\subsection{Newton Basis}
% Session: Herleitung unwichtig, konzentrieren auf Funktion/Eigenschaften von Newton/Lagrange.

Die Newton-Basis hat den Vorteil, dass sie leichter erweiterbar als die Monombasis ist.

Die Konstruktion verläuft iterativ, und vorherige Datenpunkte müssen nicht neuberechnet werden.

\begin{align*}
    p_0(x) &= y_0 &\textit{(Anfang: triviales Polynom)} \\
    p_1(x) &= p_0(x) + (x-x_0)\frac{(y_1-y_0)}{(x_1-x_0)} & \textit{(Addition des zweiten Datenpunktes)} \\
    p_2(x) &= p_1(x) + \frac{\frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}-\frac{(y_1-y_0)}{x_1-x_0}}{x_2-x_0} (x-x_0)(x-x_1) & \textit{(Schema lässt sich beliebig weiterführen)}\\
    p_3(x) &= p_2(x) + \ldots
\end{align*}

\setLabelNumber{all}{2}
\fancytheorem{Newton-Basis} $\{ N_0,\ \ldots\ ,N_n\}$ ist eine Basis von $\mathcal{P}_n$
\begin{align*}
    N_0(x) &:= 1 \quad
    N_1(x) := x - x_0 \quad
    N_2(x) := (x-x_0)(x-x_1) \quad \ldots \\
    N_n(x) &:= \prod_{i=0}^{n-1} (x-x_i)
\end{align*}

\subsubsection{Koeffizienten}

Wegen Satz 2.2.3 lässt sich jedes $p_n \in \mathcal{P}_n$ als $p_n(x) =\displaystyle\sum_{i=0}^{n} \beta_i N_i(x)$ darstellen. Ein Gleichungssystem liefert alle $\beta_i$:
\begin{align*}
    \begin{bmatrix}
        1 & 0   & \cdots & 0 \\
        1 & N_0 & \cdots & 0 \\
        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
        1 & N_0 & \cdots & N_n
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
        \beta_0 \\
        \beta_1 \\
        \vdots \\
        \beta_n
    \end{bmatrix}
    =
    \begin{bmatrix}
        y_0 \\
        y_1 \\
        \vdots \\
        y_n
    \end{bmatrix}
\end{align*}

Die Matrixmultiplikation in $\mathcal{O}(n^3)$ ist aber nicht nötig: Es gibt ein effizienteres System. 

\setLabelNumber{all}{4}
\fancydef{Dividierte Differenzen} 
\begin{multicols}{2}
    \begin{align*}
        y[x_i] &:= y_i \\
        y[x_i,\ \ldots\ ,x_{i+k}] &\overset{\text{Rec.}}{:=} \frac{y[x_{i+1},\ \ldots\ , x_{i+k}] - y[x_i,\ \ldots\ , x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}
    \end{align*}

    \newcolumn

    \begin{center}
    \begin{tabular}{l|llll}
        $x_0$ & $y[x_0]$ \\
            &          & $>y[x_0,x_1]$        \\
        $x_1$ & $y[x_1]$ &  & $>y[x_0,x_1,x_2]$ \\ 
            &          & $>y[x_1,x_2]$        \\
        $x_2$ & $y[x_2]$ &  & $>y[x_1,x_2,x_3]$ \\
            &          & $>y[x_2,x_3]$        \\
        $x_3$ & $y[x_3]$                        \\
    \end{tabular}
    \end{center}
\end{multicols}

\fancyremark{Äquidistante Stellen}

Falls $x_j = x_0 + \underbrace{j \cdot h}_{:= \Delta^j}$ gilt vereinfacht sich einiges:
\begin{align*}
    y[x_0,x_1] &= \frac{1}{h}\Delta y_0 \\
    y[x_0,x_1,x_2] &= \frac{1}{2!h} \Delta^2 y_0 \\
    y[x_0,\ \ldots\ , x_n] &= \frac{1}{n! h^n} \Delta^n y_0 
\end{align*}

\setLabelNumber{all}{8}
\fancytheorem{Newton} Falls $\beta_j = y[x_0,\ \ldots\ , x_j]$ geht das resultierende Polynom durch alle $(x_i,y_i)$.\\
\footnotesize
(D.h. die dividierten Differenzen sind korrekt.)
\normalsize

\fancyex{Runge-Funktion} Die Runge-Funktion kann am Rand des gewählten Intervalls starke Oszillationen in der Interpolation verursachen, 
wenn bspw. die Stützstellen nicht gut gewählt sind oder das Polynom einen zu hohen Grad hat.
Sie ist definiert durch $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

\begin{multicols}{2}

    Matrixmultiplikation in $\mathcal{O}(n^3)$, Speicher $\mathcal{O}(n^2)$

    \begin{code}{python}
    # Slow matrix approach
    def divdiff_slow(x,y):
        n = y.size
        T = np.zeros((n,n))
        T[:,0] = y

        for l in range(1,n):
            for i in range(n-l):
                T[i, l] = (T[i+1,l-1] - T[i, l-1])
                T[i, l] /= (x[i+l] - x[i])
        
        return T[0,:]
    \end{code}

    \newcolumn

    % Add the vectorized HW solution here

    Vektorisierter Ansatz in $\mathcal{O}(n^2)$, Speicher $\mathcal{O}(n)$

    \begin{code}{python}
    # Fast vectorized approach
    def divdiff_fast(x,y):
        n = y.shape[0]

        for k in range(1, n):
            y[k:] = (y[k:] - y[(k-1):n-1]) 
            y[k:] /= (x[k:] - x[0:n-k])
    
        return y
    \end{code}

\end{multicols}

\subsubsection{Auswertung}

Auswertung eines Newton-Polynoms funktioniert in $\mathcal{O}(n)$ durch ein modifiziertes Horner-Schema:

\begin{multicols}{2}
    
\begin{align*}
    p_0 &:= \beta_n \\
    p_1 &:= (x - x_{n-1})p_0 + \beta_{n-1} \\
    p_2 &:= (x - x_{n-2})p_1 + \beta_{n-2} \\
    \vdots \\
    p_n &= p(x)
\end{align*}

\newcolumn

\begin{code}{python}
    def evalNewton(x_data, beta, x):
        p = np.zeros(x.shape[0])
        p += beta[beta.shape[0]-1]
    
        for i in range(1, n+1):
            p = (x - x_data[n-i])*p + beta[n-i]
      
        return p
\end{code}

\end{multicols}


\subsubsection{Fehler}

\setLabelNumber{all}{10}
\inlinetheorem $f$ $n$-mal diff.-bar, $y_i = f(x_i) \implies \exists \xi \in (\min_i x_i, \max_i x_i)$ s.d. $y[x_0,x_1,\ldots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{(n+1)!}$

\fancytheorem{Fehler} $f: [a,b] \to \R$ ist $(n+1)$-mal diff.-bar, $p$ ist das Polynom zu $f$ in $x_0,\ldots,x_n \in [a,b]$. 
$$
    \forall x \in [a,b]\ \exists \xi \in (a,b):\quad\quad \underbrace{f(x)-p(x)}_{\text{Fehler}} = \prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\cdot\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}
$$
