eth-janishutz/eth-summaries
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[NumCS] ++ Fourier chapter

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semester3/numcs/numcs-summary.pdf
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1
semester3/numcs/numcs-summary.tex
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@@ -67,6 +67,7 @@
\input{parts/interpolation.tex} \input{parts/interpolation.tex}
\input{parts/fourier.tex}
\end{document} \end{document}

6
semester3/numcs/parts/fourier.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,6 @@
\newsection
\section{Trigonometrische Interpolation}
Lecture: Wir besitzen nicht das komplette Vorwissen in der Analysis für dieses Kapitel, d.h. wird totales Verständnis nicht
Lecture: Intuitiv wird Fourier-Trans. zur Kompression genutzt, z.b. jpg format.

15
semester3/numcs/parts/interpolation.tex
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@@ -1,5 +1,5 @@
\newsection \newsection
\section{Interpolation} \section{Polynomiale Interpolation}
Bei der Interpolation versuchen wir eine Funktion $\tilde{f}$ durch eine Menge an Datenpunkten einer Funktion $f$ zu finden.\\ Bei der Interpolation versuchen wir eine Funktion $\tilde{f}$ durch eine Menge an Datenpunkten einer Funktion $f$ zu finden.\\
Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelten soll. (Interpolationsbedingung) Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelten soll. (Interpolationsbedingung)
@@ -13,8 +13,6 @@ $$
Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. macht es Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist. Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. macht es Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist.
\subsection{Polynomiale Interpolation}
Die informelle Problemstellung oben lässt sich durch Vektorräume formalisieren: Die informelle Problemstellung oben lässt sich durch Vektorräume formalisieren:
$f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist. \\ $f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist. \\
@@ -38,7 +36,7 @@ Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $
\fancytheorem{Eigensch. von $\mathcal{P}_k$} $\mathcal{P}_k$ ist ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{P}_k) = k+1$. \fancytheorem{Eigensch. von $\mathcal{P}_k$} $\mathcal{P}_k$ ist ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{P}_k) = k+1$.
\subsection{per Monombasis} \subsection{Monombasis}
\fancytheorem{Eindeutigkeit} $p(x) \in \mathcal(P)_k$ ist durch $k+1$ Punkte $y_i = p(x_i)$ eindeutig bestimmt. \fancytheorem{Eindeutigkeit} $p(x) \in \mathcal(P)_k$ ist durch $k+1$ Punkte $y_i = p(x_i)$ eindeutig bestimmt.
@@ -78,3 +76,12 @@ Zur Auswertung von $p(x)$ kann man direkt die Matrix-darstellung nutzen, oder ef
\fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus. \fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus.
\subsection{Newton Basis} \subsection{Newton Basis}
\subsection{Baryzentrische Formel}
\subsection{Chebychev Interpolation}
Lecture: Orthogonalität ist eine wichtige Eigenschaft: Siehe Lecture notes (handgeschr.) für Veranschaulichung. \\
$\rightarrow$ Orth. liefert die Koeff. ohne Rechenaufwand.
Lecture: Clenshaw-Alg. relativ zentral (Taschenrechner nutzen diesen intern)