\subsection{Tips \& Tricks}
\shortremark Die \bi{Dichten} können anstelle der Variablen in bspw. der Formel für bedingte W. verwendet werden!
Dies ist besonders nützlich für die Berechnung von bedingten Dichten, etc. und Bestimmung Unabhängigkeit

\howto{Randdichten berechnen}{
    \begin{enumerate}
        \item Intervalle zur Integration für Randdichten via Indikatorvariable $\bm{1}_{cond}$ bestimmen. $\bm{1}_x$ verschwindet bei Bestimmung von $f_\cY$ in den Integral-grenzen
        \item $cond$ nach entsprechender Var. auflösen, wenn nötig
        \item Bei Integration Indikatorvariable als konstante betrachten (muss auch integriert werden!)
        \item Übrig bleibende Indikatorvariablen wieder anfügen
    \end{enumerate}
}

Die Randdichten sind dann die Dichten von $\cX$, etc.; Für weitere Berechnungen verwendbar, wie bspw. $\E[\cX + \cY]$.

\howto{$cond$ auflösen}{
    In dem Integral sollte jeweils der äussere Integral der sein, für welchen wir volle Information haben.
    Zudem, bspw., für $0 \leq x \leq y^2 \leq 1$, wissen wir zwar für $x$ und $y$ die Grenzen, wählen aber $x$ als inneren Integral,
    weil sich oft $\int_0^{y^2}$ schöner auflöst. Der äussere Integral ist dann auf dem ganzen Intervall (also äussere Beschränkungen).

    Für einen einzelnen Integral wählen wir die Grenzen als die umliegenden Grenzen. Falls wir nur eine haben so müssen wir auflösen oder eine Grenze hinzufügen,
    siehe Randdichten von bspw. Einheitskreisscheibe.
}

\howto{Gemeinsame Dichten finden}{
    Nach Definition muss $f$ die Ableitung von $F$ sein.
    Oder umgekehrt, $\int f \dx \ldots$ sollte $F$ ergeben. Beispiel:
    $T \sim \cU[1, 2], \cX \sim \text{Exp}(\lambda), \cY \sim \text{Exp}(\gamma)$. Dann $f_{T, X, Y}(t, x, y) = \begin{cases}
            \lambda \gamma \exp(-\lambda x - \gamma y) & \text{falls } 1 \leq t \leq 2 \land x, y \geq 0 \\
            0                                          & \text{sonst}
        \end{cases}$
}

\howto{Verteilungen / Dichten finden}{
    Wir suchen $\P[\cZ \leq a]$ (ausser für gem. V, dann s. oben).
    Dann überlegen, wie $\cZ \leq a$ erfüllt werden kann. Beispiel:
    $Z = \min(\cX, \cY)$, dann gesucht: $\P[\cX \leq a \lor \cY \leq a]$ oder $1 - \P[\cZ > a]$.
    Schliesslich $F_Z$ aufstellen mit Bedingungen oder Indikatorvariablen.

    Zudem kann Verteilung der einzelnen Variablen (und v.a. Unabhängigkeit) nützlich werden.

    Falls Dichte, dann Verteilung ableiten.
}

\howto{Multi-Variable Wahrscheinlichkeiten}{
    \bi{Für W. wie} $\P[\cX \leq \cY^3]$ übersetzen wir dies in Integral $\int_B f(x, y) \dx x \dx y$ mit $B = \{(x, y) \divider x \leq y^3 \}$, dann für $y \in [0, 1]$ gilt:
    $\int_0^1 \int_{0}^{y^3} f(x, y) \dx x \dx y$, wobei hier die untere Grenze durch gegebenes $x \geq 0$ entsteht.

    Für unbekannte gemeinsame Dichte, die Eigenschaften ausfächern, Unabhängigkeit, etc ausnutzen.

    \bi{Für W. im Exponent}, dies beschreibt typ. Repetitionen, also über die Anzahl und W. nachdenken.
    Beispielsweise für $\E[\left( \frac{5}{6} \right)^{\cX - 2} = k]$ berechnen wir $\P[\cX = k] = \left( \frac{1}{6} \right)^{k - 1} \cdot \frac{5}{6}$,
    dann ist $\E[\ldots] = \sum_{k = 1}^{\8} \left( \frac{5}{6} \right)^{k - 2} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^{k - 1} \cdot \frac{5}{6}
        = \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{5}{36} \right)^{k - 1}$
}