
|
\hline
|
|
$-\cos(x)$ & $\sin(x)$ & $\cos(x)$\\
|
|
$\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $-\sin(x)$\\
|
|
$-\ln|\cos(x)|$ & $\tan(x)$ & $\frac{1}{\cos(x)^2}= 1 + \tan(x)^2$\\
|
|
$\ln|\sin(x)|$ & $\cot(x)$ & $-\frac{1}{\sin(x)^2}$\\
|
|
$x \cdot\arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2}$ & $\arcsin(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$\\
|
|
$x \cdot \arccos(x)-\sqrt{1-x^2}$ & $\arccos(x)$ & $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$\\
|
|
$x \cdot \arctan(x)-\frac{\ln(x^2+1)}{2}$ & $\arctan(x)$ & $\frac{1}{x^2+1}$\\
|
|
\hline
|
|
$\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$\\
|
|
$\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$\\
|
|
$\ln|\cosh(x)|$ & $\tanh(x)$ & $\frac{1}{\cosh(x)^2} = 1-\tanh(x)^2$\\
|
|
& $\text{arcsinh}(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$\\
|
|
& $\text{arccosh}(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2}-1}$\\
|
|
& $\text{arctanh}()$ & $\frac{1}{1-x^2}$\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsection{Taylorreihen}
|
|
\begin{center}
|
|
|
|
\begin{tabular}{l||l}
|
|
$f(x)$ & $T_n$\\
|
|
\hline
|
|
\hline
|
|
$\mathrm{e}^x $&$ 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\mathcal{O}(x^5)$ \\
|
|
$\sin{x} $&$ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\mathcal{O}(x^7)$ \\
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$\sinh(x) $&$ x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\mathcal{O}(x^7)$ \\
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|
$\cos(x) $&$ 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\mathcal{O}(x^8)$ \\
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|
$\cosh(x) $&$ 1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\mathcal{O}(x^8)$ \\
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|
$\tan(x) $&$ x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\mathcal{O}(x^7)$ \\
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|
$\tanh(x) $&$ x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\mathcal{O}(x^7)$ \\
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|
$\log(1+x) $&$ x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\mathcal{O}(x^5)$ \\
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|
$(1+x)^\alpha $&$ 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+ \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^3 + \mathcal{O}(x^4)$ \\
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|
$\sqrt{1+x} $&$ 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \mathcal{O}(x^4)$\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\newpage
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\subsection{Weitere Integrale \& Ableitungen}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{c||c}
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$F(x)$ & $f(x)$\\
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\hline
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\hline
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$\frac{1}{a}\ln|ax+b|$ & $\frac{1}{ax+b}$ \\
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$\frac{ax}{c}-\frac{ad-bc}{c^2}\ln|cx+d|$ & $\frac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2}$\\
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$\frac{x}{2}f(x)+\frac{a^2}{2}\ln|x+f(x)|$ & $\sqrt{a^2+x^2}$ \\
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$\frac{x}{2}f(x)-\frac{a^2}{2}\arcsin(\frac{x}{|a|})$ & $\sqrt{a^2-x^2}$ \\
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$\frac{x}{2}f(x) - \frac{a^2}{2}\ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{x^2-a^2}$\\
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$\ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$\\
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$\arcsin(\frac{x}{|a|})$ & $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ \\
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$\frac{1}{a} \cdot\arctan(\frac{x}{a})$ & $\frac{1}{x^2+a^2}$\\
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\hline
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$-\frac{1}{a}\cos(ax+b)$ & $\sin(ax+b)$ \\
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$\frac{1}{a}\sin(ax+b)$ & $\cos(ax+b)$ \\
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\hline
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$x^x$ & $x^x \cdot (1 + \ln|x|)$\\
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$(x^x)^x$ & $(x^x)^x(x+2x\ln|x|)$\\
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$x^{(x^x)}$ & $x^{(x^x)}(x^{x-1}+\ln|x|\cdot x^x(1+\ln|x|)$\\
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\hline
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$\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin(2x))$ & $\sin(x)^2$\\
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$\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin(2x))$ & $\cos(x)^2$\\
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\end{tabular}
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\end{center}
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%\subsection{Tyler, The Creator}
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% \begin{center}
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% \includegraphics[width=0.3\linewidth]{tyler2.png}
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% \end{center}
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\newpage
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\subsection{Grenzwerte: Folgen}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{ l || l }
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$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0$ & $\lim_{x\to\infty} 1 + \frac{1}{x} = 1$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$ & $\lim_{x \to - \infty} e^x = 0$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$ & $\lim_{x \to - \infty} e^{-x} = \infty$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^m} = \infty$ & $\lim_{x \to - \infty} xe^x = 0$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty$ & $\lim_{x \to 0} \ln(x) = - \infty$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = 1$ & $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ \\
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\hline
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$\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^b = 1$ & $\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^b = 1$ \\
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\hline
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$\lim_{x\to\infty} x^aq^x = 0, \; \forall 0 \leq q < 1$ & $\lim_{x\to\infty} n^\frac{1}{n} = 1$ \\
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\hline
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$\lim_{x\to \pm \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = \mathrm{e}$ & $\lim_{x\to \infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x = \frac{1}{\mathrm{e}}$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \pm \infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx} = e^{km}$ & $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ \\
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\hline
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$\lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos(x)} = 1$ & $\lim_{x\to 0} \frac{\cos{x}-1}{x} = 0$ \\
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\hline
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$\lim_{x\to 0} \frac{\log{1-x}}{x} = -1$ & $\lim_{x\to 0} x\log{x} = 0$ \\
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\hline
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$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2} = \frac{1}{2}$ & $\lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} = 1$ \\
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\hline
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$\lim_{x\to 0} \frac{x}{\arctan{x}} = 1$ & $\lim_{x\to\infty} \arctan{x} = \frac{\pi}{2}$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + k}\right)^x = e^{-k}$ & $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a) \; \forall a > 0$ & $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{x} = a$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1)}{x} = 1$ & $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = 1$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ & $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x)}{x^a} = 0$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{x} = 1$ & $\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2^x} = 0$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \frac{\pi^-}{2}} \tan{x} = +\infty$ & $\lim_{x \to \frac{\pi^+}{2}} \tan{x} = -\infty$ \\
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\hline
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$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin{x}}{x} = 0$ & $\lim_{x \to 0^+} x\ln{x} = 0$\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\subsection{Grenzwerte: Reihen}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{ l || l }
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$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ & $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \\
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\hline
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$\sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ & $\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ \\
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\hline
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$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$ & $\sum_{i = 1}^\infty z^i = \frac{1 - z^{i + 1}}{1 - z}$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{document}
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