\newsection
\subsection{Methoden zur Reduktion der Varianz}
% NOTE: Mostly from TA slides, as the script is quite convoluted there
Bei höheren Dimensionen $d$ ist die Monte-Carlo-Methode oft die einzige praktikable Option.
Deshalb ist es wichtig, Methoden zu haben, um die Varianz zu verringern.

\subsubsection{Control Variates}
Die Idee ist hier, bekannte Integrale zu verwenden, um die Varianz zu reduzieren.
Wir schreiben unser Integral unter Verwendung eines bekannten, exakten Integrals $\varphi(x)$ neu:
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\begin{align*}
    \iiint f(x) = \iiint (z(x) - \varphi(x)) = \iiint z(x) + \iiint \varphi(x)
\end{align*}

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Das Ganze funktioniert natürlich für jedes $d \in \N$.
Oft wird die Taylor-Entwicklung von $f(x)$ gewählt, da diese einfach analytisch integrierbar ist.

Die Varianz wird dadurch reduziert, dass wir nur noch für $z(x)$ einen Fehler haben.

\innumpy können wir dies folgendermassen implementieren:
\begin{code}{python}
    def control_variate_mc(func, phi, analytic_int_phi, a, b, N):
    t = np.random.uniform(a, b, N)
    val = func(t) - phi(t)
    I = np.mean(val) * (b - a) + analytic_int_phi
    return I
\end{code}


\subsubsection{Importance Sampling}
\begin{intuition}[]{Importance Sampling}
    \begin{itemize}
        \item Nicht alle Punkte, die während der Monte-Carlo Integration gezogen werden sind, sind gleich wichtig
        \item Importance Sampling optimiert die Verteilung der Punkte
        \item Man gewichtet die Punkte mit einer Dichtefunktion $g(x)$, die wichtige Bereiche betont
        \item Der Erwartungswert wird als gewichteter Mittelwert berechnet, sodass keine Verzerrung auftritt
    \end{itemize}
\end{intuition}
Wir schreiben unser zu berechnendes Integral mit $D = [0, 1]^d$ ein Intervall
\rmvspace
\begin{align*}
    I = \int_D f(x) \dx x
\end{align*}

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mit der Hilfsdichte $g(x)$ (für welche gilt $\int_{D} \dx = 1$)
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\begin{align*}
    I = \int_D \frac{z(x)}{g(x)} g(x) \dx x = \E_g \left( \frac{z(\cX)}{g(\cX)} \right)
\end{align*}

\drmvspace
Der entsprechende Monte-Carlo-Schätzer mit $N$ Stichproben $\cX_i \sim g$ ist
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\begin{align*}
    \hat{I}_N = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \frac{z(\cX_i)}{g(\cX_i)}
\end{align*}

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und dessen Varianz ist
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\begin{align*}
    \V_g\left( \frac{z(\cX)}{g(\cX)} \right) = \int_{D} \frac{z^2(x)}{g(x)} \dx x - I^2
\end{align*}

\drmvspace
Ideal ist $g(x) \propto |f(x)|$, also proportional zum Betrag von $f(x)$



\subsubsection{Quasi-Monte-Carlo}
Oft ist ein deterministischer Fehler nützlich, weshalb man bei der Quasi-Monte-Carlo-Methode die Zufallszahlen durch quasi-zufällige Folgen ersetzt.
Diese Folgen decken den Integrationsbereich systematisch ab.

Dies führt dazu, dass unser Fehler mit $\tco{N^{-1} \cdot (\log(N))^d}$ abnimmt.
Für kleine $d$ haben wir ungefähr eine Abnahme in $\tco{N^1}$, aber bei grossen $d$ ist die Verbesserung kaum mehr sichtbar.

In der Realität sind diese Methoden (besonders die Sobol-Sequenzen) trotzdem effektiv, da viele Integrale ``effektiv niedrigdimensional'' sind.