[NumCS] Fix typos and layout

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/00_intro.tex

@@ -12,12 +12,13 @@ Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelte
 	\quad x_i, y_i \in \mathbb{R}
 \end{align*}
 
-Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. macht es Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist.
+Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. es macht Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist.
 
 Die informelle Problemstellung oben lässt sich durch Vektorräume formalisieren:
 
-$f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist. \\
+$f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist.
-Wir suchen d.h. $\tilde{f}$ in einem Unterraum $\mathcal{V}_n$ mit endlicher $\dim(\mathcal{V}_n) = n$.
+
+Wir suchen also $\tilde{f}$ in einem Unterraum $\mathcal{V}_n$ mit endlicher $\dim(\mathcal{V}_n) = n$.
 Sei $B_n = \{b_1,\ldots,b_n\}$ eine Basis für $\mathcal{V}_n$.
 Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
 \begin{align*}
@@ -26,7 +27,7 @@ Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
 
 \setLabelNumber{all}{1}
 \inlineremark Unterräume $\mathcal{V}_n$ existieren nicht nur für Polynome, wir beschränken uns aber auf $b_j(x) = x^{i-1}$.
-Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
+Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^{-1}(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
 
 \fancytheorem{Peano} $f$ stetig $\implies \exists p(x)$ welches $f$ in $||\cdot||_\infty$ beliebig gut approximiert.
 

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/03_lagrange-and-barzycentric-formula.tex

@@ -127,7 +127,8 @@ Eine weitere Anwendung der Formel ist als Ausganspunkt für die Spektralmethode
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 \newpage
 \subsubsection{Fehler}
-Falls an den Stützstellen $x_i$ durch beispielsweise ungenaue Messungen unpräzise Werte $\tilde{y_i}$ haben, so entsteht logischerweise auch ein unpräzises Polynom $\tilde{p}(x)$.
+Falls wir an den Stützstellen $x_i$ durch beispielsweise ungenaue Messungen unpräzise Werte $\tilde{y_i}$ haben,
+so entsteht logischerweise auch ein unpräzises Polynom $\tilde{p}(x)$.
 Verglichen in der Lagrange-Basis zum korrekten Interpolationspolynom $p(x)$ ergibt sich folgender Fehler:
 \begin{align*}
     |p(x) - \tilde{p}(x)| = \left| \sum_{i = 0}^{n} (y_i - \tilde{y_i}) l_i(x) \right| \leq \max_{i = 0, \ldots, n} |y_i - \tilde{y_i}| \cdot \sum_{i = 0}^{n} |l_i(x)|

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/02_fftshift.tex

@@ -1,8 +1,8 @@
 \subsubsection{DFT in Numpy}
 
-Sei $y$ in der Standardbasis, und $c = \mathcal{F}_N(y)$, also $y$ in der trig. Basis.
+Sei $y$ in der Standardbasis, und $c = \mathcal{F}_N(y)$, also $y$ in der trigonometrischen Basis.
 \begin{align*}
-    c = F_N \times y = \texttt{fft}(y)\quad \text{\textit{(DFT in numpy)}} & y = \frac{1}{N}F_N^Hc = \texttt{ifft}(c)\quad \textit{(Inverse DFT in numpy)}
+    c = F_N \times y = \texttt{fft}(y)\quad \text{\textit{(DFT in numpy)}} & & y = \frac{1}{N}F_N^Hc = \texttt{ifft}(c)\quad \textit{(Inverse DFT in numpy)}
 \end{align*}
 
 Um zur ursprünglichen Darstellung des trig. Polynoms zurück zu kommen, müssen wir die Koeffizienten umsortieren: \\

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/04_error-estimation.tex

@@ -93,6 +93,7 @@ wie in der untenstehenden Abbildung \ref{fig:aliasing} zu sehen:
     \caption{Aliasing für $f(t) = \cos(2\pi \cdot 19t)$. (Abbildung 3.5.10 aus dem Vorlesungsdokument von Prof. V. Gradinaru, Seite 100)}
     \label{fig:aliasing}
 \end{figure}
+
 Für unser Signal bedeutet das also, dass wir eine Art Verzerrung auf der Aufnahme haben, oder für Autoräder, dass es so scheint, als würden sich die Räder rückwärts drehen.
 
 \begin{theorem}[]{Fehlerabschätzung}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/05_dft-chebyshev.tex

@@ -47,7 +47,7 @@ Auf Seite 102 im Skript findet sich auch eine effiziente Implementation dessen.
 \inlineremark Die Formel in Satz 2.4.16 (und in der eben erwähnten Implementierung) sind nichts anderes als eine Version der DCT (Discrete Cosine Transform).
 Dies ist eine günstigere, aber beschränktere Variante der DFT, mit der nur reellwertige, gerade Funktionen interpoliert werden können.
 
-\innumpy benutzen wir \texttt{scipy.fft.dct}. Dazu müssen die Mesungen in den Punkten $x_j = \cos\left( (j + 0.5) \cdot \frac{\pi}{N} \right)$
+\innumpy benutzen wir \texttt{scipy.fft.dct}. Dazu müssen die Mesungen in den Punkten $x_j = \cos\left( (j + 0.5) \cdot \frac{\pi}{N} \right)$ sein.
 
 \inlineremark Die Chebyshev-Koeffizienten $c_j$ können folgendermassen berechnet werden:
 \rmvspace