\newsectionNoPB
\subsection{Newton-Verfahren in $n$ Dimensionen}
Sei $D \subseteq \R^n$ und $F: D \rightarrow \R^n$ stetig differenzierbar. Die Nullstelle ist
\rmvspace
\begin{align*}
    x^{(k + 1)} := x^{(k)} - DF(x^{(k)})^{-1} F(x^{(k)})
\end{align*}

\drmvspace
wobei $DF(x^{(k)}) =
    \begin{bmatrix}
        \frac{\partial F_j}{\partial x_k} (x)
    \end{bmatrix}_{j, k = 1, 2, \ldots, n}$ die Jacobi-Matrix von $F$ ist.

Wichtig ist dabei, dass wir \bi{niemals} das Inverse der Jacobi-Matrix (oder irgend einer anderen Matrix) von der Form $s = A^{-1} b$,
sondern immer das Gleichungssystem $As = b$ lösen sollten, da dies effizienter ist:

\begin{code}{python}
def newton(x, F, DF, tol=1e-12, maxit=50):
    x = np.atleast_2d(x)  # ’solve’ erwartet x als 2-dimensionaler numpy array
    # Newton Iteration
    for _ in range(maxit):
        s = np.linal.solve(DF(x), F(x))
        x -= s
        if np.linalg.norm(s) < tol * np.linalg.norm(x):
            return x
\end{code}

Wollen wir aber garantiert einen Fehler kleiner als unsere Toleranz $\tau$ können wir das Abbruchkriterium
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\begin{align*}
    ||DF(x^{(k - 1)})^{-1}F(x^{(k)})|| \leq \tau
\end{align*}

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verwenden. Code, welcher dies implementiert findet sich auf Seite 213-216 im Skript.
