eth-janishutz/eth-summaries
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[NumCS] ++ fix paging

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2025-10-09 15:36:10 +02:00
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semester3/numcs/numcs-summary.pdf
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semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/01_construction.tex
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@@ -37,8 +37,6 @@ Die diskreten Fourier-Koeffizienten $\gamma_k$ sind eine Umsortierung der trigon
\end{align*} \end{align*}
\end{multicols} \end{multicols}
\newpage
\fancydef{Fourier-Matrix}\\ \fancydef{Fourier-Matrix}\\
\begin{align*} \begin{align*}
F_N := V^H = [v_0, \ldots, v_{N-1}]^H = \begin{bmatrix} F_N := V^H = [v_0, \ldots, v_{N-1}]^H = \begin{bmatrix}

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semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/02_fftshift.tex
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@@ -1,4 +1,4 @@
\subsection{DFT in Numpy} \subsubsection{DFT in Numpy}
Sei $y$ in der Standardbasis, und $c = \mathcal{F}_N(y)$, also $y$ in der trig. Basis. Sei $y$ in der Standardbasis, und $c = \mathcal{F}_N(y)$, also $y$ in der trig. Basis.
$$ $$
@@ -10,7 +10,6 @@ Seien $z = \frac{1}{N} F_N y$ und $\zeta = \verb|fft.fftshift|(z)$.
\begin{align*} \begin{align*}
f(x) \approx \underbrace{\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx} }_{\text{Form des trig. Polynoms}} f(x) \approx \underbrace{\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx} }_{\text{Form des trig. Polynoms}}
\end{align*} \end{align*}
\setcounter{all}{13} \setcounter{all}{13}
\inlineremark Man kann mit dieser Approximation einfach die $L^2$-Norm und Ableitungen berechnen: \inlineremark Man kann mit dieser Approximation einfach die $L^2$-Norm und Ableitungen berechnen:
\begin{multicols}{2} \begin{multicols}{2}
@@ -24,5 +23,3 @@ Seien $z = \frac{1}{N} F_N y$ und $\zeta = \verb|fft.fftshift|(z)$.
f'(t) \approx \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} (2\pi ik) \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx} f'(t) \approx \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} (2\pi ik) \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx}
\end{align*} \end{align*}
\end{multicols} \end{multicols}
Im Skript S. 78 - 83 befinden sich einige sehr gute Anwendungsbeispiele.

4
semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/03_linalg.tex
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@@ -1,5 +1,5 @@
\newpage \newpage
\subsection{DFT \& Lineare Algebra} \subsubsection{DFT \& Lineare Algebra}
\setcounter{all}{25} \setcounter{all}{25}
\fancydef{Zirkulant} Für einen vektor $c \in \mathbb{R}^N$ hat der Zirkulant $C \in \mathbb{R}^{N \times N}$ die Form: \fancydef{Zirkulant} Für einen vektor $c \in \mathbb{R}^N$ hat der Zirkulant $C \in \mathbb{R}^{N \times N}$ die Form:
@@ -98,7 +98,7 @@ Im Fall von $T$-periodischen Funktionen gilt: $(g * h)(x) = \frac{1}{T}\displays
\begin{align*} \begin{align*}
c = a \circledast b = Ab = F_N^{-1}p(D)F_Nb \quad \quad \quad (p(D) \text{ ist Diagonalmatrix der } \lambda \text{ von } C ) c = a \circledast b = Ab = F_N^{-1}p(D)F_Nb \quad \quad \quad (p(D) \text{ ist Diagonalmatrix der } \lambda \text{ von } C )
\end{align*} \end{align*}
Man erhält so letzendlich das Faltungs-Theorem: Die $F_N$-Transformierte einer Faltung ist genau das gleiche wie die Multiplikation zweier $F_N$-Transormierten. Da die DFT in $\mathcal{O}(n\log(n))$ (Kap. 3.5) geht, gilt dies nun auch für die Faltung. Man erhält so letzendlich das Faltungs-Theorem: Die $F_N$-Transformierte einer Faltung ist genau das gleiche wie die Multiplikation zweier $F_N$-Transormierten. Da die DFT in $\mathcal{O}(n\log(n))$ (Kap. 3.3) geht, gilt dies nun auch für die Faltung.
\begin{align*} \begin{align*}
F_Nc = \text{diag}(F_N a) F_N b F_Nc = \text{diag}(F_N a) F_N b
\end{align*} \end{align*}