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\subsection{NP-Vollständigkeit}
Es sind mittlerweile über 3000 Probleme bekannt, für welche wir keinen Algorithmus kennen, der in polynomieller Zeit läuft.
Es ist aber bis jetzt niemandem gelungen, eine höhere untere Schranke für alle zu beweisen, als $\tcl{n}$.

Wie bereits bei der Berechenbarkeit benutzen wir eine Reduktion.
Falls jedes Problem aus $NP$ effizient auf ein Problem $L \in NP$ reduzierbar ist, so ist $L$ schwer.

\begin{definition}[]{Polynomielle Reduktion}
    $L_1 \subseteq \word_1$ ist \bi{polynomiell reduzierbar auf} $L_2 \subseteq \word_2$, geschrieben $L_1 \leq_p L_2$,
    falls eine polynomielle TM $A$ existiert, die für jedes Wort $x \in \word_1$ ein Word $A(x) \in \word_2$ berechnet, so dass
    \rmvspace
    \begin{align*}
        x \in L_1 \Longleftrightarrow A(x) \in L_2
    \end{align*}

    \drmvspace
    $A$ wird eine polynomielle Reduktion von $L_1$ auf $L_2$ genannt.
\end{definition}
Wieder bedeutet $L_1 \leq_p L_2$, dass $L_2$ mindestens so schwer ist wie $L_1$

\begin{definition}[]{$NP$-Schwer}
    Eine Sprache $L$ ist \bi{$NP$-Schwer}, falls für alle $L' \in NP$ gilt $L' \leq_p L$.

    Eine Sprache $L$ ist \bi{$NP$-Vollständig}, falls
    \drmvspace
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
            \item $L \in NP$
            \item $L$ $NP$-Schwer ist.
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{definition}

\inlinelemma Falls $L \in P$ und $L$ ist $NP$-schwer, dann gilt $P = NP$

\fancytheorem{Cook} $SAT$ ist $NP$-Vollständig

Der Beweis hierfür liefert eine grobe Struktur für weitere Beweise dieser Art und ist auf Seiten 199 - 205 im Buch (= Seiten 211 - 217 im PDF) zu finden.


\inlinelemma Falls $L_1 \leq_p L_2$ und $L_1$ ist $NP$-Schwer, so ist auch $L_2$ $NP$-Schwer

Betrachten wir folgende