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\subsection{NP-Vollständigkeit}
Es sind mittlerweile über 3000 Probleme bekannt, für welche wir keinen Algorithmus kennen, der in polynomieller Zeit läuft.
Es ist aber bis jetzt niemandem gelungen, eine höhere untere Schranke für alle zu beweisen, als $\tcl{n}$.

Wie bereits bei der Berechenbarkeit benutzen wir eine Reduktion.
Falls jedes Problem aus $NP$ effizient auf ein Problem $L \in NP$ reduzierbar ist, so ist $L$ schwer.

\begin{definition}[]{Polynomielle Reduktion}
    $L_1 \subseteq \word_1$ ist \bi{polynomiell reduzierbar auf} $L_2 \subseteq \word_2$, geschrieben $L_1 \leq_p L_2$,
    falls eine polynomielle TM $A$ existiert, die für jedes Wort $x \in \word_1$ ein Word $A(x) \in \word_2$ berechnet, so dass
    \rmvspace
    \begin{align*}
        x \in L_1 \Longleftrightarrow A(x) \in L_2
    \end{align*}

    \drmvspace
    $A$ wird eine polynomielle Reduktion von $L_1$ auf $L_2$ genannt.
\end{definition}
Wieder bedeutet $L_1 \leq_p L_2$, dass $L_2$ mindestens so schwer ist wie $L_1$

\begin{definition}[]{$NP$-Schwer}
    Eine Sprache $L$ ist \bi{$NP$-Schwer}, falls für alle $L' \in NP$ gilt $L' \leq_p L$.

    Eine Sprache $L$ ist \bi{$NP$-Vollständig}, falls
    \drmvspace
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
            \item $L \in NP$
            \item $L$ $NP$-Schwer ist.
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{definition}


\inlinelemma Falls $L \in P$ und $L$ ist $NP$-schwer, dann gilt $P = NP$

\fancytheorem{Cook} $SAT$ ist $NP$-Vollständig

Der Beweis hierfür liefert eine grobe Struktur für weitere Beweise dieser Art und ist auf Seiten 199 - 205 im Buch (= Seiten 211 - 217 im PDF) zu finden.
Jedoch sind diese Beweise sehr gross und deshalb nicht prüfungsrelevant.


\inlinelemma Falls $L_1 \leq_p L_2$ und $L_1$ ist $NP$-Schwer, so ist auch $L_2$ $NP$-Schwer

Betrachten wir folgende Sprachen:
\begin{align*}
    SAT    & = \{ \Phi \divides \Phi \text{ ist eine erfüllbare Formel in CNF} \}                                                   \\
    CLIQUE & = \{ (G, k) \divides G \text{ ist ein ungerichteter Graph, der eine $k$-clique enthält} \}                             \\
    VC     & = \{ (G, k) \divides G \text{ ist ein ungerichteter Graph mit einer Kontenüberdeckung der Mächtigkeit höchstens } k \}
\end{align*}
Wir erinnern uns daran, dass eine Kontenüberdeckung eines Graphen $G = (V, E)$ jede Menge von Konten $U \subseteq V$ ist,
so dass jede Kante aus $E$ mindestens einen Endpunkt in $U$ hat.

\inlinelemma $SAT \leq_p CLIQUE$

\inlinelemma $CLIQUE \leq_p VC$

\inlinelemma $SAT \leq_p 3SAT$, wobei wir beim $3SAT$-Problem bestimmen wollen, ob eine Formel in $3CNF$ (CNF, aber alle Klauseln enthalten höchstens $3$ Variabeln) erfüllbar ist.


\begin{definition}[]{$NPO$}
    $NPO$ ist die Klasse der Optimierungsprobleme, mit $U = (\Sigma_I, \Sigma_O, L, \cM, \text{cost}, \text{goal}) \in NPO$, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
    \begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
        \item $L \in P$
        \item Es existiert ein Polynom $p_U$, so dass
              \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
                  \item Für jedes $x \in L$ und jedes $y \in \cM(x)$
                  \item es existiert ein polynomieller Algorithmus $A$, der für jedes $y \in \word_O$ und jedes $x \in L$ mit $|y| \leq p_U(|x|)$ entscheidet,
                        ob $y \in \cM(x)$ oder nicht
              \end{enumerate}
        \item Die Funktion $\text{cost}$ kann man in polynomieller Zeit berechnen.
    \end{enumerate}
\end{definition}