[PS] Examples

semester4/ps/ps-rb/parts/02_variables.tex

@@ -279,6 +279,12 @@ $$
     Z &\sim \mathcal{N}\Biggl( \underbrace{m_0 + \sum_{i=1}^n \lambda_iX_i}_{m_Z}\quad,\quad \underbrace{\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 \sigma_i^2}_{\sigma^2_Z} \Biggr)
 \end{align*}
 
+{\footnotesize
+    \remark $X_1,\ldots,X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \implies \Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i\Bigr) \sim \mathcal{N}(n\mu,n\sigma^2)$
+
+        \remark $X_1,\ldots,X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \implies  \Bigl(\underbrace{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i}_{\bar{X}_n}\Bigr) \sim \mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$
+}
+
 \definition \textbf{Standardnormalverteilung} 
 $$X \sim \mathcal{N}(0,1) \qquad \Phi(x) := \P[X \leq x]$$
 

semester4/ps/ps-rb/parts/03_expectation.tex

@@ -84,8 +84,8 @@ $$
     \begin{align*}
         \V[X]               &= \E\bigl[X^2\bigr] - \E[X]^2      & (X \sim \text{Poisson}(\lambda))      \\
         \lambda             &= \E\bigl[X^2\bigr] - \lambda^2                                            \\
-        \lambda + \lambda^2 &= \E\bigl[X^2\bigr]                                                        \\
-    \end{align*}
+        \boxed{\lambda + \lambda^2} &= \E\bigl[X^2\bigr]                                                        \\
+    \end{align*}    
 }
 
 \lemma \textbf{Eigenschaften}

semester4/ps/ps-rb/parts/06_limits.tex

@@ -58,4 +58,18 @@ $$
 
 \newpage
 
-div % s.d. Statistik auf einer Seite bleibt
+{\footnotesize
+    \textbf{Beispiel}: Zentraler Grenzwertsatz als Teststatistik
+
+    $X_1,\ldots,X_{72} \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \text{Ber}(\theta)$, $S_{72} = \sum_{i=1}^{72} X_i$. Stichprobe $\bar{s}_{72}=32$.
+    $$
+        H_0: \theta = \frac{1}{3} \qquad H_A: \theta > \frac{1}{3}
+    $$
+    Mit ZGS, wobei wir $\theta = \frac{1}{3}$ ($H_0$) nutzen, erhalten wir $T$:
+    $$
+        T \overset{\text{ZGS}}{=} \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{S_n - n\E[X_i]}{\sqrt{\V[X_i]n}} \overset{\text{Ber.}}{=} \frac{S_n - 72\cdot\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{2}{9}\cdot 72}} = \boxed{\frac{S_n-24}{4}}
+    $$
+    Der Vorteil hiervon ist, der ZGS garantiert: $T \sim \mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2)$:
+
+    Realisierungen $T(\omega) = T(\bar{s}_n) = T(32) = 2$ bilden mit $z_{1-\alpha}$: $K = (z_{1-\alpha},\infty)$ und können direkt ausgewertet werden, z.B. für $p$-Wert.
+}

semester4/ps/ps-rb/parts/07_stats.tex

@@ -94,6 +94,7 @@ $$
         \item $f(\vartheta) := \ln\Bigl( L(x_1,\ldots,x_n;\vartheta) \Bigr)$
         \item $\vartheta^*$ finden, s.d. $f'(\vartheta^*) = 0$
         \item Argumentieren, dass $\vartheta^*$ das Maximum ist (z.B. via $f''$)
+        \item Folglich: $T_\text{ML} = \theta^*$
     \end{enumerate}
 }
 
@@ -370,7 +371,7 @@ $$
 \remark \textbf{Interpretation}
 \begin{align*}
     \alpha > p      &\implies (T, K_t) \text{ lehnt } H_0 \text{ ab} \\
-    \alpha \leq p   &\implies (T, K_t) \text{ akzeptier } H_0 
+    \alpha \leq p   &\implies (T, K_t) \text{ akzeptiert } H_0 
 \end{align*}
 
 {\footnotesize