[PS] Rework parts of tests section, more changes to come

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/04_cont-dist.tex

@@ -1,18 +1,18 @@
 \newpage
 \subsection{Stetige Zufallsvariablen}
 \shortdefinition[Stetig verteilte Z.V] $\cX$ stetig, falls $\exists f_\cX : \R \rightarrow \R_+$, s.d. V.F. $F_\cX(x) = \int_{-\8}^{x} f_\cX(t) \dx t$.
-$f_\cX$ ist Dichte (pdf) von $\cX$
+$f_\cX$ ist Dichte (pdf) v. $\cX$
 
-% \shortdefinition[Stückw. st. diff. F.] TODO: Consider adding this, Slides Chapter 3, P56
-
-\shorttheorem Sei $F_\cX$ st. stückw. diff. auf Partition $-\8 = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = \8$.
+\shorttheorem Sei $F_\cX$ st. stückw. diff. auf Partition $-\8 = x_0 < \ldots < x_n = \8$.
 Dann $\cX$ stetig, mit $a_k$ beliebig und
 \[
     f_\cX = \begin{cases}
-        F_\cX'(x) & \exists k \in \{0, 1, \ldots, n - 1\} : x \in (x_k, x_{k + 1}) \\
+        F_\cX'(x) & \exists k \in \{0, \ldots, n - 1\} : x \in (x_k, x_{k + 1}) \\
         a_k       & x \in \{ x_1, \ldots, x_{n - 1} \}
     \end{cases}
 \]
 
+\shorttheorem $\int_{-\8}^\8 f_\cX(x) \dx x = 1$ \hl{(nützl. f. berech. v. Param in $f$)}
+
 \shortremark $f_\cX$ fast analog zu Gew.F $p_\cX$. Also:\\
 $(\Sigma, p_\cX) \mapsto (\int, f_\cX)$ vom diskreten zu stetigen Fall

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/00_intro.tex

@@ -10,4 +10,4 @@
 \shortremark $|\cX| = \cX_+ + \cX_-$; $\cX = \cX_+ - \cX_-$. Für $\cX \geq 0$ ist $\E[\cX]$ immer definiert.
 Falls $\cX$ kein konst. Vorzeichen, $\E[\cX]$ undef.
 
-\shortremark $\E[\cX] = \int_{0}^{\8} (1 - F_\cX(x)) \dx x - \int_{-\8}^{0} F_\cX(x)$
+\shortremark $\E[\cX] = \int_{0}^{\8} (1 - F_\cX(x)) \dx x - \int_{-\8}^{0} F_\cX(x) \dx x$

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/05_variance.tex

@@ -5,7 +5,7 @@ $\E[\cX^2] = \sum_{x \in W} x^2 \cdot p_\cX(x)$ ($\cX$ diskret)
 
 \shortdefinition[Standardabweichung] $\sigma(\cX) = \sqrt{\V[\cX]}$
 
-\shortremark $\V[\cX] = \E[\cX^2] - \E[\cX]^2$
+\shortremark $\V[\cX] = \E[\cX^2] - \E[\cX]^2$ ($\V[\cX] \geq 0$ ist wahr)
 
 \shortexample $\cX$ determ. Z.V (= konst) mit Wert $a$, also $\cX = a1_\Omega$. Dann: $\E[\cX] = a \E[1_\Omega] = a \P[\Omega] = a$ und\\
 $\V[\cX] = \E[\cX^2] - \E[\cX]^2 = a^2\E[1_\Omega] - a^2 = 0$

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/06_covariance.tex

@@ -16,7 +16,8 @@
     \item Wenn $\cov(\cX, \cY) < 0$, dann: $\cX$, $\cY$ \bi{negativ korreliert}
 \end{itemize}
 
-\shortexample $\cX, \cY$ unkorreliert $\centernot\implies \cX, \cY$ unabhängig
+\shortexample $\cX, \cY$ unkorreliert $\centernot\implies \cX, \cY$ unabhängig\\
+aber $\cX, \cY$ unabh. $\implies \cX, \cY$ unkorreliert
 
 \shortremark Eigenschaften der Kovarianz (alle $a, \ldots \in \R$):
 \begin{itemize}

semester4/ps/ps-jh/parts/04_joint-distribution/02_remarks.tex

@@ -1,4 +1,9 @@
 \subsection{Tips \& Tricks}
+\coloredbox{red}{REWRITE}{
+    This section is going to be completely rewritten
+}
+\shortremark Die \bi{Dichten} können anstelle der Variablen in bspw. der Formel für bedingte W. verwendet werden.
+
 Zur Bestimmung von W. wie (mit $\cX, \cY \sim \cU(0, 1)$)
 \[
     W(t) = \P[\cX + \cY \leq t] \ \forall t \in \R

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/02_max-likelihood.tex

@@ -36,13 +36,14 @@ Meistens sind $\cX_k$ i.i.d. unter $\P_\vartheta$, dann $L$ produkt, also besser
     When complete, there will be estimators for (pretty much) every covered distribution
 }
 
-\shortexample[How To] Finden von ML-Schätzern:
-\begin{enumerate}
-    \item log-LH-Funk. bestimmen ($x_i$ statt $\cX_i$ verwenden)
-    \item Nach $\vartheta$ ableiten (oder wodurch $\vartheta$ ersetzt wurde)
-    \item Nullstelle davon berechnen (für Max (via e.g. $f'' < 0$))
-    \item ML-Schätzer ist dann Nullstelle von Ableitung (mit $x_i$ wieder durch $\cX_i$ ersetzt)
-\end{enumerate}
+\coloredbox{gray}{How To: Finden von ML-Schätzern}{
+    \begin{enumerate}
+        \item log-LH-Funk. bestimmen ($x_i$ statt $\cX_i$ verwenden)
+        \item Nach $\vartheta$ ableiten (oder wodurch $\vartheta$ ersetzt wurde)
+        \item Nullstelle davon (für Max (via e.g. $f'' < 0$))
+        \item ML-Schätzer ist dann Nullstelle von Ableitung (mit $x_i$ wieder durch $\cX_i$ ersetzt)
+    \end{enumerate}
+}
 
 \shortexample[ML-Schätzer von Verteilungen]
 

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/02_examples.tex

@@ -1,16 +1,31 @@
 \subsection{Beispiele}
-% TODO: More on Teststatistik
-\shortexample[Gauss-Test] $\cX_i$ i.i.d. $\sim \cN(\vartheta, \sigma^2)$ unter $\P_\vartheta$ mit bekanntem $\sigma^2$.
-Die zu testende Hypothese ist $H_0 : \vartheta = \vartheta_0$, mögliche alternative Hypothesen $H_A$ sind
-$\vartheta > \vartheta_0$, $\vartheta < \vartheta_0$ (einseitig) oder $\vartheta \neq \vartheta_0$ (zweiseitig).
-Teststatistik ist immer:
+\coloredbox{red}{REWRITE}{
+    This section is undergoing a rewrite, to be more on-point. The previous section may also see some changes as a result.
+}
+\coloredbox{gray}{How-To: Tests}{
+    Was zu tun / erwähnen ist jeweils:
+    \begin{enumerate}
+        \item Modell: Verteilung der Stichproben $\cX_k$ unter $\P_\vartheta$, mit $\vartheta =$ gesuchte Werte.
+              Für $\cX_k \sim \cN(\mu, \sigma^2)$, ist $\vartheta = (\mu, \sigma^2)$, wenn beide unbekannt.
+        \item Hypothesen: $H_0: \vartheta = \vartheta_0 =$ Vergleichswert, $H_A: \vartheta < \vartheta_0$ (oder grösser, $\neq$, etc). \hl{Umgekehrt, s. links}
+        \item Teststatistik: Basierend auf Verteilung von $\cX_k$ und Bekanntheit von Parametern
+        \item Verteilung von $T$: Oft $t_{n - 1}$, siehe \ref{sec:estimators-properties} unten
+        \item Verwerfungsbereich: Nach Anleitung unten
+        \item Wert der $T$: $T(\omega)$ berechnen, $\omega$ ist beobachteter Wert (bspw. Durchschnitt $\overline{\cX}_n$)
+        \item Testentscheid: Basierend auf Resultat von vorherigem und $K$ entscheiden.
+    \end{enumerate}
+}
+\bi{Verwerfungsbereich} $K_l = (c_>, \8)$ (links), $K_r = (-\8, c_<)$ (rechts), $K_b = (-\8, c_{\neq}) \cup (c_{\neq}, \8)$ (beidseitig)
+
+\shortexample[Gauss-Test] Voraussetz.:
+\bi{(1)} $\cX_i$ i.i.d. $\sim \cN(\vartheta, \sigma^2)$ unter $\P_\vartheta$
+\bi{(2)} $\sigma^2$ bekannt.
+\textbf{Teststatistik}:
 \[
     T = \frac{\overline{\cX}_n - \vartheta_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim \cN(0, 1) \qquad \text{unter } \P_{\vartheta_0}
 \]
-$K$: $(c_>, \8)$, bzw. $(-\8, c_<)$ für einseitig, $(-\8, -c_{\neq}) \cup$\\
-$(c_{\neq}, \8)$ für zweiseitig (verwerfen $H_0$ falls $|T| > c_{\neq}$).
-
-\bi{Bestimmung $c$s}: Mit Verteilung von $T$. Bsp: $\alpha = \P_{\vartheta_0}[T > c_>] = 1 - \Phi(c_>)$, folglich $c_> = \Phi^{-1}(1 - \alpha) =: z_{1 - \alpha}$
+\bi{Bestimmung $c$s}: $z_{1 - \alpha} = \Phi^{-1}(1 - \alpha)$.\\
+$c_> = z_{1 - \alpha}; c_< = -z_{1 - \alpha}; c_{\neq} = z_{1 - 0.5 \alpha}$
 
 
 \shortexample[t-Test] $\cX_i$ i.i.d. $\sim \cN(\mu, \sigma^2)$ unter $\P_{\overrightarrow{\vartheta}}$
@@ -19,8 +34,9 @@ Testen wieder $H_0 : \mu = \mu_0$. Teststatistik ist hier (see \ref{sec:estimato
 \[
     T = \frac{\overline{X}_n - \mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \qquad S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{k = 1}^{n} (\cX_k - \overline{\cX}_n)^2
 \]
-$K$: $c_> = t_{n - 1, 1 - \alpha}$; $c_< = t_{n - 1, \alpha} = -c_>$; $c_{\neq} = t_{n - 1, 1 - 0.5 \alpha}$,
-mit $t_{m, \gamma}$ das $\gamma$-Quantil, mit $\P[\cX \leq t_{m, \gamma}] = \gamma$ für $\cX \sim t_m$
+$K$: $c_> = t_{n - 1, 1 - \alpha}$; $c_< = t_{n - 1, \alpha} = -c_>$; $c_{\neq} = t_{n - 1, 1 - 0.5 \alpha}$,\\
+mit $t_{m, \gamma}$ das $\gamma$-Quantil von $t_m$-Verteilung, welches Wert ist, so dass $\P[\cX \leq t_{m, \gamma}] = \gamma$ für $\cX \sim t_m$.
+Wert ist tabelliert!
 
 
 \shortremark[Zweistichproben-Tests] $\cX_k$ (i.i.d.) und jeweils unabhängig von allen $\cY_l$

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/03_p-value.tex

@@ -1,3 +1,4 @@
+\newpage
 \subsection{p-Wert}
 Für Stichprobe $\cX_i$ ($n$ el.) testen $H_0 : \vartheta = \vartheta_0$ gegen eine $H_A : \vartheta \in \Theta_A$.
 

semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/03_binomial-theorem.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\subsection{Binomialsatz}
+\[
+    (x + y)^n = \sum_{i = 0}^{n} {n \choose i} x^i y^{n - i} = \sum_{i = 0}^{n} {n \choose i} x^{n - i} y^i
+\]