\subsection{Diagonalisierung}
Wir definieren $\text{KodTM}$ als die \textit{Menge der binären Kodierungen aller Turingmaschinen}.
Wir haben $\text{KodTM} \subseteq \wordbool$ und die obere Schranke der Kardinalität ist $|\wordbool|$, da es unendlich viele Turingmaschinen gibt.

Im Folgenden wird wieder Cantor's Diagonalisierungsmethode verwendet
\begin{recall}[]{Cantor's Diagonalization Argument}
    % TODO: Finish
    \TODO Finish
\end{recall}

\inlinedef $A$ und $B$ sind Mengen. Dann ist $|A| \leq |B|$ falls eine \textit{injektive} Funktion $f$ von $A$ nach $B$ existiert;
$|A| = |B|$ falls $|A| \leq |B|$ und $|B| \leq |A|$ (es existiert eine Bijektion);
$|A| < |B|$ falls $|A| \leq |B|$ und keine injektive Abbildung von $B$ nach $A$ existiert.

Um zu zeigen, dass es nicht rekursiv aufzählbare (also von Turingmaschinen nicht erkennbare) Sprachen gibt.
Also müssen wir laut Definition \ref{definition:5-1} nur zeigen, dass keine Injektion von $\wordbool$ nach $\mathcal{L}_{RE}$ existiert.

\fancydef{Abzählbarkeit} $A$ heisst abzählbar, falls $A$ endlich ist oder $|A| = |\N|$

\inlinelemma Sei $\Sigma$ ein beliebiges Alphabet. Dann ist $\word$ abzählbar

\inlinetheorem Die Menge $\text{KodTM}$ der Turingmaschinenkodierungen ist abzählbar

\inlinelemma $(\N - \{ 0 \}) \times (\N - \{ 0 \})$ ist abzählbar. Die Idee ist dieselbe wie für $|Q^+| = |\N|$, nämlich, dass wir jedem Element einen Index zuordnen können.

\inlinetheorem $\Q^+$ ist abzählbar. Die Idee für den Beweis ist eine Bijektion nach obiger Menge zu finden.

\inlinetheorem $[0, 1] \subseteq \R$ ist nicht abzählbar. Dies kann mit Cantor's Diagonalization Argument bewiesen werden.

\inlinetheorem $\mathcal{P}(\wordbool)$ ist nicht abzählbar

\inlinecorollary $|\text{KodTM}| < |\mathcal{P}(\wordbool)|$ und es existieren also unendlich viele nicht rekursiv aufzählbare Sprachen.

Um für eine spezifische Sprache zu beweisen, dass sie rekursiv aufzählbar ist, können wir einfach eine Turingmaschine konstruieren.
Für eine Beweis dafür, dass eine Sprache nicht rekursiv aufzählbar ist können wir folgende Methode verwenden. Sei dazu mit $d_{ij} = 1 \Longleftrightarrow M_i \text{ akzeptiert } w_j$
\begin{align*}
    L_{\text{diag}} & = \{ w \in \wordbool \divides w = w_i \text{ für ein } i \in \N - \{ 0 \} \text{ und } M_i \text{ akzeptiert } w_i \text{ nicht} \} \\
                    & = \{ w \in \wordbool \divides w = w_i \text{ für ein } i \in \N - \{ 0 \} \text{ und } d_{ii} = 0 \}
\end{align*}

\inlinetheorem $L_{\text{diag}} \notin \mathcal{L}_{RE}$
\inlineproof Zum Widerspruch nehmen wir an, dass $L_\text{diag} \in \mathcal{L}_{RE}$.
Dann gilt, dass $L_\text{diag} = L(M)$ für eine Turingmaschine $M$.
$M$ ist eine Turingmaschine in der kanonischen Ordnung der Turingmaschinen, also existiert ein $i \in \N - \{ 0 \}$, so dass $M = M_i$.

Dies führt zu einem Widerspruch, denn $L_\text{diag}$ kann nicht gleich $L(M_i)$ sein, da
\begin{align*}
    w_i \in L_\text{diag} \Longleftrightarrow d_{ii} = 0 \Longleftrightarrow w_i \notin L(M_i)
\end{align*}
also ist $w_i$ genau dann in $L_\text{diag}$ wenn $w_i$ \textit{nicht} in $L(M_i)$ ist. (= in genau einer der Sprachen $L_\text{diag}$ oder $L(M_i)$)