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semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/01_construction.tex

@@ -37,8 +37,6 @@ Die diskreten Fourier-Koeffizienten $\gamma_k$ sind eine Umsortierung der trigon
 \end{align*}
 \end{multicols}
 
-\newpage
-
 \fancydef{Fourier-Matrix}\\
 \begin{align*}
     F_N := V^H = [v_0, \ldots, v_{N-1}]^H = \begin{bmatrix}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/02_fftshift.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\subsection{DFT in Numpy}
+\subsubsection{DFT in Numpy}
 
 Sei $y$ in der Standardbasis, und $c = \mathcal{F}_N(y)$, also $y$ in der trig. Basis.
 $$
@@ -10,7 +10,6 @@ Seien $z = \frac{1}{N} F_N y$ und  $\zeta = \verb|fft.fftshift|(z)$.
 \begin{align*}
     f(x) \approx \underbrace{\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx} }_{\text{Form des trig. Polynoms}}
 \end{align*}
-
 \setcounter{all}{13}
 \inlineremark Man kann mit dieser Approximation einfach die $L^2$-Norm und Ableitungen berechnen:
 \begin{multicols}{2}
@@ -24,5 +23,3 @@ Seien $z = \frac{1}{N} F_N y$ und  $\zeta = \verb|fft.fftshift|(z)$.
     f'(t) \approx \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} (2\pi ik) \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx} 
 \end{align*}
 \end{multicols}
-
-Im Skript S. 78 - 83 befinden sich einige sehr gute Anwendungsbeispiele.

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/03_linalg.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \newpage
-\subsection{DFT \& Lineare Algebra}
+\subsubsection{DFT \& Lineare Algebra}
 
 \setcounter{all}{25}
 \fancydef{Zirkulant} Für einen vektor $c \in \mathbb{R}^N$ hat der Zirkulant $C \in \mathbb{R}^{N \times N}$ die Form:
@@ -98,7 +98,7 @@ Im Fall von $T$-periodischen Funktionen gilt: $(g * h)(x) = \frac{1}{T}\displays
 \begin{align*}
     c = a \circledast b = Ab = F_N^{-1}p(D)F_Nb \quad \quad \quad (p(D) \text{ ist Diagonalmatrix der } \lambda \text{ von } C )
 \end{align*}
-Man erhält so letzendlich das Faltungs-Theorem: Die $F_N$-Transformierte einer Faltung ist genau das gleiche wie die Multiplikation zweier $F_N$-Transormierten. Da die DFT in $\mathcal{O}(n\log(n))$ (Kap. 3.5) geht, gilt dies nun auch für die Faltung.
+Man erhält so letzendlich das Faltungs-Theorem: Die $F_N$-Transformierte einer Faltung ist genau das gleiche wie die Multiplikation zweier $F_N$-Transormierten. Da die DFT in $\mathcal{O}(n\log(n))$ (Kap. 3.3) geht, gilt dies nun auch für die Faltung.
 \begin{align*}
     F_Nc = \text{diag}(F_N a) F_N b
 \end{align*}