[NumCS] Start Chapter 6.1, fix some errors

semester3/numcs/numcs-summary.tex

@@ -144,4 +144,11 @@ Moral of the story: Use descriptive variable names and do NOT use $t$, $tt$, $tt
 \input{parts/02_quadrature/06_reduction-of-variance.tex}
 
 
+% ── Nullstellen ─────────────────────────────────────────────────────
+\newsection
+\section{Nullstellensuche}
+\input{parts/03_zeros/00_intro.tex}
+
+
+
 \end{document}

semester3/numcs/parts/02_quadrature/03_adaptive.tex

@@ -1,3 +1,7 @@
+% ┌                                                ┐
+% │     AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com>     │
+% └                                                ┘
+
 \newsection
 \subsection{Adaptive Quadratur}
 Der lokale Fehler einer zusammengesetzten Quadraturformel auf dem Gitter $\mathcal{M} := \{ a = x_0 < x_1 < \dots < x_m = b \}$ ist (für $f \in C^2([a, b])$):

semester3/numcs/parts/02_quadrature/04_in-rd.tex

@@ -1,3 +1,7 @@
+% ┌                                                ┐
+% │     AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com>     │
+% └                                                ┘
+
 \newsectionNoPB
 \subsection{Quadratur in $\R^d$ und dünne Gitter}
 Eine einfache Option wäre natürlich, zwei eindimensionale Quadraturformeln aneinander zu hängen.

semester3/numcs/parts/02_quadrature/05_monte-carlo.tex

@@ -1,3 +1,7 @@
+% ┌                                                ┐
+% │     AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com>     │
+% └                                                ┘
+
 \newsection
 \newcommand{\tsigma}{\tilde{\sigma}}
 \subsection{Monte-Carlo Quadratur}

semester3/numcs/parts/02_quadrature/06_reduction-of-variance.tex

@@ -1,3 +1,7 @@
+% ┌                                                ┐
+% │     AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com>     │
+% └                                                ┘
+
 \newsection
 \subsection{Methoden zur Reduktion der Varianz}
 % NOTE: Mostly from TA slides, as the script is quite convoluted there

semester3/numcs/parts/03_zeros/00_intro.tex

@@ -0,0 +1,48 @@
+% ┌                                                ┐
+% │     AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com>     │
+% └                                                ┘
+
+\subsection{Iterative Verfahren}
+\inlinedef Ein iteratives Verfahren ist ein Algorithmus $\phi_F$, der die Folge $x^{(0)}, x^{(1)}, \ldots$ von approximativen Lösungen $x^{(j)}$ generiert.
+Die Definition ist dabei rekursiv: $x^{(k)} := \phi_F(x^{(k - 1)})$, sofern $x^{(0)}$ und $\phi$ gegeben sind.
+
+\setLabelNumber{all}{5}
+\fancydef{Konvergenz} $\phi_F$ zur Lösung $F(x^*) = 0$ konvergiert, wenn $x^{(k)} \rightarrow x^*$, mit $x^*$ der gesuchte Wert.
+
+\setLabelNumber{all}{8}
+\fancydef{Norm}
+
+\innumpy haben wir \texttt{numpy.linalg.norm}, welches zwei Argumente nimmt. Dabei ist das erste Argument der Vektor und das Zweite die Art der Norm.
+Ohne zweites Argument wird die Euklidische Norm $||x||_2$, mit Argument $1$ wird die $1$-Norm $||x||_1 := |x_1| + \ldots + |x_n|$
+und mit mit \texttt{inf} als Argument wird die $\infty$-Norm, bzw die Max-Norm $||x||_\infty := \max\{ |x_1|, \ldots, |x_n| \}$ berechnet.
+
+\stepLabelNumber{all}
+\inlinedef Zwei Normen $||\cdot||_1$ und $||\cdot||_2$ sind äquivalent auf $\cV$, falls es Konstanten $\underline{C}$ und $\overline{C}$ gibt so dass
+\rmvspace
+\begin{align*}
+    \underline{C} \cdot ||v||_1 \leq ||v||_2 \leq \overline{C} \cdot ||v||_1 \mediumhspace \forall v \in \cV, \text{ mit } \cV \text{ ein linearer Raum}
+\end{align*}
+
+\drmvspace
+\inlinetheorem Falls $\dim(\cV) < \infty$, dann sind alle Normen auf $\cV$ äquivalent
+
+\stepLabelNumber{all}
+\fancydef{Lineare Konvergenz} $x^{(k)}$ konvergiert linear gegen $x^*$, falls es ein $L < 1$ gibt, so dass
+\rmvspace
+\begin{align*}
+    ||x^{(k + 1)} - x^*|| \leq L||x^{(k)} - x^*|| \smallhspace \forall k \geq k_0, \smallhspace L \text{ gennant Konvergenzrate }
+\end{align*}
+
+\drmvspace\stepLabelNumber{all}
+\fancydef{Konvergenzordnung} $p$ für das Verfahren, falls es ein $C > 0$ gibt, so dass
+\rmvspace
+\begin{align*}
+    ||x^{(k + 1)} - x^*|| \leq C||x^{(k)} - x^*||^p \smallhspace \forall k \in \N \text{ mit } C < 1 \text{ für } p = 1
+\end{align*}
+
+\drmvspace
+Wir nehmen dabei an, dass $||x^{(0)} - x^*|| < 1$, damit wir eine konvergente Folge haben.
+
+\numberingOff
+\inlineremark Eine höhere Konvergenzordnung ist in Lin-Log-Skala an einer gekrümmten Konvergenzkurve erkennbar.
+\numberingOn

semester3/ti-compact/parts/01_words-alphabets.tex

@@ -60,7 +60,7 @@ where the Program doesn't have to compile, i.e. we can describe processes inform
 \fancydef{Randomness} $x \in \wordbool$ random if $K(x) \geq |x|$, thus for $n \in \N$, $K(n) \geq \ceil{\log_2(n + 1)} - 1$
 
 \stepLabelNumber{theorem}
-\fancytheorem{Prime number} $\displaystyle \limni \frac{\text{Prime}(n)}{\frac{n}{\ln(n)}}$
+\fancytheorem{Prime number} $\displaystyle \limni \frac{\text{Prime}(n)}{\frac{n}{\ln(n)}} = 1$ with $\text{Prime}(n)$ the number of prime numbers on $[0, n] \subseteq \N$
 
 \fhlc{Cyan}{Proofs} Proofs in which we need to show a lower bound for Kolmogorov-Complexity (almost) always work as follows:
 Assume for contradiction that there are no words with $K(w) > f$ for all $w \in W$.

semester3/ti-compact/parts/02_finite-automata.tex

@@ -146,8 +146,8 @@ Thus, all four words have to lay in pairwise distinct states and we thus need at
 
 
 \subsection{Non-determinism}
-The most notable differences between deterministic and non-deterministic FA is that the transition function maps is different: $\delta: Q \times \Sigma \rightarrow \cP(Q)$.
+The most notable differences between deterministic and non-deterministic FA is that the transition function is different: $\delta: Q \times \Sigma \rightarrow \cP(Q)$.
-I.e., there can be any number of transitions for one symbol from $\Sigma$ from each state.
+I.e., there can be any number of transitions for one symbol of $\Sigma$ for each state.
 This is (in graphical notation) represented by arrows that have the same label going to different nodes.
 
 It is also possible for there to not be a transition function for a certain element of the input alphabet.

semester3/ti/parts/02_finite-automata/02_proofs-of-nonexistance.tex

@@ -24,7 +24,7 @@ so heisst das für uns von jetzt an, dass $A$ nicht zwischen $x$ und $y$ untersc
 Das obenstehende Lemma 3.3 ist ein Spezialfall einer Eigenschaft, die für jedes (deterministische) Rechnermodell gilt.
 Es besagt eigentlich nichts anderes, als dass wenn das Wort $xz$ akzeptiert wird, so wird auch das Wort $yz$
 
-Mithilfe von Lemma 3.3 kann man für viele Sprachen deren Nichtregularität beweisen.
+Mithilfe von Lemma 3.3 kann man für einen grossteil Sprachen deren Nichtregularität beweisen.
 
 \numberingOff
 \inlineex Sei $L = \{ 0^n1^n \divides n \in \N \}$.
@@ -36,7 +36,7 @@ Wir nehmen an, dass $L$ regulär ist und betrachten die Wörter $0^1, 0^2, \ldot
 Weil wir $|Q| + 1$ Wörter haben, existiert per Pigeonhole-Principle o.B.d.A $i < j \in \{ 1, 2, \ldots, |Q| + 1 \}$
 (die Ungleichheit kann in komplexeren Beweisen sehr nützlich werden, da wir dann besser mit Längen argumentieren können),
 so dass $\hdelta_A(q_0, 0^i) = \hdelta_A(q_0, 0^j)$, also gilt nach Lemma $0^i z \in L \Leftrightarrow 0^j z \in L \smallhspace \forall z \in \wordbool$.
-Dies gilt jedoch nicht, weil für jedes $z = 1^i$ zwar jedes $0^i 1^i \in L$ gilt, aber $0^j 1^j \notin L$
+Dies gilt jedoch nicht, weil für jedes $z = 1^i$ zwar jedes $0^i 1^i \in L$ gilt, aber $0^i 1^j \notin Lh$
 
 \numberingOn
 
@@ -52,7 +52,7 @@ denn wenn eine Sprache eine dieser Eigenschaften \textit{nicht} erfüllt, so ist
 
 \fhlc{Cyan}{Pumping}
 
-Eine Methode zum Beweis von Aussagen $L \notin \mathcal{L}_{\text{EA}}$ nennt sich \bi{Pumping} und basiert auf folgender Idee:
+Eine weitere Methode zum Beweis von Aussagen $L \notin \mathcal{L}_{\text{EA}}$ nennt sich \bi{Pumping} und basiert auf folgender Idee:\\
 Wenn für ein Wort $x$ und einen Zustand $p$ gilt, dass $(p, x) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda)$, so gilt auch für alle $i \in \N$, dass $(p, x^i) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda)$.
 Also kann $A$ nicht zwischen $x$ und $x^i$ unterscheiden, oder in anderen Worten, wie viele $x$ er gelesen hat,
 also akzeptiert $A$ entweder alle Wörter der Form $yx^iz$ (für $i \in \N$) oder keines davon

semester3/ti/ti-summary.tex

@@ -1,8 +1,6 @@
 \documentclass{article}
 
-\newcommand{\dir}{~/projects/latex}
+\input{~/projects/latex/dist/full.tex}
-\input{\dir/include.tex}
-\load{full}
 \setLang{de}
 
 \setup{Theoretische Informatik}