% ┌                                                ┐
% │     AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com>     │
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% Lecture: Wir besitzen nicht das komplette Vorwissen in der Analysis für dieses Kapitel, d.h. wird totales Verständnis nicht 
%
% Lecture: Intuitiv wird Fourier-Trans. zur Kompression genutzt, z.b. jpg format.
\subsection{Fourier-Reihen}
Eine Anwendung der (Schnellen) Fourier-Transformation (FFT) ist die Komprimierung eines Bildes und sie wird im JPEG-Format verwendet.

\shade{purple}{Intuition:} Wir haben eine Datenmenge $D$, die die $y$-Werte einer Frequenzmessung an $N$ äquidistanten Punkten enthält.
Die Fourier-Transformation dieser Datenmenge ergibt eine neue Datenmenge, nennen wir sie $F$, die, wenn geplottet, einem Plot der Frequenzanalyse entsprechen.
Dies ist auch korrekt, denn die Fourier-Transformation macht (vereinfacht) genau das;
Sie macht einen Basiswechsel auf der Datenmenge $D$, so dass die Frequenz auf der $x$-Achse und die ``Häufigkeit'' deren auf der $y$-Achse aufgetragen werden,
oder formaler, so dass wir statt einer Funktion der Zeit eine Funktion der Frequenz haben.

Das Inverse davon nimmt eine Funktion der Frequenz und transformiert diese in eine Funktion der Zeit

\vspace{0.3cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}

\fancydef{Trigonometrisches Polynom von Grad $\leq m$} Die Funktion:
\rmvspace
\begin{align*}
    p_m(t) := t \mapsto \sum_{j = -m}^{m} \gamma_j e^{2 \pi ijt} \text{ wobei } \gamma_j \in \C \text{ und } t \in \R
\end{align*}
%
%
\inlineremark $p_m : \R \rightarrow \C$ ist periodisch mit Periode $1$.
Falls $\gamma_{-j} = \overline{\gamma_j}$ für alle $j$, dann ist $p_m$ reellwertig und
% NOTE: Uhh... do we want to use the fancy symbols for real and imaginary part or just use $\text{Re}$?
% RESPONE: whatever he uses in the script, preferably \text{Re}() etc.
$p_m$ kann folgendermassen dargestellt werden ($a_0 = 2\gamma_0, a_j = 2\Re(\gamma_j)$ und $b_j = -2\Im(\gamma_j)$):
\rmvspace
\begin{align*}
    p_m(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{j = 1}^{m} (a_j \cos(2\pi jt) + b_j \sin(2\pi jt))
\end{align*}

\begin{definition}[]{$L^2$-Funktionen}
    Wir definieren die $L^2$-Funktionen auf dem Intervall $(0, 1)$ als
    \rmvspace
    \begin{align*}
        L^2(0, 1) := \{ f: (0, 1) \rightarrow \C \divides ||f||_{L^2(0, 1)} < \infty \}
    \end{align*}
    während die $L^2$-Norm auf $(0, 1)$ durch das Skalarprodukt
    \rmvspace
    \begin{align*}
        \langle g, f \rangle_{L^2(0, 1)} := \int_{0}^{1} \overline{g(x)} f(x) \dx x
    \end{align*}
    über $||f||_{L^2(0, 1)} = \sqrt{\langle f, f \rangle_{L^2(0, 1)}}$ induziert wird
\end{definition}

\inlineremark $L^2(a, b)$ lässt sich analog definieren mit
\rmvspace
\begin{align*}
    \langle g, f \rangle_{L^2(a, b)} & := \int_{a}^{b} \overline{g(x)} f(x) \dx x                              \\
                                     & = (b - a) \int_{0}^{1} \overline{g(a + (b - a)t)} f(a + (b - a)t) \dx t
\end{align*}
In Anwendungen findet sich oft das Intervall $\left[ -\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$.
Dann verwandeln sich die Integrale in die Form $\frac{1}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}} (\ldots) \dx t$ und $\exp(2\pi ijt)$ durch $\exp(i \frac{2\pi j}{T} t)$ ersetzt wird.

\stepcounter{all}
\inlineremark Die Funktionen $\varphi_k(x) = \exp(2\pi ikx)$ sind orthogonal bezüglich des $L^2(0, 1)$-Skalarprodukts, bilden also eine Basis für den Unterraum der trigonometrischen polynome.


\inlinedef Eine Funktion $f$ ist der $L^2$-Grenzwert von Funktionenfolgen $f_n \in L^2(0, 1)$, wenn für $n \rightarrow \infty$ gilt, dass $||f - f_n||_{L^2(0, 1)} \rightarrow 0$


\begin{theorem}[]{Fourier-Reihe}
    Jede Funktion $f \in L^2(0, 1)$ ist der Grenzwert ihrer Fourier-Reihe:
    \rmvspace
    \begin{align*}
        f(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \hat{f}(k) e^{2\pi ikt}
    \end{align*}
    wobei die Fourier-Koeffizienten
    \rmvspace
    \begin{align*}
        \hat{f}(k) = \int_{0}^{1} f(t)e^{-2\pi ikt} \dx t \smallhspace k \in \Z
    \end{align*}
    definiert sind. Es gilt die Parseval'sche Gleichung:
    \rmvspace
    \begin{align*}
        \sum_{k = -\infty}^{\infty} |\hat{f}(k)|^2 = ||f||_{L^2(0, 1)}^2
    \end{align*}
\end{theorem}
\inlineremark Oder viel einfacher und kürzer: Die Funktionen $\varphi_k(x)$ bilden eine vollständige Orthonormalbasis in $L^2(0, 1)$.

% A (small) intuitive explanation of what the fourier series / coefficients are & what they are useful for would be great, script *briefly* touches on it.

\setcounter{all}{14}
\inlineremark Die Parseval'sche Gleichung beschreibt einfach gesagt einen ``schnellen'' Abfall der $\hat{f}(k)$.
Genauer gesagt, klingen die Koeffizienten schneller als $\frac{1}{\sqrt{k}}$ ab.
Sie sagt zudem aus, dass die $L^2$-Norm der Funktion aus einer Summe berechnet werden kann (nicht nur als Integral).
Wenn wir die Fourier-Reihe nach $t$ ableiten, erhalten wir
\rmvspace
\begin{align*}
    f'(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} 2\pi ik\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}
\end{align*}

\begin{theorem}[]{Fourier-Reihe}
    Seien $f$ und $f'$ integrierbar auf $(0, 1)$, dann gilt $\hat{f'}(k) = 2\pi ik\hat{f}(k)$ für $k \in \Z$.

    Falls die Operationen erlaubt sind, dann gilt zudem:
    \rmvspace
    \begin{align*}
        \hat{f^{(n)}} = (2\pi ik)^n \hat{f}(k) \text{ und } ||f^{(n)}||_{L^2}^2 = (2\pi)^{2n} \sum_{k = -\infty}^{\infty} k^{2n} |\hat{f}(k)|^2
    \end{align*}
\end{theorem}


\inlinetheorem Wenn $\displaystyle \int_{0}^{1} |f^{(n)}(t)|\dx t < \infty$, dann ist $\hat{f}(k) = \tco{k^{-n}}$

Falls die Funktion jedoch nicht glatt ist, dann entstehen \textit{Überschwingungen} an den Sprungstellen, die näher und näher an die Sprünge herankommen, aber nicht kleiner werden, wenn wir mehr Terme der Fourier-Reihe aufsummieren.
Das Phänomen wird das \bi{Gibbs-Phänomen} gennant und wir haben $L^2$-Konvergenz, aber keine punktweise Konvergenz an der Sprungstelle.

\inlineremark
Diese Überschwingungen entstehen durch die Definition der Fourier-Reihe und sind in der untenstehenden Abbildung \ref{fig:trigo-interp-overarcing} aus dem Skript sehr gut ersichtlich.
Die dargestellte Funktion ist die Fourier-Reihe der charakteristischen Funktion des Intervalls $[a, b] \subseteq ]0, 1[$, welche sich folgendermassen analytisch berechnen lässt:
\begin{align*}
    b - a + \frac{1}{\pi} \sum_{k \neq 0} e^{-ikc}\frac{\sin(kd)}{k} e^{i2\pi kt}, \mediumhspace t \in [0, 1]
\end{align*}
Mit $c = \pi(a + b)$ und $d = \pi(b - a)$

% TODO: Replace with rendered image from matplotlib (will be higher quality than screenshot from script and can tweak it to our liking)
% we will have it anyway after solving the exercises, so might as well
\begin{figure}[h!]
    \begin{center}
        \includegraphics[width=0.95\textwidth]{assets/01_interpolation/01_trigonometric/overarcing.png}
    \end{center}
    \caption{Überschwingungen der Fourier-Reihe der charakteristischen Funktion des Intervalls $[a, b] \subseteq ]0, 1[$.
        (Abbildung aus dem Vorlesungsdokument von Prof. V. Gradinaru, Seite 69)}
    \label{fig:trigo-interp-overarcing}
\end{figure}

\stepcounter{all}
\inlineremark Meist ist es nicht möglich (oder nicht sinnvoll) die Fourier-Koeffizienten analytisch zu berechnen,
weshalb man wieder zur Numerik und der Trapezformel greift, die folgendermassen definiert ist für $t_l = \frac{l}{N}$,
wobei $l = 0, 1 \ldots, N - 1$ und $N$ die Anzahl der Intervalle ist:
\begin{align*}
    \hat{f}_N(k) := \frac{1}{N} \sum_{l = 0}^{N - 1} f(t_l) e^{-2\pi ikt_l} \approx \hat{f}(k)
\end{align*}

% TODO: Consider if we should use the below

% \begin{tikzpicture}
%     \begin{axis}[
%         legend pos=outer north east,
%         title=Function plot of $f(x)$ (parts coloured),
%         axis lines = box,
%         xlabel = $x$,
%         ylabel = $y$,
%         variable = t,
%         trig format plots = rad,
%     ]
%         \addplot [
%             domain=1:4,
%             samples=70,
%             color=blue,
%         ]
%         {log2(x)};
%         \addlegendentry{$ y=x^2 - x - 0.5$}
%     \end{axis}
%     \node (0) at (0, 0) {};
% \end{tikzpicture}

