[NumCS] Finish Introduction to fourier

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/00_fourier.tex

@@ -98,3 +98,31 @@ Wenn wir die Fourier-Reihe nach $t$ ableiten, erhalten wir
 
 
 \inlinetheorem Wenn $\displaystyle \int_{0}^{1} |f^{(n)}(t)|\dx t < \infty$, dann ist $\hat{f}(k) = \tco{k^{-n}}$
+
+Falls die Funktion jedoch nicht glatt ist, dann entstehen \textit{Überschwingungen} an den Sprungstellen, die näher und näher an die Sprünge herankommen, aber nicht kleiner werden, wenn wir mehr Terme der Fourier-Reihe aufsummieren.
+Das Phänomen wird das \bi{Gibbs-Phänomen} gennant und wir haben $L^2$-Konvergenz, aber keine punktweise Konvergenz an der Sprungstelle.
+
+\inlineremark
+Diese Überschwingungen entstehen durch die Definition der Fourier-Reihe und sind in der untenstehenden Abbildung \ref{fig:trigo-interp-overarcing} aus dem Skript sehr gut ersichtlich.
+Die dargestellte Funktion ist die Fourier-Reihe der charakteristischen Funktion des Intervalls $[a, b] \subseteq ]0, 1[$, welche sich folgendermassen analytisch berechnen lässt:
+\begin{align*}
+    b - a + \frac{1}{\pi} \sum_{k \neq 0} e^{-ikc}\frac{\sin(kd)}{k} e^{i2\pi kt}, \mediumhspace t \in [0, 1]
+\end{align*}
+
+% TODO: Replace with rendered image from matplotlib (will be higher quality than screenshot from script and can tweak it to our liking)
+% we will have it anyway after solving the exercises, so might as well
+\begin{figure}[h!]
+    \begin{center}
+        \includegraphics[width=0.95\textwidth]{assets/01_interpolation/01_trigonometric/overarcing.png}
+    \end{center}
+    \caption{Überschwingungen der Fourier-Reihe der charakteristischen Funktion des Intervalls $[a, b] \subseteq ]0, 1[$}
+    \label{fig:trigo-interp-overarcing}
+\end{figure}
+
+\stepcounter{all}
+\inlineremark Meist ist es nicht möglich (oder nicht sinnvoll) die Fourier-Koeffizienten analytisch zu berechnen,
+weshalb man wieder zur Numerik und der Trapezformel greift, die folgendermassen definiert ist für $t_l = \frac{l}{N}$,
+wobei $l = 0, 1 \ldots, N - 1$ und $N$ die Anzahl der Intervalle ist:
+\begin{align*}
+    \hat{f}_N(k) := \frac{1}{N} \sum_{l = 0}^{N - 1} f(t_l) e^{-2\pi ikt_l} \approx \hat{f}(k)
+\end{align*}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/02_fft.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\newsection
+\subsection{Schnelle Fourier Transformation}