[PS] Random variables

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex

@@ -8,7 +8,6 @@
     \item $B$ Ereignis, dann $\P[A \cup B] = \P[A] + \P[B] - \P[A \cap B]$
 \end{enumerate}
 
-\newpage
 \subsubsection{Nützliche Ungleichungen}
 \shorttheorem[Monot.] $A, B \in \cF$, dann $A \subseteq B \Rightarrow \P[A] \leq \P[B]$
 
@@ -18,6 +17,7 @@ Auch für endl. n.-leere Ereignisse
 \stepLabelNumber{combined}
 
 
+\newpage
 \subsubsection{Anwendungen der Ungleichungen}
 Sie sind nützlich für schwer zu berechnende W.
 

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_definition.tex

@@ -1,8 +1,6 @@
+% P22
 \subsection{Abstrakte Definition}
 \shortdefinition[Zufallsvariable] kurz Z.V, ist $\cX : \Omega \rightarrow \R$, sodass $\forall a \in \R$ gilt:
 $f = \{ \omega \in \Omega \divider \cX(\omega) \leq a \} \in \cF$ (notwendinge Bedingung für Wohldefiniertheit von $\P[f]$)
 
 \inlinenotation Ohne $\omega$: $\{ X \leq a \} = \{ \omega \in \Omega \divider X(\omega) \leq a \}$, etc
-
-\subsection{Verteilungsfunktion}
-\shortdefinition $F_\cX : \R \rightarrow [0, 1]$, def: $\forall a \in \R \quad F_\cX(a) = \P[\cX \leq a]$

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/01_distribution-function.tex

@@ -0,0 +1,12 @@
+% P23
+\subsection{Verteilungsfunktion}
+\shortdefinition $F_\cX : \R \rightarrow [0, 1]$, def: $\forall a \in \R \quad F_\cX(a) = \P[\cX \leq a]$
+
+\shorttheorem $a < b \in \R$. Dann: $\P[a < X \leq b] = F(b) - F(a)$
+
+\shorttheorem $\cX$ Z.V. auf $(\Omega, \cF, \P)$ und V.F. $F = F_\cX$. Eig.:
+\begin{enumerate}
+    \item $F$ ist monoton wachsend
+    \item $F$ ist rechtsseitig ($F(a) = \lim_{h \downarrow 0} F(a + h) \; \forall a \in \R$)
+    \item $\limit{a}{-\8} F(a) = 0$ und $\limit{a}{\8} F(a) = 1$
+\end{enumerate}

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/02_independence.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+% P26
+\subsection{Unabhängigkeit}
+\shortdefinition Z.V. $\cX_1, \ldots, \cX_n$ sind \bi{unabh.} falls
+$\forall x_1, \ldots, x_n \in \R$ $\P[\cX_1 \leq x_1, \ldots, \cX_n \leq x_n] = \P[\cX_1 \leq x_1] \cdots \P[\cX_n \leq x_n]$
+
+\shortremark Alternativ: ZVs unabhängig, falls $\forall I_1 \subseteq \R, \ldots, I_n \subseteq \R$ Intervalle
+$\{ \cX_1 \in I_1 \}, \ldots, \{ \cX_n \in I_n \}$ unabhängig
+
+
+\subsubsection{Gruppierung}
+\shorttheorem $n$ ZV $\cX_i$ und $1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n$ sind indizes und $\phi_1, \ldots, \phi_k$ Abbildungen. Dann sind unabhängig:\\
+$Y_1 = \phi_1(\cX_1, \ldots, \cX_{i_1}), \ldots, Y_k = \phi_k(X_{i_{k - 1} + 1}, \ldots, X_{i_k})$
+
+\subsubsection{Unabhängig identisch verteilte ZV}
+\shortdefinition Eine Folge von ZV ist \bi{(1)} unabh. falls $X_i$ unabh. sind und \bi{(2)} uiv, falls unabh. und die ZV dieselbe Verteilungsf. haben, also:
+$\forall i, j \quad F_{\cX_i} = F_{\cX_j}$

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/03_transformations.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+% P27
+\subsection{Transformation von Zufallsvariablen}
+Da ZV Funk. $\Omega \rightarrow \R$ sind, mit komposition neue ZV aus and. ZV, bspw:
+$Z_1 = \exp(\cX_1)$ oder $Z_2 = \cX_1 + \cX_2$

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/04_construction.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+% P28
+\subsection{Konstruktion von Zufallsvariablen}
+\shortdefinition[Bernoulli ZV] mit param. $p \in [0, 1]$ falls $\P[\cX = 0] = 1 - p$ und $\P[\cX = 1] = p$.
+Wir schreiben: $\cX \sim \text{Ber}(p)$
+
+\shorttheorem[$\exists$-T v. Kolmogorov]

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/00_continuity-of-pdf.tex

@@ -0,0 +1 @@
+% P34

semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex

@@ -27,7 +27,15 @@
 \newsection
 \section{Zufallsvar., Verteilungsfunktionen}
 \input{parts/01_random-variables/00_definition.tex}
-% \input{parts/01_random-variables/}
+\input{parts/01_random-variables/01_distribution-function.tex}
+\input{parts/01_random-variables/02_independence.tex}
+\input{parts/01_random-variables/03_transformations.tex}
+\input{parts/01_random-variables/04_construction.tex}
+
+\newsectionNoPB
+\section{Diskrete und stetige ZV}
+\input{parts/02_discrete-continuous-rv/00_continuity-of-pdf.tex}
+% \input{parts/02_discrete-continuous-rv/}
 
 
 \end{document}