[PS] Add more notes

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/04_cont-dist.tex

@@ -3,7 +3,8 @@
 \shortdefinition[Stetig verteilte Z.V] $\cX$ stetig, falls $\exists f_\cX : \R \rightarrow \R_+$, s.d. V.F. $F_\cX(x) = \int_{-\8}^{x} f_\cX(t) \dx t$.
 $f_\cX$ ist Dichte (pdf) v. $\cX$
 
-Falls Z.V. Sprungstelle hat, \bi{weder stetig noch diskret}.
+Falls Z.V. Sprungstelle hat, \bi{weder stetig noch diskret}.\\
+Zudem wenn nicht $P[a < \cX \leq b]$, dann Grenzwert an Seite mit Abweichung von diesem Schema
 
 \shortremark $\P[\cX = n] \approx 0$; $\P[m \leq \cX \leq n] = \int_{m}^{n} f_\cX(x) \dx x$
 

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/03_properties.tex

@@ -16,3 +16,6 @@ $\E\left[ \prod_{k = 1}^n \cX_k \right] = \prod_{k = 1}^n \E[\cX_k]$
 
 \shorttheorem äquivalent: \bi{(1)} $\cX_i$ unabhängig,\\
 \bi{(2)} $\forall \varphi_i$: $\E[\varphi_1(\cX_1) \cdots \varphi_n(\cX_n)] = \E[\varphi_1(\cX_1)] \cdots \E[\varphi_n(\cX_n)]$
+
+\shortremark[Bedingte W.] $\E[I] = \P[K \cap R]\E[I | K, R] + \ldots$\\
+{\scriptsize Dabei beinflussen $K$ und $R$ den Wert nur durch Bedingte W.}

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/05_variance.tex

@@ -1,6 +1,4 @@
 \subsection{Varianz}
-$\E[\cX^2] = \sum_{x \in W} x^2 \cdot p_\cX(x)$ ($\cX$ diskret)
-
 \shortdefinition $\cX$ mit $\E[\cX^2] < \8$, $\V[\cX] = \E[(\cX - \E[\cX])^2]$
 
 \shortdefinition[Standardabweichung] $\sigma(\cX) = \sqrt{\V[\cX]}$

semester4/ps/ps-jh/parts/04_joint-distribution/02_remarks.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \subsection{Tips \& Tricks}
 \shortremark Die \bi{Dichten} können anstelle der Variablen in bspw. der Formel für bedingte W. verwendet werden.
 
-\coloredbox{gray}{HOW-TO: Randdichten berechnen}{
+\howto{Randdichten berechnen}{
     \begin{enumerate}
         \item Intervalle zur Integration für Randdichten via Indikatorvariable $\bm{1}_{cond}$ bestimmen. $\bm{1}_x$ verschwindet bei Bestimmung von $f_\cY$ in den Integral-grenzen
         \item $cond$ nach entsprechender Var. auflösen, wenn nötig
@@ -10,3 +10,19 @@
 }
 
 Die Randdichten sind dann die Dichten von $\cX$, etc.; Für weitere Berechnungen verwendbar, wie bspw. $\E[\cX + \cY]$.
+
+\howto{Gemeinsame Dichten finden}{
+    Nach Definition muss $f$ die Ableitung von $F$ sein.
+    Oder umgekehrt, $\int f \dx \ldots$ sollte $F$ ergeben. Beispiel:
+    $T \sim \cU[1, 2], \cX \sim \text{Exp}(\lambda), \cY \sim \text{Exp}(\gamma)$. Dann $f_{T, X, Y}(t, x, y) = \begin{cases}
+            \lambda \gamma \exp(-\lambda x - \gamma y) & \text{falls } 1 \leq t \leq 2 \land x, y \geq 0 \\
+            0                                          & \text{sonst}
+        \end{cases}$
+}
+
+\howto{Verteilungen finden}{
+    Wir suchen $\P[\cZ \leq a]$ (ausser für gem. V, dann s. oben).
+    Dann überlegen, wie $\cZ \leq a$ erfüllt werden kann. Beispiel:
+    $Z = \min(\cX, \cY)$, dann gesucht: $\P[\cX \leq a \cup \cY \leq a]$ oder $1 - \P[\cZ > a]$.
+    Schliesslich $F_Z$ aufstellen mit Bedingungen.
+}

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/01_estimators.tex

@@ -22,4 +22,6 @@ $\text{MSE}_\vartheta[T] = \E_\vartheta[(T - \vartheta)^2]$
 
 \shortdefinition \bi{Folge von Schätzern} $T^{(n)}$, $n \in \N$ ist \bi{konsistent} für $\vartheta$,
 falls $T^{(n)}$ für $n \rightarrow \8$ in $\P_\vartheta$-W. gegen $\vartheta$ konvergiert, also $\forall \vartheta \in \Theta, \varepsilon > 0$:
-$\limit{n}{\8} \P_\vartheta [|T^{(n)} - \vartheta| > \varepsilon] = 0$
+$\limit{n}{\8} \P_\vartheta [|T^{(n)} - \vartheta| > \varepsilon] = 0$.
+
+{\scriptsize Beweise oft mit GGZ (s. \ref{sec:weak-law-of-large-numbers}), also $T$ umformen, s.d. anwendbar (e.g. $T^{(n)} \div n$)}

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/02_max-likelihood.tex

@@ -31,12 +31,7 @@ Meistens sind $\cX_k$ i.i.d. unter $\P_\vartheta$, dann $L$ produkt, also besser
 
 % ────────────────────────────────────────────────────────────────────
 
-\coloredbox{red}{REWRITE}{
+\howto{Finden von ML-Schätzern}{
-    This section is undergoing a rewrite currently.
-    When complete, there will be estimators for (pretty much) every covered distribution
-}
-
-\coloredbox{gray}{How To: Finden von ML-Schätzern}{
     \begin{enumerate}
         \item log-LH-Funk. bestimmen ($x_i$ statt $\cX_i$ verwenden)
         \item Nach $\vartheta$ ableiten (oder wodurch $\vartheta$ ersetzt wurde)

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/02_examples.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 \coloredbox{red}{REWRITE}{
     This section is undergoing a rewrite, to be more on-point. The previous section may also see some changes as a result.
 }
-\coloredbox{gray}{How-To: Tests}{
+\howto{Tests}{
     Was zu tun / erwähnen ist jeweils:
     \begin{enumerate}
         \item Modell: Verteilung der Stichproben $\cX_k$ unter $\P_\vartheta$, mit $\vartheta =$ gesuchte Werte.