diff --git a/semester4/ps/ps-rb/main.pdf b/semester4/ps/ps-rb/main.pdf index c383e35..daa7f8d 100644 Binary files a/semester4/ps/ps-rb/main.pdf and b/semester4/ps/ps-rb/main.pdf differ diff --git a/semester4/ps/ps-rb/main.tex b/semester4/ps/ps-rb/main.tex index 75c5b5f..dcf6e8d 100644 --- a/semester4/ps/ps-rb/main.tex +++ b/semester4/ps/ps-rb/main.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \date{HS 2026} \begin{document} -\subtext{Basiert auf dem Skript von V. Tassion} +\subtext{Basiert auf dem Skript von V. Tassion, Slides von E.W. Farkas (FS26)} \input{parts/00_prereq.tex} \newpage @@ -19,20 +19,30 @@ \section{Zufallsvariablen} \input{parts/02_variables.tex} -\newpage -\section{Erwartungswert} -\input{parts/03_expectation.tex} - \newpage \section{Gemeinsame Verteilungen} \input{parts/04_joint-distributions.tex} \newpage +\section{Erwartungswert} +\input{parts/03_expectation.tex} + +\newpage + +\section{Ungleichungen} +\input{parts/05_inequalities.tex} + +\newpage + \section{Grenzwertsätze} -\input{parts/05_limits.tex} +\input{parts/06_limits.tex} \newpage \section{Statistik} -\input{parts/06_stats.tex} +\input{parts/07_stats.tex} + +\newpage +\section{Tabellen} +\input{parts/08_tables.tex} \end{document} diff --git a/semester4/ps/ps-rb/parts/03_expectation.tex b/semester4/ps/ps-rb/parts/03_expectation.tex index 5bf26b2..bd85258 100644 --- a/semester4/ps/ps-rb/parts/03_expectation.tex +++ b/semester4/ps/ps-rb/parts/03_expectation.tex @@ -1,3 +1,5 @@ +\subsection{Allgemeiner Erwartungswert} + \definition \textbf{Erwartungswert} (nicht-negativ) $$ \E[X] = \int_{0}^{\infty} \biggl( 1-F_X(x) \biggr)\ dx @@ -11,59 +13,36 @@ $$ \theorem $\forall \omega \in \Omega: X(\omega) \geq 0 \implies \E[X] \geq 0$\\ \subtext{Gleichheit: $\E[X] = 0 \iff X=0$, fast sicher} -\definition \textbf{Erwartungswert} -$$ - \E[X] = \E[X_+] - \E[X_-] \quad\text{falls}\quad \E[|X|]<\infty -$$ -{\scriptsize - \remark $X$ kein konst. Vorzeichen, nicht $\E[|X|] < \infty $: $\E[X]$ undefiniert -} +% Sollte nicht relevant sein -\subsection{Diskreter Erwartungswert} +% \definition \textbf{Erwartungswert} +% $$ +% \E[X] = \E[X_+] - \E[X_-] \quad\text{falls}\quad \E[|X|]<\infty +% $$ +% {\scriptsize +% \remark $X$ kein konst. Vorzeichen, nicht $\E[|X|] < \infty $: $\E[X]$ undefiniert +% } -\theorem \textbf{Diskreter Erwartungswert} +\theorem \textbf{Diskreter Erwartungswert}\\ +\subtext{$X: \Omega \to \R,\quad W \cleq \N,\quad \phi: \R \to \R$} $$ \E\bigl[ \phi(X) \bigr] = \sum_{w \in W} \phi(x) \cdot \P[X = x] $$ -\subtext{$X: \Omega \to \R,\quad W \cleq \N,\quad \phi: \R \to \R$} -\begin{center} - \begin{tabular}{l|l|l} - $\text{Ber}(p)$ & $\E[X] = p$ & $\V[X] = p(1-p)$\\ - $\text{Poisson}(\lambda)$ & $\E[X] = \lambda$ & $\V[X] = \lambda$\\ - $\text{Bin}(n,p)$ & $\E[X] = n\cdot p$ & $\V[X] = np(1-p)$\\ - $\mathbb{I}_A$ & $\E[\mathbb{I}_A] = \P[A]$ \\ - $\exp(\lambda)$ & $\E[X] = \frac{1}{\lambda}$ \\ - $\mathcal{U}([a,b])$ & $\E[X] = \frac{a+b}{2}$ - \end{tabular} -\end{center} - -\newpage -\subsection{Stetiger Erwartungswert} - -\definition \textbf{Erwartungswert} (stetig) +\definition \textbf{Erwartungswert} (stetig)\\ +\subtext{$X: \Omega \to \R,\quad f(x) \text{ Dichtefunktion}$} $$ \E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\ dx $$ -\subtext{$X: \Omega \to \R,\quad f(x) \text{ Dichtefunktion}$} -\theorem \textbf{Linearität} -\begin{align*} - \text{(i)} &\quad \E[\lambda X] &=& \lambda \E[X] \\ - \text{(ii)} &\quad \E[X + Y] &=& \E[X] + \E[Y] -\end{align*} +\theorem \textbf{Eigenschaften}\\ \subtext{$X,Y:\Omega\to\R,\quad\lambda\in\R$} - -\theorem \textbf{Monotonie} -$$ - X \leq Y \implies \E[X] \leq \E[Y] -$$ - -\theorem \textbf{Multiplikation}\\ -\smalltext{$X,Y$ unabhängig} -$$ - \E[X \cdot Y] = \E[X]\cdot\E[Y] -$$ +\begin{align*} + \text{(i)} &\quad \E[\lambda X] &=& \lambda \E[X] \\ + \text{(ii)} &\quad \E[X + Y] &=& \E[X] + \E[Y] \\ + \text{(iii)} &\quad X \leq Y &\implies& \E[X] \leq \E[Y] \\ + \text{(iv)} &\quad X \perp Y &\implies& \E[X\cdot Y] = \E[X]\cdot\E[Y] +\end{align*} \theorem \textbf{Dichtefunktion bei Abbildungen}\\ \smalltext{$\phi:\R\to\R$ stückweise stetig, beschränkt} @@ -79,36 +58,6 @@ $$ $$ \subtext{Auch verallgemeinert für $X_1,\ldots,X_n$, $\phi_1,\ldots,\phi_n$} -\newpage -\subsection{Ungleichungen} - -\theorem \textbf{Markov}\\ -\smalltext{$X \geq 0,\quad g: X(\Omega)\to[0,\infty)$ wachsend} -$$ - \forall c \in \R \text{ s.d. } g(c)>0:\qquad \P[X \geq c] \leq \frac{\E[g(X)]}{g(c)} -$$ - -\theorem \textbf{Jensen}\\ -\smalltext{$\phi:\R\to\R$ konvex,$\quad \E[\phi(X)],\E[X]$ wohldefiniert} -$$ - \phi\Bigl(\E[X]\Bigr)\leq\E\Bigl[\phi(X)\Bigr] -$$ - -\lemma \textbf{Dreiecksungleichung}\\ -\subtext{Jensen mit $\phi(X) = |X|$ und $\phi(X) = X^2$} -$$ - \Bigl\vert\E[X]\Bigr\vert\leq\E\Bigl[\vert X\vert\Bigr] \qquad \E[|X|] \leq \sqrt{\E[X^2]} -$$ - -\theorem \textbf{Chebychev}\\ -\subtext{$Y$ s.d. $\V[Y] < \infty,\quad c>0$} -$$ - \P\Bigl[ |Y-\E[Y]| \geq c \Bigr] \leq \frac{\V[Y]}{c^2} -$$ - -\theorem \textbf{Chernoff} -% Slides, ende von ZGS - \newpage \subsection{Varianz} diff --git a/semester4/ps/ps-rb/parts/04_joint-distributions.tex b/semester4/ps/ps-rb/parts/04_joint-distributions.tex index 0790506..3ce2bbd 100644 --- a/semester4/ps/ps-rb/parts/04_joint-distributions.tex +++ b/semester4/ps/ps-rb/parts/04_joint-distributions.tex @@ -22,8 +22,6 @@ $$ {\footnotesize \remark Nicht umgekehrt: Aus den Randverteilungen lässt sich nichts über die gem. Vert. schliessen. } - -\newpage \subsection{Gemeinsame Stetige Verteilung} \definition \textbf{Gemeinsame Stetige Verteilung}\\ @@ -33,6 +31,8 @@ $$ $$ \subtext{$f$ heisst \textit{gemeinsame Dichte} von $(X_1,\ldots,X_n)$} +\newpage + \theorem $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(x_1,\ldots,x_n)\ dx_n\ dx_1 = 1$\\ \subtext{Umgekehrt existiert für jedes solches $f$ ein Raum $(\Omega, \F, \P)$} diff --git a/semester4/ps/ps-rb/parts/05_inequalities.tex b/semester4/ps/ps-rb/parts/05_inequalities.tex new file mode 100644 index 0000000..6286332 --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-rb/parts/05_inequalities.tex @@ -0,0 +1,26 @@ +\theorem \textbf{Markov}\\ +\smalltext{$X \geq 0,\quad g: X(\Omega)\to[0,\infty)$ wachsend} +$$ + \forall c \in \R \text{ s.d. } g(c)>0:\qquad \P[X \geq c] \leq \frac{\E[g(X)]}{g(c)} +$$ + +\theorem \textbf{Jensen}\\ +\smalltext{$\phi:\R\to\R$ konvex,$\quad \E[\phi(X)],\E[X]$ wohldefiniert} +$$ + \phi\Bigl(\E[X]\Bigr)\leq\E\Bigl[\phi(X)\Bigr] +$$ + +\lemma \textbf{Dreiecksungleichung}\\ +\subtext{Jensen mit $\phi(X) = |X|$ und $\phi(X) = X^2$} +$$ + \Bigl\vert\E[X]\Bigr\vert\leq\E\Bigl[\vert X\vert\Bigr] \qquad \E[|X|] \leq \sqrt{\E[X^2]} +$$ + +\theorem \textbf{Chebychev}\\ +\subtext{$Y$ s.d. $\V[Y] < \infty,\quad c>0$} +$$ + \P\Bigl[ |Y-\E[Y]| \geq c \Bigr] \leq \frac{\V[Y]}{c^2} +$$ + +\theorem \textbf{Chernoff} +% Slides, ende von ZGS \ No newline at end of file diff --git a/semester4/ps/ps-rb/parts/05_limits.tex b/semester4/ps/ps-rb/parts/06_limits.tex similarity index 100% rename from semester4/ps/ps-rb/parts/05_limits.tex rename to semester4/ps/ps-rb/parts/06_limits.tex diff --git a/semester4/ps/ps-rb/parts/06_stats.tex b/semester4/ps/ps-rb/parts/06_stats.tex deleted file mode 100644 index 24aa4c7..0000000 --- a/semester4/ps/ps-rb/parts/06_stats.tex +++ /dev/null @@ -1,25 +0,0 @@ -\notation \textbf{Daten} $\{x_i\}_{i=1}^n$\\ -\subtext{Klein, in Abgrenzung zu Zufallsvariablen $X_i$} - -\notation \textbf{Parameter} $\vartheta \in \Theta$\\ -\subtext{Unbekannt, definiert den stoch. Prozess $\P_\vartheta$, dimension undefiniert} - -\definition \textbf{Schätzer} -$$ - T_l = t_l\Bigl( X_1,\ldots,X_n \Bigr) -$$ -\smalltext{$t_l$ heisst Schätzfunktion, eine Auswertung $T_l(\omega)$ heisst Schätzwert} - -\definition \textbf{Erwartungstreu} -$$ - T \text{ Erwartungstreu } \iffdef \forall \vartheta \in \Theta:\quad \E_\vartheta\bigl[ T \bigr] = \vartheta -$$ - -\definition \textbf{Bias} $\quad\E_\vartheta[T] - \vartheta$ - -\definition \textbf{MSE} $\quad\text{MSE}_\vartheta[T] = \E_\vartheta\bigl[ (T-\vartheta)^2 \bigr]$ - -% def Schätzerfolgen / konsistent - -% bmk 7.7: zerlegung MSE - diff --git a/semester4/ps/ps-rb/parts/07_stats.tex b/semester4/ps/ps-rb/parts/07_stats.tex new file mode 100644 index 0000000..6c9f04c --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-rb/parts/07_stats.tex @@ -0,0 +1,180 @@ +Wir betrachten Daten $\{x_i\}_{i=1}^n$ als Realisierung von unbekannten Zufallsvariablen $X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega)$. +Ziel ist es, die Verteilung von $X_1,\ldots,X_n$ zu finden durch Modellierung. + +Man wählt hierzu eine Famile $(\Omega, \mathcal F, \P_\vartheta)_{\vartheta\in\Theta}$ wobei $(\Omega, \mathcal F)$ +fix ist und $\P_\vartheta$ variabel z.B. $\P_\vartheta = \mathcal{N}(\vartheta_1, \vartheta_2)$ (Modell) und versucht ein optimales $\vartheta$ bzw. $\P_\vartheta$ zu finden. + +\textbf{Statistisches Vorgehen} +\begin{enumerate} + \item Datenbeschreibung, intuitives Verständnis von $\{x_i\}_{i=1}^n$ + \item Definition von $\Theta$ und $(\P_\vartheta)_{\vartheta\in\Theta}$ + \item Schätzer nutzen für $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto\vartheta\in\Theta$ + \item Überprüfung von $\vartheta$ via statistischem Test + \item Alternativ: Konfidenzbereich über $\Theta$ finden +\end{enumerate} + +\subsection{Schätzer} + +\definition \textbf{Schätzer} \subtext{(Estimator)} +$$ + T_l = t_l\Bigl( X_1,\ldots,X_n \Bigr) \mapsto \vartheta_l \in (\vartheta_1,\ldots,\vartheta_m) +$$ +\smalltext{$t_l$ heisst \textit{Schätzfunktion}, eine Auswertung $T_l(\omega)$ heisst \textit{Schätzwert}.}\\ +\subtext{(Estimator function, sample estimate)} + +{\footnotesize + \notation $T = (T_1,\ldots,T_m), \vartheta = (\vartheta_1,\ldots,\vartheta_m)$ +} + +\definition \textbf{Erwartungstreu} \subtext{(unbiased)} +$$ + T \text{ Erwartungstreu } \iffdef \forall \vartheta \in \Theta:\quad \E_\vartheta\bigl[ T \bigr] = \vartheta +$$ + +\definition \textbf{Erwarteter Schätzfehler} $\quad\E_\vartheta[T] - \vartheta$ \subtext{(Bias)} + +\definition \textbf{MSE} $\quad\text{MSE}_\vartheta[T] = \E_\vartheta\bigl[ (T-\vartheta)^2 \bigr]$ \subtext{(Mean Sq. Error)} + +\definition \textbf{Konsistent} +$$ + T^{(n)} \text{ konsistent für } \vartheta \iffdef \underset{n\to\infty}{\lim}\P_\vartheta \Bigl[ \vert T^{(n)}-\vartheta \vert > \epsilon \Bigr] = 0 +$$ +\subtext{Intuitiv: Bei beliebig hohem $n$ konvergiert $T^{(n)}$ zu $\vartheta$ unter $\P_\vartheta$} + +\lemma \textbf{Zerlegung des MSE} +$$ + \text{MSE}_\vartheta[T] = \E_\vartheta\Bigl[ (T-\vartheta)^2 \Bigr] = \V_\vartheta[T] + \underbrace{\Bigl( \E_\vartheta[T]-\vartheta \Bigr)^2}_{=0 \text{ (erwartungstreu)}} +$$ +{\footnotesize + \remark $T$ erwartungstreu $\implies \text{MSE}_\vartheta[T]=\V_\vartheta[T]$ +} + +{\scriptsize + \textbf{Beispiel}: $T = X_n \sim \text{Ber}(\vartheta)$ ist erwartungstreu, da $\E_\vartheta[T]=\vartheta$ ($T \sim \text{Ber}(\vartheta)$). + Trotzdem ist $T^{(n)}$ nicht konsistent für $\vartheta \in (0,1)$, da $X_n(\omega)\in\{0,1\}$. +} + +\subsection{Maximum Likelihood Methode (MLE)} + +\textbf{Motivation}: Wie findet man einen guten Schätzer $T$? + +Abhängig ob $(X_1,\ldots,X_n)$ stetig/diskret: +\begin{itemize} + \item Gemeinsame Gewichtsfunktion $p_X(x_1,\ldots,x_n;\vartheta)$ + \item Gemeinsame Dichtefunktion $f_X(x_1,\ldots,x_m;\vartheta)$ +\end{itemize} + +{\footnotesize + \remark $p(x_1,\ldots,x_n;\vartheta) = \P_\vartheta[X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n]$ + + \remark Häufig ist $X_k$ i.i.d, d.h. $p_X(\ldots)=\prod_{k=1}^np_X(x_k;\vartheta)$ +} + +\definition \textbf{Likelihood Funktion} +$$ + L(x_1,\ldots,x_n;\vartheta) = \begin{cases} + p_X(x_1,\ldots,x_n;\vartheta), & \text{diskret} \\ + f_X(x_1,\ldots,x_n;\vartheta), & \text{stetig} + \end{cases} +$$ + +\definition \textbf{Maximum Likelihood Schätzer}\\ +\smalltext{Maximierung von $\vartheta \mapsto L(X_1,\ldots,X_n;\vartheta)$} +$$ + T_\text{ML} = t_\text{ML}(X_1,\ldots,X_n) \in \underset{\vartheta\in\Theta}{\text{arg max}}\Bigl( L(X_1,\ldots,X_n;\vartheta) \Bigr) +$$ + +\remark Äquivalent kann man $\log(L)$ maximieren.\\ +\subtext{Sinnvoll falls $X_k$ i.i.d. weil dann $\log(L) = \sum_{k=1}^{n}\log\Bigl(p_X(x_k;\vartheta)\Bigr)$} + +{\footnotesize + \textbf{Anwendung}: + \begin{enumerate} + \item Gemeinsame Dichte/Verteilung finden + \item $f(\vartheta) := \ln\Bigl( L(x_1,\ldots,x_n;\vartheta) \Bigr)$ + \item $\vartheta^*$ finden, s.d. $f'(\vartheta^*) = 0$ + \item Argumentieren, dass $\vartheta^*$ das Maximum ist (z.B. via $f''$) + \end{enumerate} +} + +\subsection{Momentenschätzer} + +\textbf{Annahme}: $\P_\vartheta$ s.d. $X_i,\ldots,X_n$ i.i.d. + +\definition \textbf{Momentenschätzer} +$$ + T = (T_1, T_2) \text{ für } \Bigl(\E_\vartheta[X], \V_\vartheta[X] \Bigr) +$$ +$$ + T_1 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \qquad T_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 - \Biggl(\underbrace{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i}_{T_1}\Biggr)^2 +$$ +{\footnotesize + \remark Allgemein nicht erwartungstreu +} + +\definition \textbf{Empirische Varianz} \subtext{(Unbiased Sample Variance)} +$$ + T_1' = T_1 \qquad T_2' = \frac{n}{n-1}T_2 +$$ +{\footnotesize + \remark Erwartungstreu +} + +\subsection{Verteilungen von Schätzern} + +\textbf{Motivation}: Die Verteilung eines Schätzers $T$.\\ +\subtext{Es gibt wenig exakte Aussagen, daher approximativ via ZGS} + +{\scriptsize + \textbf{Beispiel}: $T = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$\\ + ZGS $\implies T \sim \mathcal{N}\Bigl(n\E_\vartheta[X_i],n\V_\vartheta[X_i]\Bigr)$ (für grosse $n$) +} + +\definition $\chi^2$\textbf{-Verteilung}\\ +\smalltext{Parameter $m$: \textit{Freiheitsgrade}} +$$ + X \sim \chi^2_m \iffdef f_X(x) = \frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\Gamma(\frac{m}{2})}x^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \quad (x \geq 0) +$$ +\definition \textbf{Euler'sche Gammafunktion} +$$ + \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\text{d}t \qquad \forall n \in \N_0: \Gamma(n+1) = n! +$$ + +\remark \textbf{Entstehung der } $\chi^2$\textbf{-Verteilung}\\ +\smalltext{$X_1,\ldots,X_m$ i.i.d. s.d. $X_i \sim \mathcal{N}(0,1)$} +$$ + \sum_{i=1}^{m} X_i^2 \sim \chi_m^2 +$$ + +\newpage + +\definition \textbf{Student'sche} $t$-\textbf{Verteilung} +$$ + X \sim t_m \iffdef f_X(x) = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2})}{\sqrt{m\pi}\Gamma(\frac{m}{2})}\Biggl( 1+\frac{x^2}{m} \Biggr)^{-\frac{m+1}{2}} +$$ + +\remark \textbf{Entstehung der } $t$-\textbf{Verteilung}\\ +\smalltext{$X\sim\mathcal{N}(0,1)$ und $Y \sim \chi^2_m$} +$$ + \frac{X}{\sqrt{\frac{1}{m}Y}} \sim t_m +$$ + +{\footnotesize + \remark $m=1 \implies t_1$ ist Cauchy Verteilung + + \remark $\underset{m\to\infty}{\lim} t_m = \mathcal{N}(0,1)$ + + \remark $t_m$ ist symmetrisch um $0$ (wie $\mathcal{N}$) +} + +\theorem \textbf{Aussagen für Normalverteilungen}\\ +\smalltext{$X_1,\ldots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$} +$$ + \bar{X}_n = \sum_{i=1}^{n}X_i,\qquad S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{n}^{i=1}\Bigl( X_i - \bar{X}_n \Bigr)^2 +$$ +\begin{enumerate} + \item $\bar{X}_n \sim \mathcal{N}\bigl(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\bigr)$ also $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}(\bar{X}_n - \mu) \sim \mathcal{N}(0,1)$ + \item $\frac{n-1}{\sigma^2}S^2 = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n\Bigl( X_i - \bar{X}_n \Bigr)^2 \sim \chi^2_{n-1}$ + \item $\bar{X}_n \perp S^2$ + \item $\frac{\bar{X}_n-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} = \displaystyle\frac{\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{S / \sigma} = \frac{\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{1}{n-1}\frac{n-1}{\sigma^2}S^2}} \sim t_{n-1}$ +\end{enumerate} \ No newline at end of file diff --git a/semester4/ps/ps-rb/parts/08_tables.tex b/semester4/ps/ps-rb/parts/08_tables.tex new file mode 100644 index 0000000..d08b11c --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-rb/parts/08_tables.tex @@ -0,0 +1,179 @@ +\subsection{Integrale \& Ableitungen} + +{\small +\begin{center} + \begin{tabular}{c||c||c} + $F(x)$ & $f(x)$ & $f'(x)$ \\ + \hline + \hline + $x$ & $c$ & $0$\\ + $\frac{1}{a+1}\cdot x^{a+1}$ & $x^a$ & $a\cdot x^{a-1}$\\ + $\frac{1}{a\cdot(n+1)}\cdot(ax+b)^{n+1}$ & $(ax+b)^n$ & $n \cdot(ax+b)^{n-1}\cdot a$\\ + $\ln|x|$ & $\frac{1}{x}=x^{-1}$ & $-\frac{1}{x^2} = -x^{-2}$\\ + $\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}$ & $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$\\ + $\frac{n}{n+1}\cdot x^{\frac{1}{n}+1}$ & $\sqrt[\leftroot{0} n]{x} = x^\frac{1}{n}$ & $\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}$\\ + \hline + $e^x$ & $e^x$ & $e^x$\\ + $\frac{1}{\ln(a)}\cdot a^x$ & $a^x$ & $a^x\cdot \ln(a)$\\ + $x\cdot (\ln|x|-1)$ & $\ln|x|$ & $\frac{1}{x} = x^{-1}$\\ + $\frac{x}{\ln(a)}\cdot(\ln|x|-1)$ & $\log_a(x)$ & $\frac{1}{x\cdot\ln(a)}$\\ + \hline + $-\cos(x)$ & $\sin(x)$ & $\cos(x)$\\ + $\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $-\sin(x)$\\ + $-\ln|\cos(x)|$ & $\tan(x)$ & $\frac{1}{\cos(x)^2}= 1 + \tan(x)^2$\\ + $\ln|\sin(x)|$ & $\cot(x)$ & $-\frac{1}{\sin(x)^2}$\\ + $x \cdot\arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2}$ & $\arcsin(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$\\ + $x \cdot \arccos(x)-\sqrt{1-x^2}$ & $\arccos(x)$ & $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$\\ + $x \cdot \arctan(x)-\frac{\ln(x^2+1)}{2}$ & $\arctan(x)$ & $\frac{1}{x^2+1}$\\ + \hline + $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$\\ + $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$\\ + $\ln|\cosh(x)|$ & $\tanh(x)$ & $\frac{1}{\cosh(x)^2} = 1-\tanh(x)^2$\\ + & $\text{arcsinh}(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$\\ + & $\text{arccosh}(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2}-1}$\\ + & $\text{arctanh}()$ & $\frac{1}{1-x^2}$\\ + \hline + \end{tabular} +\end{center} +} + +\newpage + +\subsection{Weitere Integrale \& Ableitungen} +\begin{center} + \begin{tabular}{c||c} + + $F(x)$ & $f(x)$\\ + \hline + \hline + $\frac{1}{a}\ln|ax+b|$ & $\frac{1}{ax+b}$ \\ + $\frac{ax}{c}-\frac{ad-bc}{c^2}\ln|cx+d|$ & $\frac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2}$\\ + $\frac{x}{2}f(x)+\frac{a^2}{2}\ln|x+f(x)|$ & $\sqrt{a^2+x^2}$ \\ + $\frac{x}{2}f(x)-\frac{a^2}{2}\arcsin(\frac{x}{|a|})$ & $\sqrt{a^2-x^2}$ \\ + $\frac{x}{2}f(x) - \frac{a^2}{2}\ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{x^2-a^2}$\\ + $\ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$\\ + $\arcsin(\frac{x}{|a|})$ & $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ \\ + $\frac{1}{a} \cdot\arctan(\frac{x}{a})$ & $\frac{1}{x^2+a^2}$\\ + \hline + $-\frac{1}{a}\cos(ax+b)$ & $\sin(ax+b)$ \\ + $\frac{1}{a}\sin(ax+b)$ & $\cos(ax+b)$ \\ + \hline + $x^x$ & $x^x \cdot (1 + \ln|x|)$\\ + $(x^x)^x$ & $(x^x)^x(x+2x\ln|x|)$\\ + $x^{(x^x)}$ & $x^{(x^x)}(x^{x-1}+\ln|x|\cdot x^x(1+\ln|x|)$\\ + \hline + $\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin(2x))$ & $\sin(x)^2$\\ + $\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin(2x))$ & $\cos(x)^2$\\ + \end{tabular} +\end{center} + +%\subsection{Tyler, The Creator} +% \begin{center} +% \includegraphics[width=0.3\linewidth]{tyler2.png} +% \end{center} + +\newpage +\subsection{Grenzwerte: Folgen} +\subtext{Credits: D. Camenisch} +\begin{center} + \begin{tabular}{ l || l } + $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0$ & $\lim_{x\to\infty} 1 + \frac{1}{x} = 1$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$ & $\lim_{x \to - \infty} e^x = 0$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$ & $\lim_{x \to - \infty} e^{-x} = \infty$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^m} = \infty$ & $\lim_{x \to - \infty} xe^x = 0$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty$ & $\lim_{x \to 0} \ln(x) = - \infty$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = 1$ & $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ \\ + \hline + $\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^b = 1$ & $\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^b = 1$ \\ + \hline + $\lim_{x\to\infty} x^aq^x = 0, \; \forall 0 \leq q < 1$ & $\lim_{x\to\infty} n^\frac{1}{n} = 1$ \\ + \hline + $\lim_{x\to \pm \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = \mathrm{e}$ & $\lim_{x\to \infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x = \frac{1}{\mathrm{e}}$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \pm \infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx} = e^{km}$ & $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ \\ + \hline + $\lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos(x)} = 1$ & $\lim_{x\to 0} \frac{\cos{x}-1}{x} = 0$ \\ + \hline + $\lim_{x\to 0} \frac{\log{1-x}}{x} = -1$ & $\lim_{x\to 0} x\log{x} = 0$ \\ + \hline + $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2} = \frac{1}{2}$ & $\lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} = 1$ \\ + \hline + $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\arctan{x}} = 1$ & $\lim_{x\to\infty} \arctan{x} = \frac{\pi}{2}$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + k}\right)^x = e^{-k}$ & $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ \\ + \hline + $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a) \; \forall a > 0$ & $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{x} = a$ \\ + \hline + $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1)}{x} = 1$ & $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = 1$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ & $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x)}{x^a} = 0$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{x} = 1$ & $\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2^x} = 0$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \frac{\pi^-}{2}} \tan{x} = +\infty$ & $\lim_{x \to \frac{\pi^+}{2}} \tan{x} = -\infty$ \\ + \hline + $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin{x}}{x} = 0$ & $\lim_{x \to 0^+} x\ln{x} = 0$\\ + \hline + \end{tabular} +\end{center} +\subsection{Grenzwerte: Reihen} +\subtext{Credits: D. Camenisch} +\begin{center} + \begin{tabular}{ l || l } + $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ & $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \\ + \hline + $\sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ & $\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ \\ + \hline + $\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$ & $\sum_{i = 1}^\infty z^i = \frac{1 - z^{i + 1}}{1 - z}$ \\ + \hline + \end{tabular} +\end{center} + +\newpage +\subsection{Verteilungen} +\subtext{Credits: N. Wehrli \& S. Metzker} + +\renewcommand*{\arraystretch}{2} +\begin{center} + + \begin{tabularx}{\textwidth}{|l|l|l|X|X|X|X|} + \hline + Verteilung & Notation & Parameter & \( \E[X] \) & \( \Var(X) \) & \( p_X(t)/f_X(t) \) & \( F_X(t) \) \\ + \hline + \hline + Gleichverteilung & unbekannt & \makecell[l]{\( n \): Anzahl Ereignisse \\ (\( x_i \): Ereignisse)} & \( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \) & \( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{1}{n^2} \left(\sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2 \) & \( \frac{1}{n} \) & \( \frac{|\{k:x_k \leq t\}|}{n} \) \\ + \hline + Bernoulli & $\text{Ber}(p)$ & \( p: \) ErfolgsW'keit & \( p \) & \( p \cdot (1-p) \) & \( p^t(1-p)^{1-t} \) & \( 1-p \) für \( 0 \leq t < 1 \) \\ + \hline + Binomial & $\text{Bin}(n,p)$ & \makecell[l] {\( n \): Anzahl Versuche \\ \( p: \) ErfolgsW'keit } & \( np \) & \( np(1-p) \) & \( \binom{n}{t}p^t(1-p)^{n-t} \) & \( \sum_{k=0}^{t} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \) \\ + \hline + Geometrisch & $\text{Geo}(p)$ & \makecell[l] { \( p \): ErfolgsW'keit \\ (\( t: \) Anzahl Versuche)} & \( \frac{1}{p} \) & \( \frac{1-p}{p^2} \) & \( p(1-p)^{t-1} \) & \( 1-(1-p)^t\) \\ + \hline + Poisson& $\text{Poisson}(\lambda)$ & \makecell[l]{ \( \lambda \): Erwartungswert \\ und Varianz} & \( \lambda \) & \( \lambda \) & \( \frac{\lambda^t}{t!}e^{-\lambda} \) & \( e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{t} \frac{\lambda^{k}}{k!} \) \\ + \hline + \makecell[l]{Gleichverteilung\\(im Intervall)} & $U \sim \mathcal{U}([0,1])$ & \( [a,b] \): Intervall & \( \frac{a+b}{2} \) & \( \frac{1}{12}(b-a)^2 \) & \(\begin{cases} \frac{1}{b-a} &a \le x \le b \\ 0 & \text{sonst}\end{cases}\) & \(\begin{cases} 0 & x\le a \\ \frac{t-a}{b-a} & a < x < b \\ 1 & x \ge b \end{cases}\) \\ + \hline + Exponentialv. & $ \text{Exp}(\lambda)$ & \( \lambda: \frac{1}{\E[X]} \) & \( \frac{1}{\lambda} \) & \( \frac{1}{\lambda^2} \) & \( \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases} \) & \( \begin{cases} 1-e^{-\lambda t} & t>0 \\ 0 & t \leq 0\end{cases}\) \\ + \hline + Normalverteilung & $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ & \makecell[l]{\( \mu: \E[X] \) \\ \( \sigma^2 \): Varianz} & \( \mu \) & \( \sigma ^2 \) & \( \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2} }e^{-{\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2} }} \) & \( \frac{1}{\sigma {\sqrt{2\pi}}} \int_{-\infty}^t e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{y-\mu}{\sigma} \right) ^2} \mathrm{d} y \) \\ + \hline + \( \chi ^2 \)-Verteilung & $\chi_{m}^{2}$ & \( n \): Freiheitsgrad & \( n \) & \( 2n \) & \( \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma (\frac{n}{2})} t^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{t}{2}} \text{ für } t>0\) & \(P\left( \frac{n}{2}, \frac{t}{2}\right) \) \\ + \hline + t-Verteilung & $t_{m}$ & \( n \): Freiheitsgrad & \( \begin{cases} 0 & n>1 \\ \text{undef.} & \text{sonst} \end{cases} \) & \( \begin{cases} \frac{n}{n-2} & n> 2 \\ \infty & 1 0\) & Existiert nicht & Existiert nicht & \(\frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{\gamma^2 + (x-x_0)^2}\) & \(\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)\) \\ + \hline + + Hypergeometrisch & \(\mathrm{H}(n, r, m)\) & \(n \in \mathbb{N}\), \(m, r \in \{1, \ldots, n\}\) & $m\frac{r}{n}$ & $m \frac{r}{n}\left(1-\frac{r}{n}\right) \frac{n-m}{n-1}$ & $\frac{\binom{r}{k} \binom{n-r}{m-k}}{\binom{n}{m}}$ & $\sum_{y=0}^k \frac{\binom{r}{y} \binom{n-r}{m-y}}{\binom{n}{m}}$ \\ + \hline + \end{tabularx} + +\end{center} \ No newline at end of file diff --git a/semester4/ps/ps-rb/util/helpers.tex b/semester4/ps/ps-rb/util/helpers.tex index 0094575..464380a 100644 --- a/semester4/ps/ps-rb/util/helpers.tex +++ b/semester4/ps/ps-rb/util/helpers.tex @@ -62,6 +62,7 @@ \def \E{\mathbb{E}} \def \I{\mathbb{I}} \def \V{\mathbb{V}} +\def \Var{\mathbb{V}} % Titles \def \definition{\colorbox{lightgray}{Def} } diff --git a/semester4/ps/ps-rb/util/setup.tex b/semester4/ps/ps-rb/util/setup.tex index 290f538..5a2f647 100644 --- a/semester4/ps/ps-rb/util/setup.tex +++ b/semester4/ps/ps-rb/util/setup.tex @@ -38,4 +38,7 @@ % Flexible graphs / visualisations inside latex \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{positioning, arrows.meta, calc, matrix} \ No newline at end of file +\usetikzlibrary{positioning, arrows.meta, calc, matrix} + +\usepackage{makecell} +\usepackage{tabularx} \ No newline at end of file diff --git a/semester6/iml/main.pdf b/semester6/iml/main.pdf index 9639fd4..942607b 100644 Binary files a/semester6/iml/main.pdf and b/semester6/iml/main.pdf differ