[PS] fix: confidence intervals, limit theorem error

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/01_distribution-function.tex

@@ -1,5 +1,6 @@
 % P23
 \subsection{Verteilungsfunktion}
+\label{sec:distribution-function}
 {\scriptsize Die untenstehende Funktion ist die Cumulative Distribution Function (cdf)}
 
 \shortdefinition $F_\cX : \R \rightarrow [0, 1]$, def: $\forall a \in \R \quad F_\cX(a) = \P[\cX \leq a]$

semester4/ps/ps-jh/parts/05_limit-theorems/01_weak-law-of-large-numbers.tex

@@ -1,4 +1,5 @@
 \subsection{Schwaches Gesetz der grossen Zahlen}
+\label{sec:weak-law-of-large-numbers}
 \shorttheorem[Schwaches GGZ] Sei $K = \{ 1, 2, \ldots \}$ und $\forall k \in K : \cX_k$ unabh. Z.V. mit $\E[\cX_k] = \mu$; $\V[\cX_k] = \sigma^2$:
 \[
     \overline{\cX}_n = \frac{1}{n} S_n = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k

semester4/ps/ps-jh/parts/05_limit-theorems/03_central-limit-theorem.tex

@@ -19,10 +19,10 @@ $\cX_k$ i.i.d mit $\E[\cX_k] = \mu$, $\V[\cX_k] = \sigma^2$. Für Partialsummen
 für grosse $n$, mit $\overset{\text{approx}}{\sim}$ gespr. ``approximativ verteilt gemäss''.
 Also ist für $\E[S_n^*] = 0$ und $\V[S_n^*] = 1$.
 
-Für $S_n$ also: $S_n \! \overset{\text{approx}}{\sim} \! \cN(n\mu, n\sigma^2)$,
+Also: $S_n \! \overset{\text{approx}}{\sim} \! \cN(n\mu, n\sigma^2)$,
 bzw. $\overline{\cX}_n \! \overset{\text{approx}}{\sim} \! \cN \left( \mu, \frac{1}{n} \sigma^2 \right)$
 
-\shortremark Für $S_n \sim \text{Bin}(n, p)$ ist $S_n \overset{\text{approx}}{\sim} \cN(np, np(1 - p))$ und
+\shortremark Für $S_n \sim \text{Bin}(n, p)$ ist $S_n^* \overset{\text{approx}}{\sim} \cN(np, np(1 - p))$ und
 $\P[a < S_n \leq b] \approx \Phi \left( \frac{b + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right) - \Phi \left( \frac{a + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right)$
 
 \shortremark Für $\P[S_n \leq y]$: ZGS verwenden mit $\displaystyle x = \frac{y - n\mu}{\sigma \sqrt{n}}$,

semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/00_regions.tex

@@ -1,8 +1,12 @@
-\shortdefinition[Konfidenzbereich] ist für $\vartheta$ zu Daten $x_i$ eine Menge $C(x_1, \ldots, x_n) \subseteq \Theta$.
-Mit genrierenden Z.V. ist $\tilde{C}(\cX_1, \ldots \cX_n)$ eine \bi{zufällige Teilmenge von} $\Theta$.
+\shortdefinition[Konfidenzbereich] $C(x_1, \ldots, x_n) \subseteq \Theta$.
+Mit genrierenden Z.V. ist $\tilde{C} := C(\cX_1, \ldots \cX_n)$ eine \bi{zufällige Teilmenge von} $\Theta$,
+{\scriptsize (\textit{Realisierung}) $\tilde{C}(\omega) = C(\cX_1(\omega), \ldots, \cX_n(\omega))$}
 
-\bi{Realisierung} $\tilde{C}(\omega) = C(\cX_1(\omega), \ldots, \cX_n(\omega))$.
 Für $\alpha \in [0, 1]$ ist $C$ \bi{Konfidenzbereich zum Niveau} $1 - \alpha$, falls
 \[
-    \P_\vartheta[C(\cX_1, \ldots, \cX_n) \ni \vartheta] \geq 1 - \alpha \quad \forall \vartheta \in \Theta
+	\P_\vartheta[C(\cX_1, \ldots, \cX_n) \ni \vartheta] \geq 1 - \alpha \quad \forall \vartheta \in \Theta
 \]
+{\scriptsize Man erwischt also mit grosser W. den Param in jedem Modell}
+
+\shortexample $C(\cX_1, \ldots) = [\overline{X}_n - c, \overline{X}_n + c]$, mit $c$ zu bestimmen.
+

semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/01_interval.tex

@@ -1,31 +1,31 @@
 \shortdefinition[Konfidenzintervall (K.I.)] mit Niveau $1 - \alpha$ ist Zufallsintervall $I = [A, B]$ s.d. $\forall \vartheta \in \Theta$ gilt:
 \[
-    \P_\vartheta[[A, B] \ni \vartheta] = \P_\vartheta[A \leq \vartheta \leq B] \geq 1 - \alpha
+	\P_\vartheta[[A, B] \ni \vartheta] = \P_\vartheta[A \leq \vartheta \leq B] \geq 1 - \alpha
 \]
 mit $A, B$ Z.V. wie $A = a(\cX_1, \ldots, \cX_n)$, mit $a, b: \R^n \rightarrow \R$.
-Dabei ist $\vartheta$ deterministisch
+Dabei ist $\vartheta$ deterministisch. (\hl{Berechnung}: s. \ref{sec:distribution-function})
 
 \shortremark[Approx. K.I.] Nur wenn genaue Verteilungsaussagen zur Verfügung stehen, sind exakte K.I. möglich,
 sonst mittels zentralem Grenzwertsatz approx. berechnen ($z = z_{1 - \frac{\alpha}{2}}$)
 \[
-    P_\vartheta[|S_n^*| \leq z] \approx 1 - \alpha
+	P_\vartheta[|S_n^*| \leq z] \approx 1 - \alpha
 \]
-Auflösen von
+Auflösen von untenstehendem nach $\vartheta$ ($S_n$ wie in \ref{sec:weak-law-of-large-numbers})
 \[
-    |S_n - n \vartheta| \leq z \sqrt{n \vartheta(1 - \vartheta)} \text{ bzw. } (S_n - n \vartheta)^2 \leq z^2 n \vartheta(1 - \vartheta)
+	|S_n - n \vartheta| \leq z \sqrt{n \vartheta(1 - \vartheta)} \text{ bzw. } (S_n - n \vartheta)^2 \leq z^2 n \vartheta(1 - \vartheta)
 \]
-$\vartheta$ ist kompliziert, ersetzen der Ugl. durch Gl. (quad. Gl.)
+Ist kompliziert, ersetzen der Ugl. durch Gl. (quad. Gl.)
 \[
-    \hat{\vartheta}_\pm = \frac{2 S_n + z^2 \pm \sqrt{(2 S_n + z^2)^2 - 4S_n^2(1 + \frac{z^2}{n})}}{2n(1 + \frac{z^2}{n})}
+	\hat{\vartheta}_\pm = \frac{2 S_n + z^2 \pm \sqrt{(2 S_n + z^2)^2 - 4S_n^2(1 + \frac{z^2}{n})}}{2n(1 + \frac{z^2}{n})}
 \]
 Konfidenzintervall ist $[\hat{\vartheta}_-, \hat{\vartheta}_+]$.
 
 \shade{gray}{Alternative Methoden} (Annahme $\vartheta(1 - \vartheta) \approx \frac{1}{4}$):
 \[
-    \left[\overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}}\right]
+	\left[\overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}}\right]
 \]
 (Ersetzen von $\vartheta$ durch $\overline{S}_n$):
 \[
-    \left[ \overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)} \right]
+	\left[ \overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)} \right]
 \]
 Alle Methoden liefern unterschiedliche Resultate