\subsection{Wahrscheinlichkeitsräume}
\shortterm $\Omega$ \bi{Grundraum}, $\omega \in \Omega$ \bi{Elementarereignis}

\shortdefinition[Sigma-Algebra] $\cF \subseteq \cP(\Omega)$ ist $\sigma$-Algebra, falls:
\begin{enumerate}[label=E\arabic*.]
    \item $\Omega \subseteq \cF$
    \item $A \in \cF \Rightarrow A^C \in \cF$ ($A$ Ereignis $\Rightarrow$ nicht $A$ auch)
    \item $A_1, A_2, \ldots \in \cF \Rightarrow \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \in \cF$\\
        ($A_1, \ldots$ Ereignisse $\Rightarrow$ $A_1$ oder $A_2$ oder \dots ein Ereignis)
\end{enumerate}
\shortexample $\omega$-Algebren beim einmaligen Würfeln ($\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$)
\begin{itemize}
    \item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \}$
    \item $\cF = \cP(\Omega)$, dabei $|\cF| = 64$
    \item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2 \}, \{ 3, 4, 5, 6 \}, \Omega \}$
\end{itemize}
Keine $\omega$-Algebren sind bspw:
\begin{itemize}
    \item $\cF = \{ \Omega \}$ (Komplementärereignis $\emptyset$ fehlt, E2 verletzt)
    \item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2, 3 \}, \{ 4, 5, 6 \}, \{ 1 \}, \{ 2, 3, 4, 5, 6 \}, \Omega \}$\\
        (E3 verletzt, da bspw $\{ 4, 5, 6 \} \cup \{ 1 \} \notin \cF$)
\end{itemize}