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212
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@@ -0,0 +1,212 @@
\newsection
\section{\tr{Continuous Functions}{Stetige Funktionen}}
\subsection{\tr{Real-Valued functions}{Reellwertige Funktionen}}
\begin{simplebox}[]{blue}
\compactdef{\tr{Bounds}{Beschränkung}} \trLet $f \in \R^D$, \tr{where $\R^D$ is the set of all functions}{wobei $\R^D$ die Menge aller Funktionen} $f: D \rightarrow \R$\tr{, which is a vector space}{ ist, d.h. $\R^D$ ist ein Vektorraum}
\begin{itemize}
\item $f$ \tr{is \bi{bounded from above} if}{ist \bi{nach oben beschränkt}, falls}
$f(D) \subseteq \R$ \tr{is bounded from above}{nach oben beschränkt ist}.
\item $f$ \tr{is \bi{bounded from below} if}{ist \bi{nach unten beschränkt}, falls}
$f(D) \subseteq \R$ \tr{is bounded from below}{nach unten beschränkt ist}.
\item $f$ \tr{is \bi{bounded} if}{ist \bi{beschränkt} falls}
$f(D) \subseteq \R$ \tr{is bounded}{beschränkt ist}.
\end{itemize}
\end{simplebox}
\begin{simplebox}[]{blue}
\compactdef{\tr{Monotonicity}{Monotonie}} \trIf $D \subseteq \R$ \tr{we have the following terms for monotonicity}{gibt es die folgenden Monotoniebegriffe}:
\begin{itemize}
\item \tr{\bi{monotonically increasing} if}
{\bi{monoton wachsend}}
$\forall x, y \in D$ $x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$
\item \tr{\bi{strictly monotonically increasing} if}
{\bi{streng monoton wachsend}, falls}
$\forall x, y \in D$ $x < y \Rightarrow f(x) < f(y)$
\item \tr{\bi{monotonically decreasing} if}
{\bi{monoton fallend}, falls}
$\forall x, y \in D$ $x \leq y \Rightarrow f(x) \geq f(y)$
\item \tr{\bi{strictly monotonically decreasing} if}
{\bi{streng monoton fallend}, falls}
$\forall x, y \in D$ $x < y \Rightarrow f(x) > f(y)$
\item \tr{\bi{monotone} if $f$ is monotonically increasing or monotonically decreasing}
{\bi{monoton}, falls $f$ monoton wachsend oder monoton fallend ist}
\item \tr{\bi{strictly monotone} if $f$ is strictly monotonically increasing or strictly monotonically decreasing}
{\bi{streng monoton}, falls $f$ streng monoton machsend oder streng monoton fallend ist}
\end{itemize}
\end{simplebox}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Continuity}{Stetigkeit}}
\shade{teal}{Intuition:} \tr{we can draw a continuous function without lifting the pen}{Eine stetige Funktion kann ohne den Stift zu heben gezeichnet werden}.
\compactdef{\tr{Continuity of $f$ in $x_0$}{Stetigkeit von $f$ in $x_0$}} \tr{If for every}{Falls für jedes} $\varepsilon > 0$ \tr{exists a}{ein} $\delta$ \tr{s.t.}{existiert, s.d.} $|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$
\compactdef{\tr{Continuity}{Stetigkeit}} $f$ \tr{continuous if continuous in all points of $D$}{stetig falls $f$ in allen Punkten von $D$ stetig ist}
\stepcounter{all} \shorttheorem $f$ \tr{is continuous in}{ist stetig in} $x_0 \Longleftrightarrow$ \tr{for}{für} $\seq{a}$ $\limni a_n = x_0 \Rightarrow f(a_n) = f(x_0)$
\shortcorollary \trLets $f$, $g$ \tr{continuous in $x_0$, then}{stetig in $x_0$, dann gilt} $f + g$, $\lambda \cdot f$, $f \cdot g$, $f \circ g$ \tr{are continuous in $x_0$ and if}{sind stetig in $x_0$ und falls} $g(x_0) \neq 0$,
\tr{}{ist} $\frac{f}{g}$ \tr{is continuous in $x_0$ for}{stetig in $x_0$ für} $\frac{f}{g}: D \cap \{ x \in D : g(x) \neq 0 \} \rightarrow \R$
\compactdef{\tr{Polynomial function}{Polynomiale Funktion}} $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$, \trif $a_n \neq 0$, $\deg(P) = n$ (\tr{degree of}{Grad von} $P$)
\shortcorollary \tr{They are continuous on all of}{Sie sind stetig auf ganz} $\R$
\shortcorollary $P, Q$ pol. \tr{func. on}{funk. auf} $\R$ \trwith $Q \neq 0$, \tr{where}{wobei} $x_1, \ldots, x_m$ \tr{are zeros of $Q$. Then}{die Nullstellen von $Q$ sind. Dann gilt}: $\frac{P}{Q} : \R \backslash \{x_1, \ldots, x_m\} \rightarrow \R$ \tr{is continuous}{ist stetig}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Intermediate value theorem}{Zwischenwertsatz}}
\shorttheorem \trLet $I \subseteq \R$ \tr{be an interval}{ein Intervall}, $f: I \rightarrow \R$ \tr{a continuous function and}{eine stetige Funktion und} $a, b \in I$.
\tr{For each $c$ between $f(a)$ and $f(b)$ exists a $z$ between $a$ and $b$ with}{Für jedes $c$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ existiert ein $z$ zwischen $a$ und $b$ mit} $f(z) = c$
\shortcorollary \tr{Let $P$ be a polynomial with}{Sei $P$ ein Polynom mit} $\deg(P) = n$, $n$ \tr{odd. Then,}{ungerade. Dann hat} $P$ \tr{has \textit{at least} one zero in}{\textit{mind.} eine Nullstelle in} $\R$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{Min-Max-\tr{Theorem}{Satz}}
\stepcounter{all}\compactdef{\tr{Compact interval}{Kompaktes Intervall}} \tr{if interval $I$ is of form}{falls das Intervall $I$ von der Form} $I = [a, b], \smallhspace a \leq b$ \tr{}{ist}
\shortlemma $f, g$ \tr{continuous in $x_0$. Then}{stetig in $x_0$. Dann gilt}: $|f|$, $\max(f, g)$ \tr{and}{und} $\min(f, g)$ \tr{are continuous in}{sind stetig in} $x_0$ ($\min(f, g)$ \tr{is the minimum of the two functions at each}{ist das Minimum der beiden Funktionen für jedes} $x$)
\shortlemma $\seq{x}$ \tr{converging series in $\R$ with}{konvergente Reihe in $\R$ mit} $\displaystyle \limni x_n \in \R$ \trand $a \leq b$.
\trIf $\{ x_n : n \geq 1 \} \subseteq [a, b]$ \tr{we have}{dann gilt} $\displaystyle \limni x_n \in [a, b]$
%
\shorttheorem \trLet $f$ \tr{continuous on compact interval $I$. Then}{stetig auf dem kompakten Intervall $I$. Dann gilt}
$\exists u \in I$ \trand $\exists v \in I$ \trwith $f(u) \leq f(x) \leq f(v) \smallhspace \forall x \in I$. $f$ \tr{is bounded}{ist beschränkt}.
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Inverse function theorem}{Satz über die Umkehrabbildung}}
\shorttheorem \trLets $D_1, D_2 \subseteq \R$, $f: D_1 \rightarrow D_2$, $g: D_2 \rightarrow \R$, $x_0 \in D_1$.
\trIf $f$ \tr{cont. in}{stetig in} $x_0$, $g$ \tr{in}{auf} $f(x_0)$ \tr{then}{dann} $f \circ g : D_1 \rightarrow \R$ \tr{is continuous in}{stetig in} $x_0$\\
%
\shortcorollary \tr{If in theorem 3.5.1 $f$ continuous on}{Falls in Satz 3.5.1 $f$ stetig auf} $D_1$ \trand $g$ \tr{on}{auf} $D_2$, \tr{then}{dann ist} $g \circ f$ \tr{is continuous on}{stetig auf} $D_1$\\
\compacttheorem{\tr{Inverse function theorem}{Satz über Umkehrabbildung}} \trLet $f: I \rightarrow \R$ \tr{continuous, strictly monotone and let}{stetig, streng monoton und sei} $I \subseteq \R$ \tr{be an interval. Then}{ein Intervall. Dann gilt}: $J: = f(I) \subseteq \R$ \tr{is an interval and}{ist ein Intervall und} $f^{-1}: J \rightarrow I$ \tr{continuous and strictly monotone}{ist stetig und streng monoton}.
% \mediumhspace This means that a function is invertible $\Leftrightarrow$ $f$ is continuous and strictly monotone
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Real-Valued exponential function}{Reellwertige Exponentialfunktion}}
\tr{The exponential function}{Die Exponentialfunktion} $\exp: \C \rightarrow \C$ \tr{is usually given by a power series converging on all $\C$}{wird normalerweise durch eine auf ganz $\C$ konvergente Potenzreihe definiert}:
$\displaystyle \exp(z) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$, \tr{here for}{hier für} $z \in \R$. $\exp$ \tr{is bijective, continuous, strictly monotonically increasing and smooth}{ist bijektiv, streng monoton wachsend, glatt und stetig}. $\exp^{-1}(x) = \ln(x)$
\vspace{-0.5pc}
\shorttheorem $\exp: \R \rightarrow ]0, +\infty[$ \tr{is strictly monotonically increasing, continuous and surjective}{ist streng monoton wachsend, stetig und surjektiv}
\shortcorollary $\exp(x) > 0 \smallhspace \forall x \in \R$\\
\shortcorollary $\exp(z) > \exp(y) \smallhspace \forall z > y$
\shortcorollary $\exp(x) \geq 1 + x \smallhspace \forall x \in \R$
%
\shortcorollary $\ln: ]0, +\infty[ \rightarrow \R$
\tr{is strictly monotonically increasing, continuous and bijective. We have}{ist streng monoton wachsend, stetig und bijektiv. Es gilt}
$\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b) \smallhspace \forall a, b \in ]0, +\infty[$. \tr{It is the inverse function of}{Dies ist die Umkehrabbildung von} $\exp$
\shortcorollary
\begin{simplebox}[]{teal}
\begin{enumerate}
\item \trFor $a > 0 \smallhspace ]0, +\infty[ \smallhspace \rightarrow \smallhspace ]0, +\infty[$ \tr{}{ist} $x \mapsto x^a$ \tr{is a continuous, strictly monotonically increasing bijection}{eine stetige, streng monoton wachsende Bijektion}.
\item \trFor $a < 0 \smallhspace ]0, +\infty[ \smallhspace \rightarrow \smallhspace ]0, +\infty[$ \tr{}{ist} $x \mapsto x^a$ \tr{is a continuous strictly monotonically decreasing bijection}{eine stetige, streng monoton fallende Bijektion}.
\end{enumerate}
\vspace{-0.8pc}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item $\ln(x^a) = a \ln(x) \smallhspace \forall a \in \R, \smallhspace \forall x > 0$
\item $x^a \cdot x^b = x^{a + b} \smallhspace \forall a, b \in \R, \smallhspace \forall x > 0$
\item $(x^a)^b = x^{a \cdot b} \smallhspace \forall a, b \in \R, \smallhspace \forall x > 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{simplebox}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsection
\subsection{\tr{Convergence of sequences of functions}{Konvergenz von Funktionenfolgen}}
\compactdef{\tr{Pointwise convergence}{Punktweise Konvergenz}} $\seq{f}$ \tr{converges pointwise towards a function}{konvergiert punktweise gegen eine Funktion} $f: D \rightarrow \R$ \tr{if for all}{falls für alle} $x \in D \smallhspace f(x) = \limni f_n(x)$\\
%
\stepcounter{all} \compactdef{Weierstrass} \tr{Sequence $f_n$ converges uniformly in $D$ to $f$ if}{Folge $f_n$ konv. gleichmässig in $D$ gegen $f$ falls}
$\forall \varepsilon > 0 \smallhspace \exists N \geq 1$ \tr{s.t.}{s.d.} $\forall n \geq N, \smallhspace \forall x \in D: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$\\
%
\shorttheorem $f_n$ \tr{sequence of (in $D$) continuous functions converging to $f$ uniformly in $D$. Then, $f$ is continuous (in $D$)}
{ist eine Folge von (in $D$) stetigen Funktionen die in $D$ gleichmässig konvergieren. Dann ist $f$ (in $D$) stetig}\\
%
\compactdef{\tr{Uniform convergence of}{Gleichmässige Konvergenz von} $\seq{f}$)} $f_n$ \trif $\forall x \in D \smallhspace f(x) : = \limni f_n(x)$ \tr{exists and}{existiert und} $\seq{f}$ \tr{converges uniformly to $f$}{gleichmässig gegen $f$ konvergiert}\\
%
\shortcorollary $f_n$ \tr{converges uniformly in}{konvergiert gleichmässig in} $D \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \smallhspace \exists N \geq 1$ \tr{such that}{so dass} $\forall n, m \geq N, \smallhspace \forall x \in D \smallhspace |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon$\\
%
\shortcorollary \trIf $f_n$ \tr{is a uniformly converging sequence of functions, then}{eine gleichmässig konvergierende Funktionenfolge ist, dann ist} $f(x) := \limni f_n(x)$ \tr{is continuous}{stetig}\\
%
\shortdef $\displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} f_k(x)$ \tr{converges uniformly if}{konvergiert gleichmässig, falls} $\displaystyle S_n(x) := \sum_{k = 0}^{n} f_k(x)$ \tr{does}{gleichmässig konvergiert}
\shorttheorem \tr{Assume}{Angenommen, dass} $|f_n(x)| \leq c_n \smallhspace \forall x \in D$ \tr{and that}{und dass} $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} c_n$ \tr{converges}{konvergiert}.
\tr{Then}{Dann konvergiert} $\sum_{n = 0}^{f_n(x)}$ \tr{converges uniformly in}{gleichmässig in} $D$ \trand $f(x) := \sum_{n = 0}^{\infty} f_n(x)$ \tr{is continuous in}{ist stetig in} $D$\\
\compactdef{\tr{Radius of convergence}{Konvergenzradius}} \tr{See}{Siehe} \shade{teal}{\tr{C}{K} 2.7.19}
\shorttheorem \tr{A power series converges uniformly on}{Eine Potenzreihe konvergiert gleichmässig auf} $]-r, r[$ \tr{where}{wobei} $0 \leq r < \rho$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Trigonometric Functions}{Trigonometrische Funktionen}}
\shorttheorem $\sin: \R \rightarrow \R$ \trand $\cos: \R \rightarrow \R$ \tr{are continuous functions}{sind stetige Funktionen}
\shorttheorem
\begin{simplebox}[]{ForestGreen}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\exp iz = \cos(z) + i \sin(z) \smallhspace \forall z \in \C$
\item $\cos(z) = \cos(-z)$ and $\sin(-z) = - \sin(z) \smallhspace \forall z \in \C$
\item $\displaystyle \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}; \smallhspace \cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{iz}}{2}$
\item $\sin(z + w) = \sin(z) \cos(w) + \cos(z) \sin(w)$\\
$\cos(z + w) = \cos(z) \cos(w) - \sin(z) \sin(w)$
\item $\cos(z)^2 + \sin(z)^2 = 1 \smallhspace z \in \C$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{simplebox}
\shortcorollary $\sin(2z) = 2 \sin(z) \cos(z)$ and $\cos(2z) = \cos(z)^2 - \sin(z)^2$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{Pie (delicious)}
\shorttheorem \tr{The sine function has at least one zero on}{Die Sinusfunktion hat mindestens eine Nullstelle auf} $]0, +\infty[$ \trand $\pi := \inf\{ t > 0 : \sin(t) = 0\}$.
\tr{Then}{Dann gilt} $\sin(\pi) = 0, \smallhspace \pi \in ]2, 4[$; $\forall x \in ]0, \pi[ : \sin(x) > 0$ and $e^{\frac{i\pi}{2}} = i$
\shortcorollary $x \geq \sin(x) \geq x - \frac{x^3}{3!} \smallhspace \forall 0 \leq 0 \leq \sqrt{6}$ \shortcorollary
\begin{simplebox}[]{teal}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $e^{i\pi} = -1, \smallhspace e^{2i \pi} = 1$
\item $\sin\left( x + \frac{\pi}{2} \right)$, $\cos \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(x) \smallhspace \forall x \in \R$
\item $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$, $\sin(x + 2\pi) = \sin(x) \smallhspace \forall x \in \R$
\item $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$, $\cos(x + 2\pi) = \cos(x) \smallhspace \forall x \in \R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{-1.8pc}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item \tr{Zeros of sine}{Nullstellen von Sinus} = $\{ k \cdot \pi : k \in \Z \}$\\
$\sin(x) > 0 \smallhspace \forall x \in ]2k\pi, (2k + 1)\pi[, \smallhspace k \in \Z$
$\sin(x) > 0 \smallhspace \forall x \in ](2k + 1)\pi, (2k + 2)\pi[, \smallhspace k \in \Z$
\item \tr{Zeros of cosine}{NullStellen von Cosinus} = $\{ \frac{\pi}{2} \cdot k \cdot \pi : k \in \Z \}$\\
$\cos(x) > 0 \smallhspace \forall x \in ]-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, -\frac{\pi}{2} + (2k + 1)\pi[, \smallhspace k \in \Z$
$\cos(x) > 0 \smallhspace \forall x \in ]-\frac{\pi}{2} + (2k + 1)\pi, -\frac{\pi}{2} + (2k + 2)\pi[, \smallhspace k \in \Z$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{simplebox}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Limits of functions}{Grenzwerte von Funktionen}}
\compactdef{\tr{Cluster point}{Häufungspunkt}}\tr{DE: ``Häufungspunkt''}:
$x_0 \in \R$ \tr{of}{von} $D$ \trif $\forall \delta > 0 \smallhspace (]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \backslash \{ x_0 \}) \cap D \neq \emptyset$\\
%
\stepcounter{all}\shortdef $A \in \R$ \tr{is the limit of $f(x)$ for}{ist der Grenzwert von $f(x)$ für} $x \rightarrow x_0$ \tr{denoted}{bezeichnet} $\limit{x}{x_0} f(x) = A$, \tr{where $x_0$ is a cluster point, if}{wobei $x_0$ ein Häufungspunkt ist, falls}:
\vspace{-0.5pc}
\begin{align*}
\forall \varepsilon \smallhspace \exists \delta > 0 \text{ s.t. } \forall x \in D \cap (]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \backslash \{ x_0 \}) : |f(x) - A| < \varepsilon
\end{align*}
\vspace{-2.2pc}
\setcounter{all}{6}\shorttheorem \trLets $D, E \subseteq \R$, $x_r$ \tr{a cluster point of $D$ and}{ein Häufungspunkt von $D$ und} $f: D \rightarrow E$ \tr{a function. Assume that}{eine Funktion. Angenommen, dass} $y_0 := \limit{x}{x_0}$ \tr{exists and}{existiert und} $y_0 \in E$. \trIf $g: E \rightarrow \R$ \tr{is continuous in $y_0$, we have}{in $y_0$ stetig ist, dann gilt} $\limit{x}{x_0} g(f(x)) = g(y_0)$
\fhlc{Cyan}{\tr{Left / Right hand limit}{Links- / Rechtsseitige Grenzwerte}}
\tr{Used when we have functions with poles, we approach them from both sides to evaluate said pole. Differently from at Kanti, we note it}{Wird gebraucht, wenn Funktionen Polstellen haben. Wir nähhern uns der Polstelle von beiden Seiten an, um sie zu evaluieren. Anders als an der Kanti notieren wir sie mit} $x \rightarrow x_0^-$ \tr{instead of}{anstelle von mit} $x \uparrow x_0$

164
semester2/analysis-i/parts/differentiable-functions.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,164 @@
% /*
% * eth - differentiable-functions.tex
% *
% * Created by Janis Hutz 07/14/2025, Licensed under the GPL V3 License
% * https://janishutz.com, development@janishutz.com
% *
% *
% */
\newsection
\section{\tr{Differentiable Functions}{Differenzierbare Funktionen}}
\subsection{\tr{Differentiation}{Ableiten}}
\compactdef{\tr{Differentiability}{Differenzierbarkeit}} $f$ \tr{is differentiable in}{ist differenzierbar in} $x_0$ \trif $\displaystyle f'(x_0) = \limit{x}{x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \limit{h}{0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ \tr{exists}{existiert}.\\
%
\stepcounter{all}\shorttheorem \tr{}{Sei} $x_0$ \tr{cluster point of}{Häufungspunkt von} $D$: $f$ \tr{is differentiable in}{differenzierbar in} $x_0 \Longleftrightarrow \exists c\in \R$ \trand $r: D \rightarrow \R$ \trwith (\tr{if it applies}{falls es zutrifft, ist} $c= f'(x_0)$ \tr{is unique}{eindeutig bestimmt}):
\begin{center}
$f(x) = f(x_0) + c(x - x_0) + r(x)(x - x_0) \text{ \tr{as well as}{sowie auch} } r(x_0) = 0 \text{ \tr{and $r$ is continuous in}{und $r$ ist stetig in} } x_0$
\end{center}
%
\shorttheorem $f$ \tr{differentiable in}{differenzierbar in} $x_0 \Leftrightarrow \exists \phi: D \rightarrow \R$ \tr{continuous in}{stetig in} $x=$ \trand $f(x) = f(x_0) + \phi(x)(x - x_0) \smallhspace \forall x \in D$. \tr{Then}{Dann ist} $\phi(x_0) = f'(x_0)$
\shortcorollary $x_0 \in D$ \tr{cluster point of}{Häufungspunkt von} $D$. \trIf $f$ \tr{differentiable in}{differenzierbar in} $x_0$, $f$ \tr{continuous in}{stetig in} $x_0$
\stepcounter{all}\shortdef $f$ \tr{is differentiable on all $D$ if for each cluster point $x_0$ it is differentiable in $x_0$}{ist auf ganz $D$ differenzierbar, falls $f$ für jeden Häufungspunkt $x_0$ in $x_0$ differenzierbar ist}
\begin{simplebox}[]{ForestGreen}
\setcounter{all}{9}\compacttheorem{\tr{Basic Differentiation rules}{Grundregeln vom Ableiten}} Let $f, g$ be functions differentiable in $x_0$
\vspace{-0.8pc}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$
\item $(f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)$
\item \trif $g(x_0) \neq 0$, $\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)' (x_0) = \frac{f'(x_0) g(x_0) - f(x_0) g'(x_0)}{g(x_0)^2}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{simplebox}
%
\setcounter{all}{11}\compacttheorem{\tr{Chain rule}{Kettenregel}} $x_0 \in D$ \tr{cluster point}{Häufungspunkt}, $f: D \rightarrow E$ \tr{differentiable in}{differenzierbar in} $x_0$
\trst $y_0 := f(x_0) \in E$ \tr{cluster point of $E$ and let}{ein Häufungspunkt von $E$ ist und sei}
$g: E \rightarrow \R$ \tr{differentiable in}{differenzierbar in} $y_0$. \tr{Then}{Dann gilt} $g \circ f: D \rightarrow \R$ \tr{differentiable in}{differenzierbar in} $x_0$ \trand
$(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)$\\
%
\shortcorollary \trLet $f: D \rightarrow E$ \tr{be a bijective function, differentiable in $x_0$ (cluster point) and}{eine in $x_0$ (Häufungspunkt) differenzierbare Bijektion} $f'(x_0) \neq 0$ \tr{as well as}{und zudem sei} $f^{-1}$ \tr{continuous in}{stetig in} $y_0 = f(x_0)$. \tr{Then}{Dann ist} $y_0$ \tr{cluster point of}{ein Häufungspunkt von} $E$, $f^{-1}$ \tr{differentiable in}{differenzierbar in} $y_0$ \trand $\displaystyle (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{First derivative: Important Theorems}{Erste Ableitung: Wichtige Sätze}}
\shortdef \textbf{(1)} $f$ \tr{has maximum at}{hat ein Maximum in} $x_0$ \trif $\exists \delta > 0$ \trst $f(x) \leq f(x_0) \smallhspace \forall x \in ]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \smallhspace \cap \smallhspace D$
\textbf{(2)} $f$ \tr{has minimum at}{hat ein Minimum in} $x_0$ \trif $\exists \delta > 0$ \trst $f(x) \geq f(x_0) \smallhspace \forall x \in ]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \smallhspace \cap \smallhspace D$
\textbf{(3)} $f$ \tr{has extrema in}{hat ein lokales Extremum in} $x_0$ \tr{if it is either max or min}{fall es entweder ein max oder min ist}
\begin{simplebox}[]{ForestGreen}
\shorttheorem \tr{Assume $f$ differentiable in $x_0$. From the following we have that if}{Angenommen, $f$ is in $x_0$ differenzierbar} $f'(x_0) = 0$, \tr{there is an extrema at $x_0$}{dann existiert in $x_0$ ein Extremum}
\vspace{-0.8pc}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \trIf $f'(x_0) > 0 \smallhspace \exists \delta > 0$ \trst $f(x) > f(x_0) \smallhspace \forall x \in ]x_0, x_0 + \delta[$ \trand $f(x) < f(x_0) \smallhspace \forall x \in ]x_0 - \delta, x_0[$
\item \trIf $f'(x_0) < 0 \smallhspace \exists \delta > 0$ \trst $f(x) < f(x_0) \smallhspace \forall x \in ]x_0, x_0 + \delta[$ \trand $f(x) > f(x_0) \smallhspace \forall x \in ]x_0 - \delta, x_0[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{simplebox}
\shorttheorem \trLet $f: [a, b] \rightarrow \R$ \tr{continuous and differentiable in}{stetig und differenzierbar in} $]a, b[$. \trIf $f(a) = f(b)$, $\exists \xi \in ]a, b[$ \trwith $f'(\xi) = 0$\\
%
\shorttheorem \trLet $f$ \tr{as above, then}{wie oben, dann} $\exists \xi \in ]a, b[$ s.t. $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$
%
\shortcorollary \trLet $f, g$ \tr{as above}{wie oben} ($I = [a, b]$), \tr{then}{dann gilt}:
\begin{simplebox}[]{teal}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f'(\xi) = 0 \smallhspace \forall \xi \in ]a, b[ \smallhspace \Rightarrow f$ \tr{constant}{konstant}
\item $f'(\xi) = g'(\xi) \smallhspace \forall \xi \in ]a, b[ \smallhspace \Rightarrow \exists c\in \R$ \trwith $f(x) = g(x) + c \smallhspace \forall x \in [a, b]$
\item $f'(\xi) \geq 0 \smallhspace \forall \xi \in ]a, b[ \smallhspace \Rightarrow f$ \tr{mon. increasing on}{monoton wachsend auf} $I$
\item $f'(\xi) > 0 \smallhspace \forall \xi \in ]a, b[ \smallhspace \Rightarrow f$ \tr{strictly mon. inc. on}{strikt mon. wachsend auf} $I$
\item $f'(\xi) \leq 0 \smallhspace \forall \xi \in ]a, b[ \smallhspace \Rightarrow f$ \tr{mon. decreasing on}{monoton fallend auf} $I$
\item $f'(\xi) < 0 \smallhspace \forall \xi \in ]a, b[ \smallhspace \Rightarrow f$ \tr{strictly mon. dec. on}{strikt mon. fallend auf} $I$
\item \trIf $\exists M \geq 0$ \trst $|f'(\xi)| \leq M \smallhspace \forall \xi \in ]a, b[$, \tr{then}{dann gilt} $\forall x_1, x_2 \in [a, b] \smallhspace |f(x_1) - f(x_2)| \leq M|x_1 - x_2|$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{simplebox}
\setcounter{all}{9}
\shorttheorem $f,g,\xi$ \tr{as defined previously. Then}{Wie vorhin definiert. Dann gilt} $g'(\xi)(f(b) - f(a)) = f'(\xi)(g(b) - g(a))$.
If $g'(x) \neq 0 \smallhspace x \in ]a, b[$, $g(a) \neq g(b)$ and $\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
%
\compacttheorem{L'Hospital\tr{'s rule}{}} $f, g$ \tr{as before}{wie vorhin}, \trwith $\displaystyle g'(x) \neq 0 \smallhspace \forall x \in ]a, b[$.
\trIf $\displaystyle \limit{x}{b^-} f(x) = 0$, $\displaystyle \limit{x}{b^-}g(x) = 0$ \trand $\displaystyle \lambda := \limit{x}{b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ \tr{exists, we have}{existiert, folgt} $\displaystyle \limit{x}{b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \limit{x}{b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
%
\setcounter{all}{13}\shortdef $f$ \bi{\tr{convex}{konvex}} \tr{on}{auf} $I$ \trif $\forall x \leq y \in I$ \trand $\lambda \in [0, 1]$
$f(\lambda x + (1 - \lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$.
\bi{\tr{Strictly convex}{Streng konvex}} \trif \tr{$<$ instead of $\leq$ in all occurences}{jedes $<$ durch $\leq$ ersetzt wird}
\setcounter{all}{16} \shorttheorem $f$ \tr{(as usual) (strictly) convex}{(wie immer) (streng) konvex} $\Longleftrightarrow f'$ \tr{(strictly) monotonically increasing}{(streng) monoton wachsend}.
\shortcorollary \trIf $f''$ \tr{exists, then $f$ (strictly) convex if}{existiert ist $f$ (streng) konvex falls} $f'' \geq 0$ (\tror $f'' > 0$) \tr{on}{auf} $]a, b[$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Higher derivatives}{Höhere Ableitungen}}
\begin{definition}[]{\tr{Higher derivatives}{Höhere Ableitungen}}
\begin{enumerate}
\item \trFor $n \geq 2$, $f$ \tr{differentiable $n$ times in $D$ if}{$n$-mal differenzierbar in $D$ falls}
$f^{(n - 1)}$ \tr{is differentiable in $D$}{in $D$ differenzierbar ist}.
$f^{(n)} := (f^{(n - 1)})'$, $n$-\tr{th derivative of}{te Ableitung von} $f$
\item $f$ \tr{is $n$-times continuously differentiable in $D$ if}{ist $n$-mal stetig differenzierbar in $D$ falls}
$f^{(n)}$ \tr{exists and is continuous in}{existiert und ist stetig in} $D$
\item $f$ \tr{is called smooth (de: glatt) in $D$ if}{ist \bi{glatt} in $D$ falls} $\forall n \geq 1$ $f^{(n)}$ \tr{exists}{existiert}.
\end{enumerate}
\end{definition}
%
\stepcounter{all} \shorttheorem \textbf{\textit{(1)}} $(f + g)^{(n)} = f^{(n)} + g^{(n)}$, \bi{(2)}
%
$(f \cdot g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} {n \choose k} f^{(k)} g^{(n - k)}$ (binomial expansion), \trfor $f, g$ \tr{differentiable $n$ times}{$n$-mal differenzierbar}
%
\stepcounter{all} \shorttheorem $f, g$ \tr{as above; If}{wie oben; Falls} $g(x) \neq 0 \smallhspace \forall x \in D$, \tr{then}{dann ist} $\displaystyle \frac{f}{g}$ \tr{differentiable $n$-times in $D$}{$n$-mal in $D$ differenzierbar}
%
\shorttheorem \trLets $E, D \subseteq \R$ \tr{for which each point is a cluster point and}{für die jeder Punkt ein Häufungspunkt ist und} $f: D \rightarrow E$ \trand $g: E \rightarrow D$, \tr{both differentiable $n$ times. Then}{beide $n$-mal differenzierbar. Dann ist}
$(g \circ f)^{(n)}(x) = \sum_{k = 1}^{n} A_{n, k}(x) (g^{(k)} \circ f)(x)$ \tr{where}{wobei} $A_{n, k}$ \tr{is a polynomial in the functions}{ein Polynom in den Funktionen} $f', f^{(2)}, \ldots, f^{(n + 1 - k)}$ \tr{}{ist}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsection
\subsection{\tr{Power series and Taylor approximation}{Potenzreihen und Taylor Approximation}}
\shorttheorem \tr{Assume that}{Angenommen, dass} $\seq{f}$ \tr{(for $f_n$ and $f'_n$ continuously differentiable) and}{(für $f_n$ und $f'_n$ stetig differenzierbar) und} $\seq{f'}$ \tr{converge uniformly on}{gleichmässig auf} $]a, b[$ \tr{for}{konvergieren für} $f: ]a, b[ \rightarrow \R$ \trwith $\displaystyle f := \limni f_n$ \trand $\displaystyle p := \limni f'_n$. \tr{Then $f$ is continuously differentiable and $f' = p$}{Dann ist $f$ stetig differenzierbar und $f' = p$}
\shorttheorem \tr{Power series}{Potenzreihe} $\displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} c_k x^k$ \trwith
$\rho > 0$, $f(x) = \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} c_k(x - x_0)^k$ \tr{differentiable on}{auf} $]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ \tr{and}{differenzierbar und} $\displaystyle f'(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} kc_k(x - x_0)^{k - 1}$
\shortcorollary \tr{As}{Wie} in 4.4.1, $f$ \tr{smooth on conv. interval and}{glatt auf einem konvexen Invervall und} $\displaystyle f^{(j)}(x) \sum_{k = j}^{\infty} c_k \frac{k!}{(k - j)!} (x - x_0)^{k - j}$. \tr{Specifically}{Insbesondere}, $\displaystyle c_j = \frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}$
\stepcounter{all}\shorttheorem $f$ \tr{continuous}{stetig}, $\exists f^{(n + 1)}$. \tr{For each}{Für jedes} $a < x \leq b$ $\exists \xi \in ]a, x[$ \trwith
$\displaystyle f(x) \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - a)^{n + 1}$
\compactcorollary{Taylor Approximation} \tr{Same as above, but}{Gleich wie oben, aber} $f: [c, d] \rightarrow \R$ \tr{instead of}{anstelle von} $f: [a, b] \rightarrow \R$ \trand $c < a < d$ \trand $\xi$ \tr{between}{zwischen} $x$ \trand $a$.
\shortcorollary $a < x_0 < b$ \trand $f$ \tr{as before, assume that}{wie zuvor, angenommen, dass} $f'(x_0) = f^{(2)}(x_0) = \ldots = f^{(n)}(x_0) = 0$. \tr{Then}{Dann gilt}:
\vspace{-0.8pc}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \tr{If $n$ even and $x_0$ local extrema}{Falls $n$ gerade und $x_0$ lokales Extremum}, $f^{(n + 1)}(x_0) = 0$
\item \tr{If $n$ odd and}{Falls $n$ ungerade und} $f^{(n + 1)}(x_0) > 0$, $x_0$ \tr{strict local minimum}{strikte lokale Minimalstelle}
\item \tr{If $n$ odd and}{Falls $n$ ungerade und} $f^{(n + 1)}(x_0) < 0$, $x_0$ \tr{strict local maximum}{strikte lokale Maximalstelle}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{-1pc}
\shortcorollary $f$ \tr{differentiable twice and}{2-mal differenzierbar und} $a < x_0 < b$, \tr{assume}{wir nehmen an, dass} $f'(x_0) = 0$
\vspace{-0.8pc}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f^{(2)}(x_0) > 0$, $x_0$ \tr{strict local minimum}{strikte lokale Minimalstelle}
\item $f^{(2)}(x_0) < 0$, $x_0$ \tr{strict local maximum}{strikte lokale Maximalstelle}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{-0.8pc}
\subsection{Exercise Help}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{./assets/series.png}
\begin{multicols}{2}
\shade{ForestGreen}{\tr{Common limits}{Häufige Grenzwerte}}
\includegraphics[height=0.5\textheight]{./assets/limits.png}
\shade{ForestGreen}{\tr{Common Taylor Polynomials}{Bekannte Taylorreihen}}
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{./assets/taylor-polynomials.png}
\end{multicols}

124
semester2/analysis-i/parts/fields.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,124 @@
\newsection
\section{\tr{Fields}{Räume}}
\subsection{\tr{Real numbers}{Reelle Zahlen}}
\compacttheorem{Lindemann}
\translate{There is no equation of form}{Es gibt keine Gleichung der Form} $x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_0 = 0$ \translate{with}{mit} $a_i \in Q$ \translate{such that}{so dass} $x = \pi$ \translate{is a solution}{eine Lösung ist}
\setcounter{all}{7}
\compactcorollary{\tr{Archimedic Principle}{Archimedisches Prinzip}} \trLet $x \in \R$ \trwith $x > 0$ \trand $y \in \R$. \tr{Then exists}{Dann existiert} $n \in \N$ \trwith $y \leq n \cdot x$
\setcounter{all}{9}
\begin{definition}[]{\translate{Max, min, absolute value}{Max, Min, Betrag}}
\translate{Let}{Seien} $x, y \in \R$. \translate{Then}{Dann}:
\vspace{-0.8pc}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
\item $\max\{x, y\} = \begin{cases}
x & \text{\trif} y \leq x \\
y & \text{\trif} x \leq y
\end{cases}$
\item $\min\{x, y\} = \begin{cases}
y & \text{\trif} y \leq x \\
x & \text{\trif} x \leq y
\end{cases}$
\item \translate{The absolute value of}{Der Absolutbetrag von}\\ $x \in \R : |x| = \max{x, -x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{definition}
\begin{theorem}[]{\translate{Absolute value properties}{Eigenschaften des Absolutbetrags}}
\vspace{-0.6pc}
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
\item $|x| \geq 0 \smallhspace \forall x \in \R$
\item $|xy| = |x||y| \smallhspace \forall x, y \in \R$
\item $|x + y| \leq |x| + |y|$
\item $|x + y| \geq ||x| - |y||$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{theorem}
\compacttheorem{\translate{Young's Inequality}{Young'sche Ungleichung}} $\forall \varepsilon > 0, \smallhspace \forall x, y \in \R$ \translate{we have}{gilt}: $2|xy| \leq \varepsilon x^2 + \frac{1}{\varepsilon}y^2$
\begin{definition}[]{\tr{Bounds}{Schranken}}
\begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
\item $c \in \R$ \tr{upper bound of $A$ if}{obere Schranke von $A$ falls} $\forall a \in A : a \leq c$.
$A$ \tr{bounded from above if upper bound for $A$ exists}{nach oben beschränkt falls eine obere Schranke für $A$ existiert}
\item $c \in \R$ \tr{lower bound of $A$ if}{untere Schranke von $A$ falls} $\forall a \in A : a \leq c$.
$A$ \tr{bounded from below if lower bound for $A$ exists}{nach unten beschränkt falls eine untere Schranke für $A$ existiert}
\item \tr{Element $m \in \R$ \textbf{maximum} of $A$ if $m \in A$ and $m$ upper bound of $A$}
{Element $m \in \R$ \textbf{Maximum} von $A$ falls $m \in A$ und $m$ obere Schranke von $A$ ist}
\item \tr{Element $m \in \R$ \textbf{minimum} of $A$ if $m \in A$ and $m$ lower bound of $A$}
{Element $m \in \R$ \textbf{Minimum} von $A$ falls $m \in A$ und $m$ untere Schranke von $A$ ist}
\end{enumerate}
\end{definition}
\setcounter{all}{15}
\begin{theorem}[]{Supremum \& Infimum}
\begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
\item \tr{The least upper bound of a set $A$ bounded from above is called the \textbf{\textit{Supremum}} and given by}
{Die kleinste obere Schranke von einer nach oben beschränkten Menge $A$, gennant das \textbf{\textit{Supremum}} von $A$, ist definiert als}
$c := \sup(A)$.
\tr{It only exists if the set is upper bounded.}
{Es existiert nur falls die Menge nach oben beschränkt ist.}
\item \tr{The greatest lower bound of a set $A$ bounded from below is called the \textbf{\textit{Infimum}} and given by}
{Die grösste untere Schranke von einer nach unten beschränkten Menge $A$, gennant das \textbf{\textit{Infimum}} von $A$, ist definiert als}
$c := \inf(A)$.
\tr{It only exists if the set is lower bounded.}
{Es existiert nur falls die Menge nach unten beschränkt ist.}
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{corollary}[]{Supremum \& Infimum}
\trLet $A \subset B \subset \R$
\vspace{-0.9pc}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\textit{(\arabic*)}]
\item \tr{If $B$ is bounded from above, we have}{Falls $B$ nach oben beschränkt ist, gilt} $\sup(A) \leq \sup(B)$
\item \tr{If $B$ is bounded from below, we have}{Falls $B$ nach unten beschränkt ist, gilt} $\inf(B) \leq \inf(A)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{corollary}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\setcounter{subsection}{2}
\subsection{\tr{Complex numbers}{Komplexe Zahlen}}
\textbf{\tr{Operations}{Operationen}}: $i^2 = -1$ (\tr{NOT}{NICHT} $i = \sqrt{-1}$ \tr{bc. otherwise}{da sonst} $1 = -1$).
%
\tr{Complex number}{Komplexe Zahl} $z_j = a_j + b_ji$.
\textit{Addition, \tr{Subtraction}{Subtraktion}} $(a_1 \pm a_2) + (b_1 \pm b_2)i$.
\textit{\tr{Multiplication}{Multiplikation}} $(a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i$.
\textit{Division} $\displaystyle\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{b_1^2 + b_2^2} + \frac{a_2 b_1 - a_1 b_2}{b_1^2 b_2^2}i$;
\textbf{\tr{Parts}{Teile}}: $\mathfrak{R}(a + bi) := a$ (\tr{Real part}{Realteil}), $\mathfrak{I}(a + bi) := b$ (\tr{imaginary part}{Imaginärteil}),
$|z| := \sqrt{a^2 + b^2}$ (modulus),
$\overline{a + bi} := a-bi$ (\tr{complex conjugate}{Komplexe Konjugation});
\textbf{\tr{Polar coordinates}{Polarkoordinaten}}: $a + bi$ (\tr{normal form}{Normalform}), $r \cdot e^{i \phi}$ (\tr{polar form}{Polarform}).
Transformation polar $\rightarrow$ normal: $r \cdot \cos(\phi) + r \cdot \sin(\phi)i$.
Transformation normal $\rightarrow$ polar: $|z| \cdot e^{i \cdot \arcsin(\frac{b}{|z|})}$;
\begin{theorem}[]{\tr{Fundamental Theorem of Algebra}{Fundamentalsatz der Algebra}}
\trLet $n \geq 1, n \in \N$ \tr{and let}{und sei}
\[
P(z) = z^n + a_{n - 1}z^{n - 1} + \ldots + a_0, \mediumhspace a_j \in \C
\]
\tr{Then there exist}{Dann gibt es} $z_1, \ldots, z_n \in \C$ \tr{such that}{so dass}
\[
P(z) = (z - z_1)(z - z_2) \dots (z - z_n)
\]
\tr{The set}{Die Menge} $\{z_1, \ldots, z_n\}$ \tr{and the multiplicity of the zeros $z_j$ are hereby uniquely determined}
{und die Vielfachheit der Nullstellen $z_j$ sind eindeutig bestimmt.}
\end{theorem}
\shade{Aquamarine}{\tr{Surjectivity}{Surjektivität}}
\tr{Given a function}{Eine Funktion} $f: X \rightarrow Y$, \tr{it is surjective, iff}{ist Surjektiv, g.d.w.} $\forall y \in Y, \exists x \in X : f(x) = y$ (\tr{continuous function}{stetige Funktion})
\shade{Aquamarine}{\tr{Injectivity}{Injektivität}}
$x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$

206
semester2/analysis-i/parts/riemann-integral.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,206 @@
\newsection
\section{\tr{Integrals}{Riemann Integral}}
\subsection{\tr{Definition and integrability}{Definition und Integrabilitätskriterien}}
\compactdef{Partition} \tr{finite subset}{endliche Teilmenge} $P \subset I$ \tr{where}{wo} $I = [a, b]$ \trand $\{a, b\} \subseteq P$\\
%
\tr{Lower sum}{Untersumme}: $\displaystyle s(f, P) := \sum_{i = 1}^{n} f_i \delta_i, \smallhspace f_i = \inf_{x_{i - 1} \leq x \leq x_i} f(x)$,
\tr{Upper sum}{Obersumme}: $\displaystyle S(f, P) := \sum_{i = 1}^{n} f_i \delta_i, \smallhspace f_i = \sup_{x_{i - 1} \leq x \leq x_i} f(x)$,
$\delta_i$ sub-interval\\
%
\shortlemma \trLet $P'$ \tr{be a specification of}{eine Verfeinerung von} $P$, \tr{then}{dann} $s(f, P) \leq s(f, P') \leq S(f, P') \leq S(f, P)$;
\tr{for arbitrary}{für beliebige} $P_1, P_2$, $s(f, P_1) \leq S(f, P_2)$\\
%
\shortdef $f$ \tr{bounded is integrable if}{beschränkt ist integrierbar falls} $s(f) = S(f)$ \tr{and the integral is}{und das Integral ist} $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \dx x$\\
%
\shorttheorem $f$ \tr{bounded, integrable}{beschränkt, integrierbar} $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \smallhspace \exists P \in \mathcal{P}(I)$ \trwith $S(f, P) - s(f, P) \leq \varepsilon$ \tr{where}{wobei} $\mathcal{P}(I)$ \tr{is the set of all partitions of $I$}{alle Paritionen von $I$ ist}\\
%
\setcounter{all}{8} \shorttheorem $f$ \tr{integrable}{integrierbar} $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \smallhspace \exists \delta > 0$
\trst $\forall P \in \mathcal{P}_{\delta}(I), S(f, P) - s(f, P) < \varepsilon$, \tr{where}{wobei} $\mathcal{P}_{\delta}(I)$ \tr{is set of $P$ for which}{die Menge von $P$ wofür} $\displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} \delta_i \leq \delta$\\
%
\shortcorollary $f$ \tr{integrable with}{integrierbar mit} $A := \int_{a}^{b} f(x) \dx x \Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0
\smallhspace \exists \delta > 0$ \trst $\forall P \in \mathcal{P}(I)$ \trwith $\delta(P) < \delta$ \trand $\xi_1, \ldots, \xi_n$ \trwith $\xi_i \in [x{i - 1}, x_i]$ \trand $P = \{ x_0, \ldots, x_n \}$, $\displaystyle \left|A - \sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i)(x_i - x_{i - 1})\right| < \varepsilon$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Integrable functions}{Integrierbare Funktionen}}
\shorttheorem $f, g$ \tr{bounded, integrable and}{beschränkt, integrierbar und} $\lambda \in \R$. \tr{Then}{Dann gilt} $f + g$, $\lambda \cdot f$, $f\cdot g$, $|f|$, $\max(f, g)$, $\min(f, g)$ \trand $\frac{f}{g} (\text{\trif } |g(x)| \geq \beta > 0 \smallhspace \forall x \in [a, b]$ \tr{are all integrable}{alle integrierbar}
%
\stepcounter{all}\shortcorollary \trLets $P, Q$ \tr{be polynomials and $Q$ has no zeros on $[a, b]$. Then}{Polynome, $Q$ keine Nullstellen auf $[a, b]$, dann}: $[a, b] \rightarrow \R$ \trand $x \mapsto \frac{P(x)}{Q(x)}$ \tr{integrable}{int.}\\
%
\compactdef{\tr{uniform continuity}{Gleichmässige Stetigkeit}} \trif
$\forall \varepsilon > 0 \smallhspace \exists \delta > 0 \smallhspace \forall x, y \in D : |x - y| < \delta \Longrightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon$
\stepcounter{all}\shorttheorem $f$ \tr{continuous on compact interval}{stetig auf kompaktem Intervall} $I = [a, b] \Longrightarrow f$ \tr{is uniformly continuous on}{ist gleichmässig stetig auf} $I$
\shorttheorem $f$ \tr{continuous}{stetig} $\Longrightarrow f$ \tr{integrable}{integrierbar}
\shorttheorem $f$ \tr{monotone}{monoton} $\Longrightarrow f$ \tr{integrable}{integrierbar}
%
\stepcounter{all}\shorttheorem $I \subset \R$ \tr{compact interval with}{kompaktes Intervall mit} $I = [a, b]$ \trand $f_1, f_2$ \tr{bounded, integrable and}{beschränkt, integrierbar und} $\lambda_1, \lambda_2 \in \R$. \\
\tr{Then}{Dann gilt}: $\displaystyle\int_{a}^{b}(\lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 + f_2(x)) \dx x = \lambda_1 \int_{a}^{b} f_1(x) \dx x + \lambda_2 \int_a^b f_2(x) \dx x$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Inequalities and Intermediate Value Theorem}{Ungleichungen und Mittelwertsatz}}
\shorttheorem $f, g$ \tr{bounded, integrable and}{beschränkt, integrierbar und} $f(x) \leq g(x) \forall x \in [a, b]$, \tr{then}{dann} $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \dx x \leq \int_{a}^{b} g(x) \dx x$
%
\shortcorollary \tr{if $f$ bounded, integrable}{falls $f$ beschränkt, integrierbar}, $\left| \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \dx x\right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| \dx x$
\shorttheorem \trLet $f, g$ \tr{bounded, integrable, then}{beschränkt, integrierbar, dann} $\left| \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) g(x) \dx x \right| \leq \sqrt{\int_{a}^{b} f^2(x) \dx x} \cdot \sqrt{\int_{a}^{b} g^2(x) \dx x}$\\
%
\compacttheorem{\tr{Intermediate Value Theorem}{Mittelwertsatz}} $f$ \tr{continuous. Then}{stetig. Dann gilt} $\exists \xi \in [a, b]$ \trst $\displaystyle\int_{a}^{b} \dx x = f(\xi)(b - a)$
\stepcounter{all}\shorttheorem \trLet $f$ \tr{continuous, $g$ bounded and integrable with}{stetig, $g$ beschränkt und integrierbar mit} $g(x) \geq 0 \smallhspace \forall x \in [a, b]$.
\tr{Then}{Dann gilt} $\exists \xi \in [a, b]$ \trst $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) g(x) \dx x = f(\xi) \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \dx$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Fundamental theorem of Calculus}{Fundamentalsatz der Differentialrechnung}}
\begin{theorem}[]{\tr{First Fundamental Theorem of Calculus}{Erster Fundamentalsatz}}
\trLet $a < b$ \trand $f: [a, b] \rightarrow \R$ \tr{continuous. The function}{stetig. Die Funktion}
\begin{align*}
F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \dx t, \smallhspace a \leq x \leq b
\end{align*}
\tr{is differentiable in}{ist differenzierbar in} $[a, b]$ \trand $F'(x) = f(x) \smallhspace \forall x \in [a, b]$
\end{theorem}
\shortproof \tr{Split the integral}{Intervall aufteilen}: $\int_{a}^{x_0} f(t) \dx t + \int_{x_0}^{x} f(t) \dx t = \int_{a}^{x} f(t) \dx t$, \tr{so}{also} $F(x) - F(x_0) = \int_{x_0}^{x} f(t) \dx t$.
\tr{Using the Intermediate Value Theorem, we get}{Mithilfe des Mittelwertsatzes erhalten wir} $\int_{x_0}^{x} f(t) \dx t = f(\xi)(x - x_0)$
\tr{and for}{und für} $x \neq x_0$ \tr{we have}{ergibt sich} $\frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} = f(\xi)$
\tr{and since}{und da} $\xi$ \tr{is between}{zwischen} $x_0$ \trand $x$ \tr{and since}{liegt und da} $f$ \tr{continuous}{stetig ist},
$\limit{x}{x_0} \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} = f(x_0)$ \hspace{10cm} $\square$
\compactdef{\tr{Anti-derivative}{Stammfunktion}} $F$ \trfor $f$ \trif $F$ \tr{is differentiable in}{differenzierbar in} $[a, b]$ \tr{and}{ist und} $F' = f$ in $[a, b]$
\begin{theorem}[]{\tr{Second Fundamental Theorem of Calculus}{Zweiter Fundamentalsatz}}
$f$ \tr{as in 5.4.1. Then there exists an anti-derivative $F$ of $f$ that is uniquely determined bar the constant of integration and}{wie in 5.4.1. Dann existiert eine Stammfunktion $F$ von $f$ die eindeutig bestimmt ist bist auf die Integrationskonstante und}
\begin{align*}
\int_{a}^{b} f(x) \dx x = F(a) - F(b)
\end{align*}
\end{theorem}
\shortproof \tr{Existence of $F$ given by 5.4.1. If $F_1$ and $F_2$ are anti-derivatives of $f$, then}{Existenz von $F$ gegeben dur 5.4.1. Falls $F_1$ und $F_2$ Stammfunktionen von $f$ sind, dann} $F'_1 - F'_2 = f - f = 0$, i.e. $(F_1 - F_2)' = 0$.
\tr{From 4.2.5 (1) we have that}{Mithilfe von 4.2.5 (1) erhalten wir, dass} $F_1 - F_2$ \tr{is constant}{konstant ist}.
\tr{We have}{Wir haben} $F(x) = C + \int_{a}^{x} f(t) \dx t$, \tr{where}{wobei} $C$ \tr{is an arbitrary constant}{eine beliebige Konstante ist}.
\tr{Especially}{Insbesondere}, $F(b) = C + \int_{a}^{b} f(t) \dx t, F(a) = C$ \tr{and thus}{und deshalb} $F(b) - F(a) = C + \int_{a}^{b} f(t) \dx t - C = \int_{a}^{b} f(t) \dx t$
\stepcounter{all}
\compacttheorem{\textbf{\tr{Integration by parts}{Partielle Integration}}} $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g'(x) \dx x = \left[f(x) g(x)\right]^b_a - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \dx x$. \tr{Be wary of cycles}{Aufgepasst mit Zyklen}
\compacttheorem{\textbf{\tr{Integration by substitution}{Integration durch Substitution}}}
$\phi$ \tr{continuous and differentiable. Then}{stetig und differenzierbar. Dann gilt}
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(\phi(t)) \phi'(t) \dx t = \int_{\phi(a)}^{\phi((b))} f(x) \dx x$
\tr{To use the above, in a function choose the inner function appropriately, differentiate it, substitute it back to get a more easily integrable function}
{Um das Obige zu Nutzen muss die innere Funktion passend gewählt, abgeleitet und rücksubstituiert werden um eine einfacher integrable Funktion zu erhalten}.
\setcounter{all}{8}\shortcorollary $I \subseteq \R$ \trand $f: I \rightarrow \R$ \tr{continuous}{stetig}
\begin{simplebox}[]{teal}
\vspace{-0.5pc}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \trLet $a, b, c \in \R$ \tr{s.t. the closed interval with endpoints}{s.d. das abgeschlossenes Intervall mit Endpunkten} $a + c, b + c$ \tr{is contained in $I$. Then}{in $I$ enthalten ist. Dann gilt}
\begin{align*}
\int_{a + c}^{b + c} f(x) \dx x = \int_{a}^{b} f(t + c) \dx t
\end{align*}
\item \trLet $a, b, c \in \R, c \neq 0$ \tr{s.t. the closed interval with endpoints}{s.d. das abgeschlossene Intervall mit Endpunkten} $ac, b$ \tr{is contained in $I$. Then}{in $I$ enthalten ist. Dann gilt}
\begin{align*}
\frac{1}{c} \int_{ac}^{bc} f(x) \dx x = \int_{a}^{b} f(ct) \dx t
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{simplebox}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Integration of converging series}{Integration einer konvergierenden Reihe}}
\shorttheorem \trLet $f_n: [a, b] \rightarrow \R$ \tr{be a sequence of bounded, integrable functions converging uniformly to $f$. Then $f$ bounded, integrable and}
{eine Folge von beschränkten, integrierbaren Funktionen die gleichmässig gegen $f$ konvergieren. Dann ist $f$ beschränkt integrierbar und}
$\limni \int_{a}^{b} f_n(x) \dx x = \int_{a}^{b} f(x) \dx x$
%
\shortcorollary $f_n$ \tr{s.t. the series converges. Then}{s.d. die Reihe konvergiert. Dann ist}
$\sum_{n = 0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \dx x = \int_{a}^{b} \left( \sum_{n = 0}^{\infty} f_n(x) \right) \dx x$\\
\shortcorollary $f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x_k x^k$ \trwith $\rho > 0$.
\tr{Then}{Dann ist} $\forall 0\leq r < \rho$, $f$ \tr{integrable on}{integrierbar auf} $[-r, r]$ \trand $\forall x \in ]- \rho, \rho[, \int_{0}^{x} f(t) \dx t = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_n}{n + 1}x^{n + 1}$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{Euler-McLaurin \tr{summation}{Summationsformel}}
\shortdef $\forall k \geq 0$, \tr{the $k$-th Bernoulli-Polynomial}{das $k$-te Bernoulli Polynom} $B_k(x) = k!P_k(x)$, \tr{where}{wobei} $P_k' = P_{k - 1} \smallhspace \forall k \geq 1$ \trand $\int_{0}^{1} P_k(x) \dx x = 0 \smallhspace\forall k \geq 1$
%
\shortdef \trLet $B_0 = 1$. $\forall k \geq 2$ $B_{k - 1}$ \tr{is given recursively by}{ist rekursiv durch} $\sum_{i = 0}^{k - 1} {k \choose i} B_i = 0$ \tr{}{definiert}
%
\compacttheorem{\tr{McLaurin Series}{McLaurin Reihe}} $B_k(x) = \sum_{i = 0}^{k} {k \choose i} B_i x^{k - i}$
%
\stepcounter{all} \shorttheorem $f$ $k$ \tr{times continuously differentiable}{mal stetig differenzierbar}, $k \geq 1$. \tr{Then for}{Dann gilt für} $\tilde{B_k}(x) = \begin{cases}
B_k(x) & \text{\trfor } 0 \leq x < 1\\
B_k(x - n ) & \text{\trfor } n \leq x \leq n + 1 \text{ \tr{where}{wobei} } n \geq 1
\end{cases}$ \tr{that}{dass}
\vspace{-0.3pc}
\begin{enumerate}
\item \trFor $k = 1$: $\sum_{i = 1}^{n} f(i) = \int_{0}^{n} f(x) \dx x + \frac{1}{2} (f(n) - f(0)) + \int_{0}^{n} \tilde{B_1}(x) f'(x) \dx x$ \mediumhspace
\tr{below}{unten}: $\tilde{R_k} = \frac{(-1)^{k - 1}}{k!} \int_0^n \tilde{B_k}(x) f^{(k)}(x) \dx x$
\item \trFor $k \geq 2$: $\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f(i) = \int_{0}^{n} f(x) \dx x + \frac{1}{2} (f(n) - f(0)) + \sum_{j = 2}^{k} \frac{(-1)^j B_j}{j!} (f^{(j - 1)}(n) - f^{(j - 1)}(0)) + \tilde{R_k}$,
$\displaystyle \tilde{R_k} = \sum_{(-1)^{(k - 1)}}^{k!}\int_{0}^{n} \tilde{B_1}(x) f^{(k)}(x) \dx x$
\end{enumerate}
\vspace{-0.2pc}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\vspace{-0.5pc}
\subsection{\tr{Stirling's Formula}{Stirling'sche Formel}}
\vspace{-0.2pc}
\shorttheorem $\displaystyle n! = \frac{\sqrt{2\pi n}n^n}{e^n} \cdot \exp \left( \frac{1}{12n} + R_3(n) \right)$, $|R_3(n)| \leq \frac{\sqrt{3}}{216}\cdot \frac{1}{n^2} \smallhspace \forall n \geq 1$
\shortlemma $\forall m \geq n + 1 \geq 1: |R_3(m,n)| \leq \frac{\sqrt{3}}{216} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$
\vspace{-0.2pc}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\vspace{-0.5pc}
\subsection{\tr{Improper Integrals}{Uneigentliche Integrale}}
\vspace{-0.8pc}
\shortdef $f$ \tr{bounded and integrable on}{beschränkt und integrierbar auf} $[a, b]$.
\trIf $\displaystyle \limit{b}{\infty}\int_{a}^{b} f(x) \dx x$ \tr{exists, we denote it}{existiert, wir notieren als}
$\int_{a}^{\infty} f(x) \dx x$ \tr{and call $f$ integrable on}{und sagen $f$ ist integrierbar auf} $[a, +\infty[$
%
\stepcounter{all}\shortlemma $f: [a, \infty[ \rightarrow \R$ \tr{bounded and integrable on}{beschränkt und integrierbar auf} $[a,b] \forall b > 0$.
\trIf $|f(x) \leq g(x) \smallhspace \forall x \geq a$ \trand $g(x)$ \tr{integrable on}{integrierbar auf} $[a, \infty[$, \tr{then}{dann ist}
$f$ \tr{is integrable on}{integrierbar auf} $[a, \infty[$.
\trIf $0 \leq g(x) \leq f(x)$ \trand $\int_{a}^{\infty} g(x) \dx x$ \tr{diverges, so does}{divergiert, wie auch} $\int_{a}^{\infty} f(x) \dx x$
%
\stepcounter{all}\shorttheorem $f:[1, \infty[ \rightarrow [0, \infty[$ \tr{monotonically decreasing}{monoton fallend}. $\sum_{n = 1}^{\infty} f(n)$ \tr{converges}{konvergiert} $\Leftrightarrow \int_{1}^{\infty} f(x) \dx x$ \tr{converges}{konvergiert}
%
\setcounter{all}{8} \shortdef \trIf $f: ]a, b]$ \tr{is bounded and integrable on}{ist beschränkt und integrierbar auf} $[a + \varepsilon, b], \varepsilon > 0$, \tr{but not necessarily on}{aber nicht zwingend auf} $]a, b]$, \tr{then}{dann ist} $f$ \tr{is integrable if}{integrierbar falls}
$\limit{\varepsilon}{0^+} \int_{a + \varepsilon}^{b} f(x) \dx x$ \tr{exists, then called}{existiert, dann gennant} $\int_{a}^{b} f(x) \dx x$ \\
%
\setcounter{all}{11} \compactdef{Gamma function} \trFor $s > 0$ \tr{we define}{definieren wir} $\Gamma (s) := \int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{s - 1} \dx x$\\
%
\shorttheorem \textbf{\textit{(1)}} $\Gamma(s)$ \tr{fulfills}{erfüllt} $\Gamma(1) = 1$, $\Gamma(s + 1) = s \Gamma(s) \smallhspace \forall s > 0$ \trand $\Gamma(\lambda x + (1 - \lambda)y) \leq \Gamma(x)^\lambda \Gamma(y)^{1 - \lambda} \smallhspace \forall x, y > 0, \smallhspace \forall 0 \leq \lambda \leq 1$\\
%
\textbf{\textit{(2)}} $\Gamma(s)$ \tr{sole function}{einzige Funktion} $]0, \infty[ \smallhspace \rightarrow \smallhspace ]0, \infty[$ \tr{that fulfills the above conditions}{die obige Voraussetzungen erfüllt}.
\tr{Additionally:}{Ausserdem:} $\displaystyle \Gamma(x) = \limni \frac{n!n^x}{x(x + 1) \dots (x + n)} \forall x > 0$
%
\shorttheorem \trLet $p, q > 1$ \trwith $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, \tr{for all}{für alle} $f, g: [a, b] \rightarrow \R$ \tr{continuous, we have}{stetig, dann gilt} $\int_{a}^{b} |f(x) g(x)| \dx x \leq ||f||_p ||g||_q$
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Partial fraction decomposition}{Partialbruchzerlegung}}
\tr{Used for rational polynomial functions. Start by splitting the fraction into parts (usually factorized, so find zeros)}
{Wird für rationale Polynom-Funktionen genutzt. Man started mit Aufteilen des Bruchs into (meistens) faktorisierte Teile. Suche Nullstellen}.
%
\tr{Split denominator into the found parts, e.g.}{Nenner in gefundene Teile unterteilen, z.B.} $\frac{a}{x - 4} + \frac{b}{x + 2}$,
\tr{then expand to the same denominator on all fractions}{dann alle Brüche auf denselben Nenner bringen}.
%
\tr{Then $p(x)$ (the numerator) of the original fraction has to equal the new fraction's numerator, so use SLE to find coefficients}
{Dann muss $p(x)$ (der Zähler) des ursprünglichen Bruch gleich dem des neuen Bruchs entsprechen, also Lineares Gleichungssystem zum Finden der Koeffizienten nutzen}.
%
\tr{Get the numerator into the form of a polynomial, so e.g.}{Den Zähler in die Form von Polynomen bringen, also z.B.} $(a + b) \cdot x + (2a - 4b)$,
\tr{then SLE is}{dann ist das SLE}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
2 = a + b \\
-4 = 2a - b
\end{vmatrix}
\Leftrightarrow a = \frac{2}{3}, b = \frac{4}{3} \mediumhspace \text{\tr{for our rational polynomial}{für unser rationales Polynom} } \frac{2x - 4}{x^2 - 2x - 8}
\end{align*}
\tr{We can then insert our coefficients into the split fraction (here}{Wir können denn die Koeffizienten in den aufgeteilten Bruch einsetzen (hier}
$\frac{a}{x - 4}\ldots$) \tr{and we can integrate normally}{und wir können normal integrieren}

177
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\newsection
\section{\tr{Sequences And Series}{Folgen und Reihen}}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\subsection{\tr{Limits}{Grenzwerte}}
\setcounter{all}{4}
\shortdef \tr{A sequence $\seq{a}$ is \textbf{\textit{converging}} if}{Eine Folge $\seq{a}$ heisst \textbf{\textit{konvergent}} falls}
$\exists l \in \R$ \tr{s.t.}{s.d.} $\forall \varepsilon > 0$
\tr{the set}{die Menge} $\{n \in \N^* : a_n \notin ]l - \varepsilon, l + \varepsilon[\}$
\tr{is finite. Every convergent sequence is bounded.}{endlich ist. Jede konvergente Folge ist beschränkt.}
\stepcounter{all}\shortlemma $(a_n)_{n \geq 1}$ \tr{converges to}{konvergiert gegen} $l = \limit{n}{\infty} a_n \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \smallhspace \exists N \geq 1$ \tr{such that}{s.d.} $|a_n - l| < \varepsilon \smallhspace \forall n \geq N$
\begin{simplebox}[]{ForestGreen}
\stepcounter{all}\shorttheorem $\seq{a}$ \tr{and}{und} $\seq{b}$ \tr{converging}{konvergent}, $a = \limni a_n, b = \limni b_n$. \tr{Then}{Dann gilt}:
\vspace{-0.7pc}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item \textbf{(1)} $(a_n + b_n)_{n \geq 1}$ \tr{converging and}{konvergent und} $\limni (a_n + b_n) = a + b$;
\item \textbf{(2)} $(a_n \cdot b_n)$ \tr{converging and}{konvergent} $\limni (a_n \cdot b_n) = a \cdot b$;
\item \textbf{(3)} \tr{If additionally}{Falls zudem} $b_n \neq 0 \smallhspace \forall n \geq 1$ \tr{and}{and} $b \neq 0$, \tr{then}{dann gilt} $\left( a_n \div b_n \right)_{n \geq 1}$ \tr{converging and}{konvergent und} $\limni (a_n \div b_n) = a \div b$;
\item \textbf{(4)} \trIf $\exists K \geq 1$ \trwith $a_n \leq b_n \smallhspace \forall n \geq K \Rightarrow a \leq b$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{simplebox}
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Weierstrass Theorem}{Der Satz von Weierstrass}}
\shortdef $\seq{a}$ \bi{\tr{monotonically increasing (decreasing)}{monoton wachsend (fallend)}} \tr{if}{falls} $a_n \leq a_{n + 1}$ ($a_n \geq a_{n + 1}$) $\forall n \geq 1$
\compacttheorem{Weierstrass} $\seq{a}$ \tr{monotonically increasing (decreasing) and bounded from above (below) converges to}
{monoton wachsend (sinkend) und nach oben (unten) beschränkt konvergiert gegen} $\limni a_n = \sup\{a_n : n \geq 1\}$ ($\limni a_n = \inf\{a_n : n \geq 1\}$),
\tr{called supremum and infimum respectively}{genannt das Supremum und Infimum}
\setcounter{all}{6}\shortex \smallhspace $\limni \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$
\compactlemma{Bernoulli \tr{Inequality}{Ungleichung}} $(1 + x)^n \geq 1 + n \cdot x \smallhspace \forall n \in \N, x > -1$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Limit Superior and limit inferior}{Limes Superior und Limes Inferior}}
\tr{We define for $\seq{a}$ two monotone sequences}{Für $\seq{a}$ definieren wir zwei monotone Folgen} $b_n = \inf \{ a_k : k \geq n \}$ \tr{and}{und} $c_n = \sup \{ a_k : k \geq n \}$,
\tr{then}{dann ist} $b_n \leq b_{n + 1} \smallhspace \forall n \geq 1$ \tr{and}{und} $c_{n + 1} \leq c_n \smallhspace \forall n \geq 1$, \tr{our series are bounded and converge and we have}{und beide Folgen sind beschränkt. Zudem konvergieren beide und es gilt} $\liminfni a_n := \limni b_n$ \tr{and}{und} $\limsupni a_n := \limni c_n$.
\tr{We also have}{Ausserdem gilt:} $\liminfni a_n \leq \limsupni a_n$.
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Cauchy-Criteria (Convergence Tests)}{Cauchy Kriterium (Konvergenzkriterien)}}
\shortlemma $\seq{a}$ \tr{converges if and only if it is bounded and}{konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist und} $\liminfni a_n = \limsupni a_n$\\
\compacttheorem{\tr{Cauchy-Criteria}{Cauchy Kriterium}} $\seq{a}$ \tr{converging}{konvergent} $\Leftrightarrow \smallhspace \forall \varepsilon > 0 \smallhspace \exists N \geq 1$ \tr{such that}{so dass} $|a_n - a_m| \leq \varepsilon \smallhspace \forall n, m \geq N$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Bolzano-Weierstrass Theorem}{Der Satz von Bolzano-Weierstrass}}
\compactdef{\tr{Closed interval}{Abgeschlossenes Intervall}} \tr{Subset}{Teilmenge} $I \subseteq \R$
\tr{of form as seen below, with length}{der Form wie unten zu sehen und der Länge} $\mathcal{L}(I) = b - a$ (\tr{for}{für} \textit{(1)}) \tr{or}{oder} $\mathcal{L}(I) = +\infty$:
\vspace{-0.8pc}
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[label=\textit{(\arabic*)}]
\item $[a, b]; \smallhspace a \leq b; \smallhspace a, b \in \R$
\item $[a, +\infty[; \smallhspace a \in \R$
\item $]-\infty, a]; \smallhspace a \in \R$
\item $]-\infty, +\infty[ = \R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{-1.3pc}
\tr{An interval $I$ is closed}{Ein Intervall $I$ ist abgeschlossen} $\Leftrightarrow$ \tr{for every converging sequence of elements of $I$ the limit is also in $I$}{Für jede konvergente Folge aus Elementen von $I$ auch deren Grenzwerte in $I$ enthalten sind}
\setcounter{all}{5} \compacttheorem{Cauchy-Cantor} \trLet $I_1 \supseteq \ldots \supseteq I_n \supseteq I_{n + 1} \supseteq \ldots$ \tr{a sequence of closed intervals with}{eine Folge abgeschlossener Intervalle mit} $\mathcal{L}(I_i) < +\infty$.
\tr{Then}{Dann ist} $\bigcap_{n \geq 1}^{\infty} I_n \neq \emptyset$.
\tr{If additionally}{Falls zudem} $\limni \mathcal{L}(I_n) = 0$, \tr{then the set contains exactly one point.}{dann enthält die Menge genau einen Punkt.}
\shorttheorem $\R$ \tr{is not countable}{ist nicht abzählbar}
\compactdef{\tr{Subsequence of}{Teilfolge von} $\seq{a}$} $\seq{b}$ \tr{where}{wobei} $b_n = a_{l(n)}$ \tr{and}{und} $l(n) \leq l(n + 1) \smallhspace \forall n \geq 1$
\shorttheorem \textit{(Bolzano-Weierstrass)} \tr{Every bounded sequence has a convergent subsequence. Also:}{Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Zudem:}
$\displaystyle \liminfni a_n \leq \limni b_n \leq \limsupni a_n$
\vspace{-1pc}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Sequences in other spaces than just real numbers}{Folgen in Räumen ausserhalb der Reellen Zahlen}}
\shortdef \tr{Sequences in}{Folgen in} $\R^d$ \tr{and}{und} $\C$ \tr{are noted the same as in $\R$}{werden gleich wie in $\R$ notiert}\\
\shortdef $\seq{a}$ in $\R^d$ \tr{is \textit{converging} if}{heisst \textit{konvergent} falls} $\exists a \in \R^d$ \tr{such that}{so dass} $\forall \varepsilon > 0 \smallhspace \exists N \geq 1$ \trwith $||a_n - a|| \leq \varepsilon \smallhspace \forall n \geq N$\\
\shorttheorem \trLet $b = (b_1, \ldots, b_n)$ (\tr{coordinates of $b$, since $b$ is a vector}{Koordinaten von $b$, da $b$ ein vektor ist}).
\tr{Then}{Dann ist} $\limni a_n = b \Leftrightarrow \limni a_{n, j} = b_j \smallhspace \forall 1 \leq j \leq d$\\
\setcounter{all}{6}\shorttheorem $\seq{a}$ \tr{converges}{konvergiert} $\Leftrightarrow$ $\seq{a}$ \tr{is a Cauchy-Sequence; Every bounded sequence has a converging subsequence.}{ist eine Cauchy-Folge; Jede beschränkte Folge hat eine konvergierende Teilfolge}
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\newsectionNoPB
\subsection{\tr{Series}{Reihen}}
\compactdef{\tr{Convergence of a series}{Konvergenz}} $\ser{a}{\infty}$ \tr{converges if}{konvergiert falls} $\seq{S}$ (\tr{sequence of partial sums}{Folge von Partialsummen}) \tr{converges, i.e.}{konvergiert, d.h.} $\ser{a}{\infty} := \limni S_n$\\
\compactex{\tr{Geometric Series}{Geometrische Reihe}} \tr{Converges with limit}{Konvergiert gegen} $\frac{1}{1 - q}$, \tr{and}{und} $s_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$
\compactex{\tr{Harmonic Series}{Harmonische Reihe}} $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$ \tr{diverges}{divergiert}\\
\begin{simplebox}[]{ForestGreen}
\shorttheorem \tr{Let}{Seien} $\ser{a}{\infty}$ \tr{and}{und} $\ser{b}{\infty}$ \tr{be converging}{konvergent}, $\alpha \in \C$. \tr{Then}{Dann ist}:
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} (a_k + b_k)$ \tr{converging and}{konvergent und}
$\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} (a_k + b_k) = \left( \sum_{k = 1}^{\infty} a_k \right) + \left( \sum_{k = 1}^{\infty} b_k \right)$
\item $\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} (\alpha \cdot a_k)$ \tr{converging and}{konvergent und}
$\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} (\alpha \cdot a_k) = \alpha \cdot \left( \sum_{k = 1}^{\infty} a_k \right)$
\end{enumerate}
\end{simplebox}
\compacttheorem{\tr{Cauchy-Criteria}{Cauchy Kriterium}} \tr{A series}{Eine Reihe} $\ser{a}{\infty}$ \tr{is converging}{ist konvergent} $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \smallhspace \exists N \geq 1$ \trwith $\left| \sum_{k = n}^{m} a_k \right| \leq \varepsilon \smallhspace \forall m \geq n \geq N$\\
\shorttheorem $\ser{a}{\infty}$ \trwith $a_k \geq 0 \smallhspace \forall k \in \N^*$ \tr{converges}{konvergiert} $\Leftrightarrow \seq{S}, S_n = \ser{a}{n}$ \tr{is bounded from above}{ist nach oben beschränkt}\\
\compactcorollary{\tr{Comparison theorem}{Vergleichssatz}} $\ser{a}{\infty}$ \tr{and}{und} $\ser{a}{\infty}$ \trwith $0 \leq a_k \leq b_k \smallhspace \forall k \geq K$ (\tr{where}{wo} $K \geq 1$), \tr{then}{dann gelten}:\\
\vspace{-0.9pc}
\begin{center}
$\ser{b}{\infty}$ \tr{converging}{konvergent} $\Longrightarrow \ser{a}{\infty}$ \tr{converging}{konvergent} \largehspace $\ser{a}{\infty}$ \tr{diverging}{divergent} $\Longrightarrow \ser{b}{\infty}$ \tr{diverging}{divergent}
\end{center}
\stepcounter{all}
\compactdef{\tr{Absolute convergence}{Absolute Konvergent}} \tr{A series for which}{Eine Reihe für welche} $\sum_{k = 1}^{\infty} |a_k|$ \tr{converges. Using the Cauchy-Criteria we get}{konvergiert. Eine Anwendung des Cauchy Kriteriums liefert}:\\
\shorttheorem \tr{A series converging absolutely is also convergent and}{Eine absolut konvergente Reihe ist auch konvergent und} $\left| \ser{a}{\infty} \right| \leq \sum_{k = 1}^{\infty} |a_k|$
\stepcounter{all}
\fhlc{Cyan}{\tr{Convergence tests}{Konvergenzkriterien}} \largehspace $\sum_{a = 0}^{\infty} \frac{1}{a^p}$ \tr{converges for}{konvergiert für} $n > 1$
\compacttheorem{Leibniz} \trLet $\seq{a}$ \tr{monotonically decreasing with}{monoton fallend mit} $a_n \geq 0 \smallhspace \forall n \geq 1$ \tr{and}{und} $\limni a_n = 0$. \tr{Then}{Dann konvergiert} $S := \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^{k + 1} a_k$ \tr{converges and}{und} $a_1 - a_2 \leq S \leq a_1$\\
\shade{red}{Usage} \tr{To show convergence, prove that}{Um Konvergenz zu zeigen, beweise dass} $\seq{a}$ \tr{is monotonically decreasing}{monoton fallend ist}, $a_n \geq 0$ \tr{and that the limit is $0$}{und dass der Grenzwert $0$ ist}
\setcounter{all}{14}
\compactdef{\tr{Reordering}{Umordnung}} \tr{A series}{Eine Reihe} $\ser{a'}{\infty}$ \tr{for a}{für eine} $\ser{a}{\infty}$ \tr{if there is a bijection}{falls eine Bijektion gibt} $\phi$ \tr{such that}{so dass} $a'_n = a_{\phi(n)}$\\
\stepcounter{all}
\compacttheorem{Dirichlet} \trIf $\ser{a}{\infty}$ \tr{has absolute convergence, every reordering of the series converges to the same limit.}{absolut konvergiert, so konvergiert jede Umordnung der Reihe zum selben Grenzwert.}
\compacttheorem{\tr{Ratio test}{Quotientenkriterium}} \tr{Series $s$ with}{Reihe $s$ mit} $a_n \neq 0 \smallhspace \forall n \geq 1$, $s$ \tr{has absolute convergence if}{konvergiert absolut falls}
$\displaystyle \limsupni \frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|} < 1$. \trIf $\displaystyle \liminfni \frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|} > 1$ \tr{it diverges. If any of the two limits are $1$, the test was inconclusive}{divergiert sie. Falls einer der Grenzwerte gleich $1$ ist, dann war der Test nicht eindeutig.}
\compacttheorem{\tr{Root test}{Wurzelkriterium}} \trIf $\displaystyle \limsupni \sqrt[n]{|a_n|} < 1$ \tr{the series converges. If the limit is larger than one, it diverges}{konvergiert die Folge. Falls der Grenzwert grösser als eins ist, divergiert sie}
\compactcorollary{\tr{Radius of convergence}{Konvergenzradius}} \tr{A power series of form}{Eine Potenzreihe der Form} $\sum_{k = 0}^{\infty} c_k z^k$ \tr{has absolute convergence for all}{konvergiert absolut für alle} $|z| < \rho$ \tr{and diverges for all}{und divergiert für alle} $|z| > \rho$.
\trLet $l = \limsupni \sqrt[k]{|c_k|}$, \tr{then}{dann ist} $\rho = \begin{cases}
+\infty & \text{\trif } l = 0 \\
\frac{1}{l} & \text{\trif } l > 0
\end{cases}$.
\tr{The \textit{radius of convergence} is then given by}{Der \textit{Konvergenzradius} ist dann definiert durch} $\rho$ \trif $\rho \neq \infty$
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
\fhlc{Cyan}{\tr{Double series}{Doppelreihen}}
\setcounter{all}{22} \shortdef \tr{For a double series}{Für eine Doppelreihe} $\sum_{i, j \geq 0}^{\infty} a_{ij}$, $\sum_{k = 0}^{\infty} b_k$ \tr{is a \bi{linear arrangement} if there exists a bijection}{ist eine \bi{lineare Anordnung} falls eine Bijektion} $\sigma$ \tr{s.t.}{existiert s.d.} $b_k = a_{\sigma(k)}$
\begin{simplebox}[]{ForestGreen}
\compacttheorem{Cauchy} \tr{Assume}{Wir nehmen an,} $\exists B \geq 0$ \tr{s.t.}{s.d.} $\displaystyle \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m} |a_{ij}| \leq B \smallhspace \forall m \geq 0$.
\tr{Then}{Dann gilt}: $\displaystyle S_i := \sum_{j = 0}^{\infty}a_{ij} \smallhspace \forall i \geq 0$ \tr{and}{und} $\displaystyle U_j := \sum_{i = 0}^{\infty} a_{ij} \smallhspace j \geq 0$
\tr{have absolute convergence, as well as}{konvergieren absolute, sowie} $\displaystyle \sum_{i = 0}^{\infty} S_i$ \tr{and}{und} $\displaystyle\sum_{j = 0}^{\infty} U_j$
\tr{and we have}{und es gilt}: $\displaystyle \sum_{i = 0}^{\infty} S_i = \sum_{j = 0}^{\infty} U_j$.\\
\tr{Every linear double series has absolute convergence with same limit.}{Jede lineare Anordnung konvergiert absolut mit demselben Grenzwert.}
\end{simplebox}
\compactdef{\tr{Cauchy-Product}{Cauchy Produkt}} $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{j = 0}^{n} a_{n - j}b_j \right) = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) + \dots$ \tr{for two series}{für zwei Folgen} $\displaystyle \sum_{i = 0}^{\infty} a_i, \smallhspace \sum_{j = 0}^{\infty} b_j$
\stepcounter{all}
\shorttheorem \tr{If two series have absolute convergence, their Cauchy-Product converges and it is the terms of the two series expanded.}
{Falls zwei Reihen absolut konvergieren, so knovergiert auch ihr Cauchy Produkt und es besteht aus den ausmultiplizierten Termen der zwei Reihen.}
\shorttheorem \tr{Let $f_n$ be a sequence. We assume that:}{Sei $f_n$ eine Folge. Wir nehmen an, dass:}
\vspace{-0.7pc}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $f(j) := \limni f_n(j)$ \tr{exists}{existiert} $\forall j \in \N$
\item $\exists g$ \tr{s.t.}{s.d.} $|f_n(j)| \leq g(j) \smallhspace \forall j, n \geq 0$ \tr{and}{und} $\sum_{j = 0}^{\infty} g(j)$ \tr{converges}{konvergiert}
\end{itemize}
\tr{Then}{Dann folgt} $\displaystyle\sum_{j = 0}^{\infty} f(j) = \limni \sum_{j = 0}^{\infty} f_n(j)$
\end{multicols}
\vspace{-0.7pc}
\shortcorollary \tr{For every}{Für jedes} $z \in \C$ \tr{we have}{konvergiert die Folge und es gilt} $\displaystyle \limni \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n = \exp(z)$ \tr{and it converges, where}{wo} $\exp(z) := 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots$

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\newsection
\section{\tr{Table of derivatives and Antiderivatives}{Tabelle von Ableitungen und Stammfunktionen}}
\begin{multicols}{2}
\begin{tables}{lll}{\tr{Antiderivative}{Stammfunktion} & \tr{Function}{Funktion} & \tr{Derivative}{Ableitung}}
$\displaystyle \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ & $x^n$ & $n \cdot x^{n - 1}$ \\
$\ln|x|$ & $\displaystyle \frac{1}{x} = x^{-1}$ & $\displaystyle -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ \\[0.2cm]
$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ & $\displaystyle \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ & $\displaystyle \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$ \\[0.3cm]
$\frac{n}{n + 1} x^{\frac{1}{n} + 1}$ & $\displaystyle \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$ & $\frac{1}{n} x^{\frac{1}{n} - 1}$ \\[0.3cm]
\hline \\[-0.2cm]
$e^x$ & $e^x$ & $e^x$ \\
$\exp(x)$ & $\exp(x)$ & $\exp(x)$ \\
$\frac{1}{a \cdot (n + 1)}(ax + b)^{n + 1}$ & $(ax + b)^n$ & $n\cdot (ax + b)^{n - 1} \cdot a$ \\
$x \cdot (\ln|x| - 1)$ & $\ln(x)$ & $\frac{1}{x} = x^{-1}$ \\
$\displaystyle \frac{1}{\ln(a)}\cdot a^x$ & $a^x$ & $a^x \cdot \ln(a)$ \\
$\frac{x}{\ln(a)} \cdot (\ln|x| - 1)$ & $\log_a|x|$ & $\displaystyle \frac{1}{x \cdot \ln(a)}$ \\[0.3cm]
\hline \\[-0.2cm]
$-\cos(x)$ & $\sin(x)$ & $\cos(x)$ \\
$\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $-\sin(x)$ \\
$-\ln|\cos(x)|$ & $\tan(x)$ & $\displaystyle \frac{1}{\cos^2(x)}$ \\[0.3cm]
$x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2}$ & $\arcsin(x)$ & $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\
$x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2}$ & $\arccos(x)$ & $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\
$\displaystyle x \cdot \arctan(x) - \frac{\ln(x^2 + 1)}{2}$ & $\arctan(x)$ & $\displaystyle \frac{1}{x^2 + 1}$ \\[0.2cm]
$\ln|\sin(x)|$ & $\cot(x)$ & $\displaystyle -\frac{1}{\sin^2(x)}$ \\
$\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ \\
$\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ \\
$\ln|\cosh(x)|$ & $\tanh(x)$ & $\displaystyle \frac{1}{\cosh^2(x)}$ \\
& $\arcsinh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ \\
& $\arccosh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ \\
& $\arctanh(x)$ & $\frac{1}{1 - x^2}$ \\
\end{tables}
\shade{teal}{\tr{Logarithms}{Logarithmen}}\\
\textit{(\tr{Change of base}{Basiswechsel})} $\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$
\textit{(\tr{Powers}{Potenzen})} $\log_a(x^y) = y\log_a(x)$
\textit{(Div, Mul)} $\log_a(x \cdot (\div) y) = \log_a(x) +(-) \log_a(y)$\\
$\log_a(1) = 0 \smallhspace \forall a \in \N$
\shade{teal}{\tr{Integration by parts}{Partielle Integration}}
\tr{Should we get unavoidable cycle, where we have to integrate the same thing again, we may simply add the integral to both sides, and we thus have $2$ times the integral on the left side and then finish the integration by parts on the right hand side and in the end divide by the factor up front to get the result}
{Sollte sich ein unvermeidbarer Zyklus, wo wir immer wieder denselben Integral erhalten, bilden, können wir einfach das Integral zu beiden Seiten addieren und erhalten so $2$ mal das Integral auf der linken Seite und können dann die partielle Integration auf der rechten Seite abschliessen und schliesslich durch den Faktor auf der linken Seite dividieren, um das Resultat zu erhalten}.
\shade{teal}{\tr{Inverse hyperbolic functions}{Umkehrfunktion der Hyperbelfunktionen}}
\vspace{-0.5pc}
\begin{itemize}
\item $\arcsinh(x) = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$
\item $\arccosh(x) = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$
\item $\arctanh(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$
\end{itemize}
\shade{teal}{\tr{Complement trick}{Komplement-Trick}}
$\sqrt{ax + b} - \sqrt{cx + d} = \frac{ax + b - (cx + d)}{\sqrt{ax +b} + \sqrt{cx + d}}$
\shade{teal}{\tr{Values of trigonometric functions}{Werte der trigonometrischen Funktionen}}
\begin{tables}{ccccc}{° & rad & $\sin(\xi)$ & $\cos(\xi)$ & $\tan(\xi)$}
0° & $0$ & $0$ & $1$ & $1$ \\
\hline
30° & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \\
\hline
45° & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $1$ \\
\hline
60° & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $\frac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$ \\
\hline
90° & $\frac{\pi}{2}$ & $1$ & $0$ & $\varnothing$ \\
\hline
120° & $\frac{2\pi}{3}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $-\frac{1}{2}$ & $-\sqrt{3}$ \\
\hline
135° & $\frac{3\pi}{4}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $-1$ \\
\hline
150° & $\frac{5\pi}{6}$ & $\frac{1}{2}$ & $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ \\
\hline
180° & $\pi$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\
\end{tables}
\end{multicols}
\vspace{3mm}
\hrule
\begin{multicols}{2}
\shade{teal}{\tr{Trigonometrie}{Trigonometrie}}
$\cot(\xi) = \displaystyle\frac{\cos(\xi)}{\sin(\xi)}, \tan(\xi) = \frac{\sin(\xi)}{\cos(\xi)}$
$\sinh(x) := \frac{e^x - e^{-x}}{2} : \R \rightarrow \R$,
$\cosh(x) := \frac{e^x + e^{-x}}{2} : \R \rightarrow [1, \infty]$,
$\cosh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} : \R \rightarrow [-1, 1]$
\begin{enumerate}
\item $\cos(x) = \cos(-x)$ \trand $\sin(-x) = -\sin(x)$
\item $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$ \trand $\sin(\pi - x) \sin(x)$
\item $\sin(x + w) = \sin(x) \cos(w) + \cos(x) \sin(w)$
\item $\cos(x + w) = \cos(x) \cos(w) - \sin(x) \sin(w)$
\item $\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1$
\item $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$
\item $\cos(2x) = \cos(x)^2 - \sin(x)^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\hrule
\shade{teal}{\tr{Further derivatives}{Weitere Ableitungen}}
\begin{multicols}{2}
\begin{tables}{cc}{$F(x)$ & $f(x)$}
$\frac{1}{a} \ln|ax + b|$ & $\frac{1}{ax + b}$ \\
$\frac{ax}{c} - \frac{ad - bc}{c^2} \ln|cx + d|$ & $\frac{a (cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2}$ \\
$\frac{x}{2} f(x) + \frac{a^2}{2} \ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{a^2 + x^2}$ \\
$\frac{x}{2} f(x) - \frac{a^2}{2} \arcsin\left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\sqrt{a^2 - x^2}$ \\
$\frac{x}{2} f(x) - \frac{a^2}{2} \ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{x^2 - a^2}$ \\
$\ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$\\
$\arcsin \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$\\
$\frac{1}{a}\arctan \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{a^2 - x^2}$\\
\end{tables}
\begin{tables}{cc}{$F(x)$ & $f(x)$}
$-\frac{1}{a} \cos(ax + b)$ & $\sin(ax + b)$\\
$\frac{1}{a} \sin(ax + b)$ & $\cos(ax + b)$\\[1mm]
\hline
$x^x$ & $x^x \cdot (1 + \ln|x|)$\\
$(x^x)^x$ & $(x^x)^x \cdot (x + 2x\ln|x|)$\\
$x^{(x^x)}$ & $x^{(x^x)} \cdot (x^{x - 1} + \ln|x| \cdot x^x (1 + \ln|x|))$\\
\hline\\[-3mm]
$\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2} \sin(2x))$ & $\sin(x)^2$\\[1mm]
$\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2} \sin(2x))$ & $\cos(x)^2$\\
\end{tables}
\end{multicols}