% ┌ ┐ % │ AUTHOR: Janis Hutz │ % └ ┘ \newsection \subsection{Chebyshev Interpolation} % Session: Chebyshev Pol. : Abszisse = Extrema, Knoten = Nullstellen % % Lecture: Orthogonalität ist eine wichtige Eigenschaft: Siehe Lecture notes (handgeschr.) für Veranschaulichung. \\ % $\rightarrow$ Orth. liefert die Koeff. ohne Rechenaufwand. % % Lecture: Clenshaw-Alg. relativ zentral (Taschenrechner nutzen diesen intern) \begin{definition}[]{Chebyshev-Polynome} \begin{multicols}{2} \fhl{Erster Art} \rmvspace \begin{align*} T_n(x) = \cos(n \arccos(x)), \smallhspace x \in [-1, 1] \end{align*} \fhl{Zweiter Art} \rmvspace \begin{align*} U_n(x) = \frac{\sin((n + 1) \arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}, \smallhspace x \in [-1, 1] \end{align*} \end{multicols} \end{definition} $T_n(x)$ scheint erst nicht ein Polynom zu sein, aber wir haben einen $\arccos$ in einem $\cos$. Zudem: \stepcounter{all} \fancytheorem{Eigenschaften} Das $n$-te Chebyshev-Polynom ist ein Polynom von Grad $n$ und für $x \in [-1, 1]$ gilt: \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $T_0(x) = 1, T_1(x) = x$,\\ $T_{n + 1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n - 1}(x)$ \item $|T_n(x)| \leq 1$ \item $T_n\left(\cos\left( \frac{k\pi}{n} \right)\right) = (-1)^k \text{ für } k = 0, \ldots, n$ \item $T_n\left( \cos\left( \frac{(2k + 1) \pi}{2n} \right) \right) = 0 \text{ für } k = 0, \ldots, n - 1$ \end{enumerate} \end{multicols} \fancydef{Chebyshev-Knoten} Die $(n + 1)$ Chebyshev-Knoten $x_0, \ldots, x_n$ im Intervall $[-1, 1]$ sind die Nullstellen von $T_{n + 1}(x)$ \fancyremark{Chebyshev-Knoten für beliebiges Intervall} Für $I = [a, b]$ sind die Chebyshev-Knoten: \rmvspace \begin{align*} x_k = a + \frac{1}{2} (b - a) \left( \cos \left( \frac{2k + 1}{2(n + 1)} \pi \right) + 1 \right) \smallhspace k = 0, \ldots, n \end{align*} \fancydef{Chebyshev-Abszissen} Die $(n - 1)$ Chebyshev-Abszissen $x_0, \ldots, x_{n - 2}$ im Intervall $[-1, 1]$ sind die Extrema des Chebyshev-Polynoms $T_n(x)$ und zeitgleich die Nullstellen von $U_{n - 1}(x)$. Je nach Kontext nimmt man noch die Grenzen des Intervalls ($1$ und $-1$) hinzu und hat dann $(n + 1)$ Abszissen. \fancyremark{Chebyshev-Abszissen für beliebiges Intervall} Für $I = [a, b]$ sind die Chebyshev-Abszissen: \rmvspace \begin{align*} x_k = a + \frac{1}{2} (b - a) \left( \cos \left( \frac{k}{n} \pi \right) + 1 \right) \smallhspace k = 0, \ldots, n \end{align*} Oder $k = 1, \ldots, n - 1$ bei ausgeschlossenen Endpunkten $a$ und $b$ \inlineremark Gegen die Ränder des Intervalls werden die Chebyshev-Knoten dichter. \begin{theorem}[]{Orthogonalität} Die Chebyshev-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts \rmvspace \begin{align*} \langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \dx x \end{align*} Sie ($T_0, \ldots, T_n$) sind zudem orthogonal bezüglich des diskreten Skalarprodukts im Raum der Polynome von Grad $\leq n$ \rmvspace \begin{align*} (f, g) = \sum_{l = 0}^{n} f(x_l)g(x_l) \end{align*} wobei $(x_0, \ldots, x_n)$ die Nullstellen von $T_{n + 1}$ sind. \end{theorem} % ──────────────────────────────────────────────────────────────────── \stepcounter{all} \newpage \subsubsection{Fehler} Was hat die neue Verteilung für einen Einfluss auf den Fehler? \begin{theorem}[]{Fehlerabschätzung} Unter allen $(x_0, \ldots, x_n)$ mit $x_i \in \R$ wird (wobei $x_k$ die Nullstellen von $T_{n + 1}$ sind) \rmvspace \begin{align*} \max_{x \in [-1, 1]} |(x - x_0) \cdot \ldots \cdot (x - x_n)| & & \text{minimal für } x_k = \cos \left( \frac{2k + 1}{2(n + 1)}\pi \right) \end{align*} \end{theorem} Folglich sind also die Nullstellen der Chebyshev-Polynome $T_n$ die bestmögliche Wahl für die Stützstellen. Da die Abszissen mit FFT einfacher zu berechnen sind, werden diese oft bevorzugt berechnet. Dies, da die Nullstellen von $T_n$ in den Extrema von $T_{2n}$ enthalten sind, während zudem zwischen zwei nebeneinanderliegenden Chebyshev-Abszissen jeweils eine Nullstelle von $T_{2n}$ liegt \stepcounter{all} \fancytheorem{Lebesgue-Konstante} Für die Chebyshev-Interpolation: $\displaystyle \Lambda_n \approx \frac{2}{\pi} \log(n) \text{ für } n \rightarrow \infty$ % ──────────────────────────────────────────────────────────────────── \stepcounter{all} \begin{theorem}[]{Interpolationspolynom} Das Interpolationspolynom $p$ zu $f$ mit Chebyshev-Knoten gleich der Nullstellen von $T_{n + 1}$ ist gegeben durch \begin{align*} p(x) = c_0 + c_1 T_1(x) + \ldots + c_n T_n(x) \end{align*} wobei für die $c_k$ gilt: \begin{align*} c_k & = \frac{2}{n + 1} \sum_{l = 0}^{n} f\left( \underbrace{\cos \left( \frac{2l + 1}{n + 1} \frac{\pi}{2} \right)}_{= x_i (\text{Knoten})} \right) \cos \left( k \frac{2l + 1}{n + 1} \frac{\pi}{2} \right) & & \text{für } k = 1, \ldots, n \\ c_k & = \frac{1}{n + 1} \sum_{l = 0}^{n} f\left( \underbrace{\cos \left( \frac{2l + 1}{n + 1} \frac{\pi}{2} \right)}_{= x_i (\text{Knoten})} \right) \cos \left( k \frac{2l + 1}{n + 1} \frac{\pi}{2} \right) & & \text{für } k = 0 \end{align*} \end{theorem} Für $n \geq 15$ berechnet man $c_k$ mit der Schnellen Fourier Transformation (FFT). \fancyremark{Laufzeit} Für die Interpolation ergibt sich folgender Aufwand: \begin{center} \begin{tabular}{ll} Direkte Berechnung der $c_k$ & $\tco{(n + 1)^2}$ Operationen \\ Dividierte Differenzen & $\tco{\frac{n (n + 1)}{2}}$ Operationen (zum Vergleich) \\ $c_k$ mittels FFT & $\tco{n \log(n)}$ Operationen \end{tabular} \end{center} \fancytheorem{Clenshaw-Algorithmus} Seien $d_{n + 2} = d_{n + 1} = 0$. Sei $d_k = c_k + (2x)d_{k + 1} - d_{k + 2} \text{ für } k = n, \ldots, 0$\\ Dann gilt: $p(x) = \frac{1}{2}(d_0 - d_2)$ und man kann $p(x)$ mit Hilfe einer Rückwärtsrekursion berechnen Der Clenshaw-Algorithmus ist sehr stabil, auch wenn er mit (oft) unstabilen Rekursionen implementiert ist. % ──────────────────────────────────────────────────────────────────── \subsection{DFT und Chebyshev-Interpolation} Der folgende Abschnitt wurde ausgelassen, da dieser (noch) nicht während den Vorlesungen behandelt wurde. Er behandelt primär die Implementation der Chebyshev-Interpolation.