[PS] Start notes & remarks update

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/00_probability-space.tex

@@ -39,6 +39,7 @@ Keine $\sigma$-Algebren sind bspw:
 \end{itemize}
 
 
+\newpage
 \subsubsection{Wahrscheinlichkeitsraum}
 \shortdefinition[W.R] ein Tripel $(\Omega, \cF, \P)$
 

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_definition.tex

@@ -4,3 +4,8 @@
 $f = \{ \omega \in \Omega \divider \cX(\omega) \leq a \} \in \cF$ (notwendinge Bedingung für Wohldefiniertheit von $\P[f]$)
 
 \inlinenotation Ohne $\omega$: $\{ X \leq a \} = \{ \omega \in \Omega \divider X(\omega) \leq a \}$, etc
+
+\shortdefinition[Indikatorfunk.] $A \in \cF$, $\bm{1_A(\omega)} = \begin{cases}
+    0 & \text{ wenn } \omega \notin A \\
+    1 & \text{ wenn } \omega \in A
+\end{cases}$

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/01_distribution-function.tex

@@ -1,9 +1,12 @@
 % P23
 \subsection{Verteilungsfunktion}
+{\scriptsize Die untenstehende Funktion ist die Cumulative Distribution Function (cdf)}
+
 \shortdefinition $F_\cX : \R \rightarrow [0, 1]$, def: $\forall a \in \R \quad F_\cX(a) = \P[\cX \leq a]$
 
 \shorttheorem $a < b \in \R$. Dann: $\P[a < X \leq b] = F(b) - F(a)$
 
+{\scriptsize Nachfolgendes wird gebraucht, um zu Überprüfen, ob eine Funktion eine cdf ist}\\
 \shorttheorem $\cX$ Z.V. auf $(\Omega, \cF, \P)$ und V.F. $F = F_\cX$. Eig.:
 \begin{enumerate}
     \item $F$ ist monoton wachsend

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/02_independence.tex

@@ -12,5 +12,8 @@ $\{ \cX_1 \in I_1 \}, \ldots, \{ \cX_n \in I_n \}$ unabhängig
 $Y_1 = \phi_1(\cX_1, \ldots, \cX_{i_1}), \ldots, Y_k = \phi_k(X_{i_{k - 1} + 1}, \ldots, X_{i_k})$
 
 \subsubsection{Unabhängig identisch verteilte ZV}
+% FIXME: REMOVE into shorter writing
+{\scriptsize Abgekürzt u.i.v., oder i.i.d (independent \& identically distributed)}
+
 \shortdefinition Eine Folge von ZV ist \bi{(1)} unabh. falls $X_i$ unabh. sind und \bi{(2)} uiv, falls unabh. und die ZV dieselbe Verteilungsf. haben, also:
-$\forall i, j \quad F_{\cX_i} = F_{\cX_j}$
+$\forall i, j \ F_{\cX_i} = F_{\cX_j}$

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/02_max-likelihood.tex

@@ -30,7 +30,7 @@ Einfacher: Statt maximieren, Nullstellen von Ableitung nach $\vartheta$.
 % TODO: Maybe remark from slide 356 (= p33 in 7)
 
 \shortexample \bi{Verteilungen}\\
-\fbox{\bi{Bernoulli}} $\cX_i \sim \text{Ber}(p)$ i.i.d, hier $\vartheta = p$. Dabei:
+\highlight{Bernoulli} $\cX_i \sim \text{Ber}(p)$ i.i.d, hier $\vartheta = p$. Dabei:
 $p_\cX(x; \vartheta) = \P_\vartheta[\cX = x] = \vartheta^x (1 - \vartheta)^{1 - x}$ mit $x \in \{0, 1\}$. LH-Func:
 \[
     L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) = \vartheta^{\sum_{k = 1}^{n} x_k} (1 - \vartheta)^{n - \sum_{k = 1}^{n} x_k}

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/03_properties.tex

@@ -21,7 +21,7 @@ $\chi^2_2 = \text{Exp}(\frac{1}{2})$
 \]
 
 \shortremark $\cX \sim \cN(0, 1)$, $\cY \sim \chi^2_m$ unabh., dann: $\frac{\cX}{\sqrt{\frac{1}{m} \cY}} \sim t_m$
-Mit $m = 1$ Cauchy-V. mit $m \rightarrow \8$ asympt. $\cN(0, 1)$. $t_m$ symm. um $0$ wie $\cN(0, 1)$, aber \bi{langschänziger}
+Mit $m = 1$ Cauchy-V. mit $m \rightarrow \8$ asympt. $\cN(0, 1)$. $t_m$ symm. um $0$ wie $\cN(0, 1)$, aber \bi{langschwänziger}
 
 \shorttheorem Für $\cX_k \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ i.i.d. und
 \[