[PS] example for estimators, fixes

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/05_cont-distributions/00_eq.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \subsection{Stetige Verteilungen}
 
-\subsubsection{Gleichverteilung}
+\subsubsection{Gleichverteilung (Uniformmodell)}
 
 \shortdefinition $\cX \sim \cU([a, b])$, falls
 $f_\cX = \begin{cases}

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/05_variance.tex

@@ -11,7 +11,7 @@ $\E[\cX^2] = \sum_{x \in W} x^2 \cdot p_\cX(x)$ ($\cX$ diskret)
 $\V[\cX] = \E[\cX^2] - \E[\cX]^2 = a^2\E[1_\Omega] - a^2 = 0$
 
 % Task 4.42 (needs proof?)
-\shortremark $\E[\cX] < \8$, dann $\V[\cX] \geq 0$ mit $=$ g.d.w. $\cX$ konst; zudem $\V[a \cX] = a^2 \V[\cX]$ und $\V[\cX + a] = \V[\cX]$
+\shortremark $\E[\cX] < \8$, dann $\V[\cX] \geq 0$ mit $=$ g.d.w. $\cX$ konst; \hl{zudem} $\V[a \cX] = a^2 \V[\cX]$ und $\V[\cX + a] = \V[\cX]$
 
 \shortproposition $\cX_k$ paarw. unabh. $\V\left[ \sum_{k = 1}^{n} \cX_k \right] = \sum_{k = 1}^{n} \V[\cX_k]$.
 Falls $\cX_k$ abhängig, dann gilt $\neq$

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/01_estimators.tex

@@ -1,4 +1,5 @@
 \subsection{Schätzer}
+\label{sec:estimators}
 \shortdefinition[Schätzer] ist eine Z.V. der Form $T_l = t_l(\cX_1, \ldots, \cX_n)$, mit zu findender \bi{Schätzfunktion} $t_l : \R^n \rightarrow \R$.
 Einsetzen von Daten liefer dann \bi{Schätzwerte}. Oft schreiben wir $T = (T_1, \ldots, T_m)$ und $\vartheta = (\vartheta_1, \ldots, \vartheta_m)$
 

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/02_max-likelihood.tex

@@ -18,7 +18,7 @@ Da oft $X_k$ i.i.d mit individueller Gew. $p_\cX(x; \vartheta)$ bzw. Dichte $f_\
         f_{\overrightarrow{\cX}}(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) & \text{im stetigen Fall}
     \end{cases}
 \]
-\bi{log-Likelihood-Funktion} $\log(L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta))$. Ist im i.i.d-Fall eine Summe.
+\bi{log-Likelihood-Funktion} $l(\vartheta) = \log(L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta))$. Ist im i.i.d-Fall eine Summe.
 
 \inlineintuition Likelihood-F. gibt W., dass in $\P_\vartheta$ die Stichprobe $\cX_1, \ldots, \cX_n$ genau Werte $x_1, \ldots x_n$ liefert.
 
@@ -30,11 +30,27 @@ Da oft $X_k$ i.i.d mit individueller Gew. $p_\cX(x; \vartheta)$ bzw. Dichte $f_\
 Meistens sind $\cX_k$ i.i.d. unter $\P_\vartheta$, dann $L$ produkt, also besser $\log(L)$ maximieren (da Summe).
 
 \shortremark
-Einfacher: Statt max., Nullstellen von Abl. nach $\vartheta$.
+\hl{Einfacher:} Statt max., Nullstellen von Abl. (einfachheitshalber von $l(\vartheta)$) nach $\vartheta$.
 
 \shortremark Suchen oft optimales $L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta)$,
 da es einfacher ist, ersetzen dann $x_1, \ldots$ durch $\cX_1, \ldots$
-% TODO: Maybe remark from slide 356 (= p33 in 7)
+
+\shortexample[Von Serie] Kalibrierung von Gerät bis erfolgreich. $\cX \sim \text{Geo}(\theta)$ Anzahl Versuche, mit $\P_\theta[\cX = k] = \theta (1 - \theta)^{k - 1}$,
+gesucht $\theta$, $\cX_i$ unter $\P_\theta$ u.i.v. \bi{Aufgaben}
+
+\underline{LH-Func und $\log$-LH}: Mit Beobachtungen $x_i$ berechnen.\\
+$L(x_1, \ldots; \theta) = \ldots = \prod_{k = 1}^n \theta (1 - \theta)^{x_k - 1}$ (s. \ref{sec:series}),\\
+$l(\theta) = n \ln(\theta) + (S - n) \ln(1 - \theta)$, mit $S = \sum_{k = 1}^n x_k$.\\
+$\log(0)$ möglich (wenn $\theta = 1$ und $S \neq n$, ohne expanding)
+
+\underline{ML-Sch}: $S > n$: $l'(\theta) = \frac{n}{\theta} + \frac{S - n}{1 - \theta}$,
+Nullstelle von $l'(\theta)$ ist $\hat{\theta} = \frac{n}{S}$, check mit $l''(\frac{n}{S}) < 0$, ist max. Also ist $T_{ML} = \frac{n}{\sum_{k = 1}^{n} \cX_k}$
+
+\underline{Mit Werten} Einfach einsetzen und auflösen.
+
+
+% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
+\hrule
 
 \shortexample \bi{Verteilungen} (Dimension $\vartheta$ gleich dim. param der V.)\\
 \highlight{Bernoulli} $\cX_i \sim \text{Ber}(p)$ i.i.d, hier $\vartheta = p$. Dabei:
@@ -45,17 +61,22 @@ $p_\cX(x; \vartheta) = \P_\vartheta[\cX = x] = \vartheta^x (1 - \vartheta)^{1 -
 Log LH-Func: $\log(\vartheta) \cdot S + \log(1 - \vartheta) \left( n - S \right)$\\
 \bi{ML-Schätzer}: $T = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k = \overline{\cX}_n$
 
-\fbox{\bi{Normalverteilung}} $\cX_i \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ i.i.d. Dabei:
+\fbox{\bi{Normalverteilung}} $\cX_i \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ i.i.d. ($\sigma^2 = v$):
 \[
     f_\cX(x; \vartheta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi v}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2v}}
 \]
-Weil i.i.d (und $\vartheta = (\mu, \sigma^2)$):
+Weil i.i.d (und $\vartheta = (\mu, \sigma^2) = (\mu, v)$):
 \[
     L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) = \prod_{k = 1}^n f_\cX(x_k; \vartheta)
 \]
-und somit:
+und somit ($l(\vartheta) = \log(L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta))$):
 \[
-    \log(L) = -\frac{1}{2} n(\log(2 \pi) + \log(v)) - \sum_{k = 1}^{n} \frac{(x_k - \mu)^2}{2v}
+    l(\vartheta) = -\frac{1}{2} n(\log(2 \pi) + \log(v)) - \sum_{k = 1}^{n} \frac{(x_k - \mu)^2}{2v}
+\]
+Ableitungen nach $\mu$ und $v$ (beide $0$ für Max, $l$ kurz für $l(\vartheta)$):
+\[
+    \partial_\mu l = 2 \sum_{k = 1}^{n} \frac{x_k - \mu}{2v} \quad
+    \partial_v l = - \frac{n}{2v} + \frac{1}{2v^2} \sum_{k = 1}^n (x_k - \mu)^2
 \]
 
 Der \bi{Schätzer} ist $T = (T_1, T_2)$ (\textbf{Momentschätzer}):
@@ -69,7 +90,7 @@ und folglich:
 \[
     \E_\vartheta[(\overline{\cX}_n)^2] = \frac{1}{n} \E_\vartheta[\cX^2] + \frac{n^2 - n}{n^2} (\E_\vartheta[\cX])^2
 \]
-\bi{Erwartungstreuer Schätzer} für $(\E_\vartheta[\cX], \V_\vartheta[\cX])$:
+\bi{Erwartungstreuer Schätzer} für $(\E_\vartheta[\cX], \V_\vartheta[\cX])$ (s. \ref{sec:estimators}):
 \[
     T_1' = T_1 \quad
     T_2' = \frac{n}{n - 1} T_2

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/03_properties.tex

@@ -1,4 +1,3 @@
-\newpage
 \subsection{Verteilungsaussagen}
 \label{sec:estimators-properties}
 Approx. V. von Schätzer unter $\P_\vartheta$ (wenn $T = \sum_{k = 1}^{n} \cY_k$, mit $\cY_k$ i.i.d in $\P_\vartheta$).
@@ -25,6 +24,8 @@ $\chi^2_2 = \text{Exp}(\frac{1}{2})$
 \shortremark $\cX \sim \cN(0, 1)$, $\cY \sim \chi^2_m$ unabh., dann: $\frac{\cX}{\sqrt{\frac{1}{m} \cY}} \sim t_m$
 Mit $m = 1$ Cauchy-V. mit $m \rightarrow \8$ asympt. $\cN(0, 1)$. $t_m$ symm. um $0$ wie $\cN(0, 1)$, aber \bi{langschwänziger} (see \ref{sec:cauchy-dist})
 
+\hl{Untenstehendes sehr nützlich zur Bestimmung von V.}
+
 \shorttheorem Für $\cX_k \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ i.i.d. und
 \[
     \overline{\cX}_n = \sum_{k = 1}^{n} \cX_k, \qquad S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{k = 1}^{n} (\cX_k - \overline{\cX}_n)^2
@@ -34,5 +35,6 @@ Mit $m = 1$ Cauchy-V. mit $m \rightarrow \8$ asympt. $\cN(0, 1)$. $t_m$ symm. um
     \item $\frac{n - 1}{\sigma^2} S^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{k = 1}^{n} (\cX_k - \overline{\cX}_n)^2 \sim \chi^2_{n - 1}$
     \item $\overline{\cX}_n$ und $S^2$ sind unabhängig
     \item $\displaystyle \frac{\overline{\cX}_n - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}
-              = \frac{\frac{\overline{\cX}_n - \mu}{\sigma \div \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{1}{n - 1} \frac{n - 1}{\sigma^2} S^2}}$
+              \sim t_{n - 1}$
+          $\left( = \frac{\frac{\overline{\cX}_n - \mu}{\sigma \div \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{1}{n - 1} \frac{n - 1}{\sigma^2} S^2}} \right)$
 \end{enumerate}

semester4/ps/ps-jh/parts/10_tips-and-tricks/01_various.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \rmvspace
 \subsection{Verschiedene Funktionen}
 \subsubsection{Logarithmen}
+Hier ist wieder $\log = \ln$ (wenn keine Basis gegeben)
 \begin{itemize}
     \item \textit{(Basiswechsel)} $\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$
     \item \textit{(Potenzen)} $\log_a(x^y) = y\log_a(x)$
@@ -50,4 +51,5 @@ $\cosh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} : \R
 
 
 \subsubsection{Reihen}
+\label{sec:series}
 $\prod_{k = 1}^{n} \vartheta (1 - \vartheta)^{x_k - 1} = \vartheta^n (1 - \vartheta)^{S - n}$ mit $S = \sum_{k = 1}^{n} x_k$