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% │     AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com>     │
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\newsection
\subsection{Adaptive Quadratur}
Der lokale Fehler einer zusammengesetzten Quadraturformel auf dem Gitter $\mathcal{M} := \{ a = x_0 < x_1 < \dots < x_m = b \}$ ist (für $f \in C^2([a, b])$):
\begin{align*}
    \left| \int_{x_k}^{x_{k + 1}} f(t) \dx t - \frac{f(x_k) + f(x_{k + 1})}{2}(x_{k + 1} - x_k) \right| \leq (x_{k + 1} - x_k)^3 ||f''||_{L^\infty([x_k, x_{k + 1}])}
\end{align*}
Also ist es nur sinnvoll, das Gitter zu verfeinern wo $|f''|$ gross ist.

Auf Seiten 150 - 151 im Skript findet sich Code, um eine adaptive Quadratur durchzuführen.

\setLabelNumber{all}{3}
\fancyremark{Adaptive Quadratur in Python} Mit \texttt{scipy.integrate.quad} können wir einfach eine adaptive Quadratur durchführen und benutzt \texttt{QUADPACK}.
Mit \texttt{scipy.integrate.quadrature} können wir die Gauss-Quadratur verwenden.

Für $x \in \R^d$, also eine mehrdimensionale Funktion der Dimension $d$ können wir \texttt{scipy.integrate.nquad} verwenden. Mehr dazu im nächsten Kapitel

% TODO: Possibly explain the graphs and / or add code for computation using scipy