\newpage
\subsection{Die Methode der Reduktion}
% TODO: Add guide for reducing languages
\fancydef{Rekursiv reduzierbare Sprache} Eine Sprache $L_1 \subseteq \word_1$ ist auf $L_2 \subseteq \word_2$ rekursiv reduzierbar, geschrieben $L_1 \leq_R L_2$,
falls $L_2 \in \cL_R \Rightarrow L_1 \in \cL_R$.

\shade{teal}{Intuition:} $L_2$ ist bezüglich der algorithmischen Lösbarkeit mindestens so schwer wie $L_1$. $\cL_R$ ist die Menge aller rekursiv reduzierbaren Sprachen.
Ist also $L_2$ lösbar, so muss auch $L_1$ lösbar sein.

\fancydef{EE-reduzierbare Sprache} $L_1$ ist auf $L_2$ \bi{EE-reduzierbar}, geschrieben $L_1 \leq_{EE} L_2$, wenn eine TM $M$ existiert,
die eine Abbildung $f_M : \word_1 \rightarrow \word_2$ mit der Eigenschaft $x \in L_1 \Leftrightarrow f_M(x) \in L_2$ für alle $x \in \word_1$ berechnet.
Anders ausgedrückt: die TM $M$ reduziert die Sprache $L_1$ auf die Sprache $L_2$

\inlinelemma Falls $L_1 \leq_{EE} L_2$, dann auch $L_1 \leq_R L_2$. \inlineproof Im Buch auf Seite 135 (= 148 im PDF)

Wir müssen also nur zeigen, dass $L_1 \leq_{EE} L_2$ um zu zeigen, dass $L_1 \leq_R L_2$

\inlinelemma Für jede Sprache $L \subseteq \word$ gilt: $L \leq_R L^C$ und $L^C \leq_R L$

\inlinecorollary $(L_\text{diag})^C \notin \cL_R$
\inlineproof Folgt davon, dass $L_\text{diag} \notin \cL_{RE}$ (was heisst, dass $L_\text{diag} \notin \cL_R$)
und nach Lemma 5.4 $L_\text{diag} \leq_R (L_\text{diag})^C$ und das umgekehrte gelten muss.

\inlinelemma $(\ldiag)^C \in \cL_{RE}$
\inlineproof Auf Seite 137 (= 150 im PDF) wird eine Turingmaschine aufgezeigt, die $(L_\text{diag})^C$ akzeptiert.

\inlinecorollary $(\ldiag)^C \in \cL_{RE} - \cL_R$ und daher $\cL_R \subsetneq \cL_{RE}$

Folgende Sprachen sind nicht rekursiv, liegen aber in $\cL_{RE}$

\fancydef{Universelle Sprache} $L_U = \{ \text{Kod}(M)\# w \divides w \in \wordbool \text{ und TM } M \text{ akzeptiert } w \}$

\fancytheorem{Universelle TM} Eine TM $U$, so dass $L(U) = L_U$, also gilt $L_U \in \cL_{RE}$\\
%
\inlineproof Auf Seite 138 (= 151 im PDF)

Was dies bedeutet, es existiert eine TM ohne Haltegarantie, die eine beliebige Turingmaschine auf einer gegebenen Eingabe simulieren kann.
Untenstehendes Resultat bedeutet, dass man das Resultat der Berechnung einer TM $M$ auf einer Eingabe $x$ anders berechnen kann, als die Berechnung von $M$ auf $x$ zu simulieren.

\inlinetheorem $L_U \notin \cL_R$

Wenn jetzt aber $M$ unendlich lange auf $x$ arbeitet, so wissen wir nicht, ob wir die Simulation beenden können. Dies führt zum Halteproblem

\begin{definition}[]{Halteproblem}
    Das Halteproblem ist das Entscheidungsproblem $(\{ 0, 1, \# \}, L_H)$ mit
    \begin{align*}
        L_H = \{ \text{Kod}(M)\# x \divides x \in \{ 0, 1 \}^* \text{ und } M \text{ hält auf } x \}
    \end{align*}
\end{definition}

Dies scheint vorerst nicht ein allzu grosses Problem zu sein, jedoch besagt das nächste Resultat, dass es keinen Algorithmus gibt,
der testen kann, ob ein gegebenes Programm immer terminiert.

\inlinetheorem $L_H \in \cL_R$
\inlineproof Auf Seiten 140 - 142 (153 - 155 im PDF)

Betrachten wir die Sprache $\lempty = \{ \text{Kod}(M) \divides L(M) = \emptyset \}$, die die Kodierungen aller Turingmaschinen enthält,
die die leere Menge (kein Wort) akzeptieren. Es gilt
\rmvspace
\begin{align*}
    (\lempty)^C = \{ x \in \wordbool \divides x \notin \text{Kod}(\overline{M}) \forall \text{ TM } \overline{M} \text{ oder } x = \text{Kod}(M) \text{ und } L(M) \neq \emptyset \}
\end{align*}

\drmvspace
\inlinelemma $(\lempty)^C \in \cL_{RE}$
\inlineproof Auf Seiten 142 - 143 (155 - 156 im PDF)

\inlinelemma $(\lempty)^C \notin \cL_R$

Wir haben als wiederum die Nichtexistenz eines Algorithmus zur Überprüfung, ob ein gegebenes Programm die leere Menge akzeptiert.
Ein Beweis dazu findet sich auf Seiten 143 und 144 im Buch (156 - 157 im PDF)

\inlinecorollary $\lempty \notin \cL_R$

\inlinecorollary $L_{EQ} = \{ \text{Kod}(M)\# \text{Kod}(\overline{M}) \divides L(M) = L(\overline{M}) \}$ ist nicht entscheidbar (also $L_{EQ} \notin \cL_R$)