\newsection
\subsection{Nichtdeterminismus}
Einfach gesagt werden hier Automaten behandelt, die zufällige (genannt \bi{nichtdeterministische}) Entscheidungen treffen.
Beispielsweise für ein Entscheidungsproblem $(\Sigma, L)$ bedeutet dies, dass ein nichtdeterministischer EA $A$ eine Sprache $L$ akzeptiert,
falls für jedes $x \in L$ mindestens eine akzeptierende Berechnung von $A$ auf $x$ existiert und für $y \in \word - L$ keine solve existiert.

Wir notieren das Ganze in graphischer Darstellung so, dass wir aus einem Zustand mehrere Übergänge mit dem gleichen Eingabesymbol erlauben.

\begin{definition}[]{nichtdeterministischer Endlicher Automat (NEA)}
    Ein NEA ist eine Quitupel $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$:
    \begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
        \item \bi{Zustandsmenge:} $Q$ ist eine endliche Menge
        \item \bi{Eingabealphabet:} $\Sigma$ ist ein Alphabet
        \item \bi{Übergangsfunktion:} $\delta : Q \times \Sigma \rightarrow \mathcal{P}(Q)$. $\mathcal{P}(Q)$ ist das Powerset hierbei
        \item \bi{Anfangszustand:} $q_0 \in Q$
        \item \bi{Akzeptierende Zustände:} $F \subseteq Q$
    \end{enumerate}
    Der Rest der Eigenschaften ist sehr ähnlich wie die des deterministischen EA, mit der bedeutenden Ausnahme,
    dass ein Schritt in der $\delta$-Notation nicht $\delta(q, a) = p$, sondern $p \in \delta(q, a)$ ist, da die Übergangsfunktion ja jetzt ins
    Powerset von $Q$ anstelle von nach $Q$ direkt mapped. Die komplette Definition des Schritts ist also:
    \begin{align*}
        (q, w) \bigvdash{M}{} (p, x) \Longleftrightarrow w = ax \text{ für ein } a \in \Sigma \text{ und } p \in \delta(q, a)
    \end{align*}

    Für die $\hdelta$-Funktion, gilt nun $\hdelta(q, \lambda) = \{ q \}$ für jedes $q \in Q$ und wir definieren:
    \begin{align*}
        \hdelta(q, wa) & = \{ p \in Q \divides \text{es existiert ein } r \in \hdelta(q, w), \text{ so dass } p \in \delta(r, a) \} \\
                       & = \bigcup_{r \in \hdelta(q, w)} \delta(r, a) \smallhspace \forall q \in Q, a \in \Sigma, w \in \word
    \end{align*}
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\end{definition}