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\subsection{Verteilungen}
\subsubsection{Bernoulli-Verteilung}
\shortdefinition $\cX \sim \text{Ber}(p)$: $\P[\cX = 0] = 1 - p$ und $\P[\cX = 1] = p$


\subsubsection{Binomialverteilung}
\shortdefinition $\cX \sim \text{Bin}(n, p)$, falls\\
$\forall k \in \{ 0, \ldots, n \}\; \P[\cX = k] = {n \choose k} p^k (1 - p)^{n - k}$

\shortremark $\sum_{k = 0}^{n} p(k) = \sum_{k = 0}^{n} \P[\cX = k] = (p + 1 - p)^n = 1$

\shorttheorem $X_i \sim \text{Ber}(p_i)$ unab: $(S_n := \sum_{i = 0}^{n} X_i) \sim \text{Ber}(n, p)$

\shortremark $\text{Bin}(1, p)$ ist $\text{Ber}(p)$ verteilt. Für $X, Y \sim \text{Bin}(n_i, p)$ mit $X, Y$ unabhängig dann ist $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$


\subsubsection{Geometrische Verteilung}
\shortdefinition $\cX \sim \text{Geom}(p)$ mit $W = \N \backslash \{0\}$ falls\\
$\forall k \in W \; \P[\cX = k] = (1 - p)^{k - 1} \cdot p$

\shortremark $\P[\cX = 1] = p$, da wir Konvetion $a^0 = 1$ verwenden.

\shortremark $\sum_{k = 0}^{\8} p(k) = p \cdot \sum_{k = 0}^{\8} (1 - p)^{k - 1} = p \cdot \frac{1}{p} = 1$

\shorttheorem $X_i \sim \text{Ber}(p)$ für $i \in \N$.\\
Dann $( T := \min\{ n \geq 1 \divider X_n = 1 \} )\sim \text{Geom}(p)$

\shortremark $T = \8$ ist möglich, $\P[T = \8] = 0$

\shorttheorem $T \sim \text{Geom}(p)$, dann\\
$\forall n \geq 0 \; \forall k \geq 1 \; \P[T \geq n + k | T > n] = \P[T \geq k]$


\subsubsection{Poisson-Verteilung}
