diff --git a/semester3/numcs/numcs-summary.pdf b/semester3/numcs/numcs-summary.pdf index 077ae66..49b81c1 100644 Binary files a/semester3/numcs/numcs-summary.pdf and b/semester3/numcs/numcs-summary.pdf differ diff --git a/semester3/numcs/numcs-summary.tex b/semester3/numcs/numcs-summary.tex index 3c7be3b..195c2e3 100644 --- a/semester3/numcs/numcs-summary.tex +++ b/semester3/numcs/numcs-summary.tex @@ -144,4 +144,11 @@ Moral of the story: Use descriptive variable names and do NOT use $t$, $tt$, $tt \input{parts/02_quadrature/06_reduction-of-variance.tex} +% ── Nullstellen ───────────────────────────────────────────────────── +\newsection +\section{Nullstellensuche} +\input{parts/03_zeros/00_intro.tex} + + + \end{document} diff --git a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/03_adaptive.tex b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/03_adaptive.tex index bfea3cf..77acd2b 100644 --- a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/03_adaptive.tex +++ b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/03_adaptive.tex @@ -1,3 +1,7 @@ +% ┌ ┐ +% │ AUTHOR: Janis Hutz │ +% └ ┘ + \newsection \subsection{Adaptive Quadratur} Der lokale Fehler einer zusammengesetzten Quadraturformel auf dem Gitter $\mathcal{M} := \{ a = x_0 < x_1 < \dots < x_m = b \}$ ist (für $f \in C^2([a, b])$): diff --git a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/04_in-rd.tex b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/04_in-rd.tex index 4810a2c..020d123 100644 --- a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/04_in-rd.tex +++ b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/04_in-rd.tex @@ -1,3 +1,7 @@ +% ┌ ┐ +% │ AUTHOR: Janis Hutz │ +% └ ┘ + \newsectionNoPB \subsection{Quadratur in $\R^d$ und dünne Gitter} Eine einfache Option wäre natürlich, zwei eindimensionale Quadraturformeln aneinander zu hängen. diff --git a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/05_monte-carlo.tex b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/05_monte-carlo.tex index e4700af..eead1fa 100644 --- a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/05_monte-carlo.tex +++ b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/05_monte-carlo.tex @@ -1,3 +1,7 @@ +% ┌ ┐ +% │ AUTHOR: Janis Hutz │ +% └ ┘ + \newsection \newcommand{\tsigma}{\tilde{\sigma}} \subsection{Monte-Carlo Quadratur} diff --git a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/06_reduction-of-variance.tex b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/06_reduction-of-variance.tex index ccba90f..49f0fe6 100644 --- a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/06_reduction-of-variance.tex +++ b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/06_reduction-of-variance.tex @@ -1,3 +1,7 @@ +% ┌ ┐ +% │ AUTHOR: Janis Hutz │ +% └ ┘ + \newsection \subsection{Methoden zur Reduktion der Varianz} % NOTE: Mostly from TA slides, as the script is quite convoluted there diff --git a/semester3/numcs/parts/03_zeros/00_intro.tex b/semester3/numcs/parts/03_zeros/00_intro.tex new file mode 100644 index 0000000..8a78aaf --- /dev/null +++ b/semester3/numcs/parts/03_zeros/00_intro.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% ┌ ┐ +% │ AUTHOR: Janis Hutz │ +% └ ┘ + +\subsection{Iterative Verfahren} +\inlinedef Ein iteratives Verfahren ist ein Algorithmus $\phi_F$, der die Folge $x^{(0)}, x^{(1)}, \ldots$ von approximativen Lösungen $x^{(j)}$ generiert. +Die Definition ist dabei rekursiv: $x^{(k)} := \phi_F(x^{(k - 1)})$, sofern $x^{(0)}$ und $\phi$ gegeben sind. + +\setLabelNumber{all}{5} +\fancydef{Konvergenz} $\phi_F$ zur Lösung $F(x^*) = 0$ konvergiert, wenn $x^{(k)} \rightarrow x^*$, mit $x^*$ der gesuchte Wert. + +\setLabelNumber{all}{8} +\fancydef{Norm} + +\innumpy haben wir \texttt{numpy.linalg.norm}, welches zwei Argumente nimmt. Dabei ist das erste Argument der Vektor und das Zweite die Art der Norm. +Ohne zweites Argument wird die Euklidische Norm $||x||_2$, mit Argument $1$ wird die $1$-Norm $||x||_1 := |x_1| + \ldots + |x_n|$ +und mit mit \texttt{inf} als Argument wird die $\infty$-Norm, bzw die Max-Norm $||x||_\infty := \max\{ |x_1|, \ldots, |x_n| \}$ berechnet. + +\stepLabelNumber{all} +\inlinedef Zwei Normen $||\cdot||_1$ und $||\cdot||_2$ sind äquivalent auf $\cV$, falls es Konstanten $\underline{C}$ und $\overline{C}$ gibt so dass +\rmvspace +\begin{align*} + \underline{C} \cdot ||v||_1 \leq ||v||_2 \leq \overline{C} \cdot ||v||_1 \mediumhspace \forall v \in \cV, \text{ mit } \cV \text{ ein linearer Raum} +\end{align*} + +\drmvspace +\inlinetheorem Falls $\dim(\cV) < \infty$, dann sind alle Normen auf $\cV$ äquivalent + +\stepLabelNumber{all} +\fancydef{Lineare Konvergenz} $x^{(k)}$ konvergiert linear gegen $x^*$, falls es ein $L < 1$ gibt, so dass +\rmvspace +\begin{align*} + ||x^{(k + 1)} - x^*|| \leq L||x^{(k)} - x^*|| \smallhspace \forall k \geq k_0, \smallhspace L \text{ gennant Konvergenzrate } +\end{align*} + +\drmvspace\stepLabelNumber{all} +\fancydef{Konvergenzordnung} $p$ für das Verfahren, falls es ein $C > 0$ gibt, so dass +\rmvspace +\begin{align*} + ||x^{(k + 1)} - x^*|| \leq C||x^{(k)} - x^*||^p \smallhspace \forall k \in \N \text{ mit } C < 1 \text{ für } p = 1 +\end{align*} + +\drmvspace +Wir nehmen dabei an, dass $||x^{(0)} - x^*|| < 1$, damit wir eine konvergente Folge haben. + +\numberingOff +\inlineremark Eine höhere Konvergenzordnung ist in Lin-Log-Skala an einer gekrümmten Konvergenzkurve erkennbar. +\numberingOn