\subsubsection{Romberg Schema}
Für glatte Funktionen haben wir: $T (h) = I [f] + c_1 h^2 + c_2 h^4 + \ldots + c_p h^{2p} + \tco{h^{2p+2}}$

Die Idee des Romberg-Schemas ist es, die führenden Fehlerterme durch Linearkombinationen zu eliminieren

\bg{orange}{Schritt 1} Berechnung von $T(h)$ und $T(\frac{h}{2})$:
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\begin{align*}
    T(h) & = I + c_1 h^2 + c_2 h^4 + \ldots \\
    T\left( \frac{h}{2} \right) & = I + c_1 \frac{h^2}{4} + c_2 \frac{h^4}{16} + \ldots \\
\end{align*}

\drmvspace
\bg{orange}{Schritt 2} Linearkombination zur Elimination des $h^2$-Terms (Ordnung dann $4$):
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\begin{align*}
    R_{1, 1} = \frac{4 T(h / 2) - T(h)}{3} = I + c_2' h^4 + \ldots
\end{align*}

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\bg{orange}{Schritt 3} Wiederholen bis zur gewünschten Präzision mit der allgemeinen Rekursionsformel:
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\begin{align*}
    R_{l, k} = \frac{4^k R_{l, k - 1} - R_{l - 1, k - 1}}{4^k - 1}
\end{align*}

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Der Einfachheit halber können die Terme auch in das sogenannte ``Romberg-Tableau'' eingefüllt werden:
\begin{table}[h!]
    \begin{center}
        \begin{tabular}[c]{c|cccc}
            k & 0 & 1 & 2 & 3\\
            \hline
            0 & $T(h)$ & $R_{0, 1}$ \\
            1 & $T(h / 2)$ & $R_{1, 1}$ & $R_{1, 2}$ \\
            1 & $T(h / 4)$ & $R_{2, 1}$ & $R_{2, 2}$ & $R_{2, 3}$ \\
            1 & $T(h / 8)$ & $R_{3, 1}$ & $R_{3, 2}$ & $R_{3, 3}$ \\
        \end{tabular}
    \end{center}
\end{table}
Das Romberg-Schema konvergiert sehr schnell für glatte Funktionen.


\subsubsection{Anwendung}
In der Praxis keine Newton-Cotes höherer Ordnung mit äquidistanten Stützpunkten