\newsection
\subsection{Gedämpftes Newton-Verfahren}
Wir wenden einen einen Dämpfungsfaktor $\lambda^{(k)}$ an, welcher heuristisch gewählt wird:
\rmvspace
\begin{align*}
    x^{(k + 1)} := x^{(k)} - \lambda^{(k)}DF(x^{(k)})^{-1} F(x^{(k)})
\end{align*}

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Wir wählen $\lambda^{(k)}$ so, dass für $\Delta x^{(k)} = DF(x^{(k)})^{-1} F(x^{(k)})$ und $\Delta(\lambda^{(k)}) = DF(x^{(k)})^{-1} F(x^{(k)} - \lambda^{(k)} \Delta x^{(k)})$
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\begin{align*}
    ||\Delta x(\lambda^{(k)})||_2 \leq \left( 1 - \frac{\lambda^{(k)}}{2} \right) ||\Delta x^{(k)}||_2
\end{align*}

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