[NumCS] Finish householder and givens

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/00_intro.tex

@@ -1,8 +1,6 @@
 % ┌                                                ┐
 % │              Author: Robin Bacher              │
 % └                                                ┘
-% TODO: If you want your email to be in there, note it down here. 
-% I also did not touch the unedited files to avoid conflicts
 \subsection{Interpolation und Polynome}
 Bei der Interpolation versuchen wir eine Funktion $\tilde{f}$ durch eine Menge an Datenpunkten einer Funktion $f$ zu finden.\\
 Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelten soll. (Interpolationsbedingung)
@@ -30,9 +28,6 @@ Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
 \inlineremark Unterräume $\mathcal{V}_n$ existieren nicht nur für Polynome, wir beschränken uns aber auf $b_j(x) = x^{i-1}$.
 Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
 
-% FIXME: This could go into a special "maths theory" section -> GOOD
-
-\setLabelNumber{all}{4}
 \fancytheorem{Peano} $f$ stetig $\implies \exists p(x)$ welches $f$ in $||\cdot||_\infty$ beliebig gut approximiert.
 
 \setLabelNumber{all}{5}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/00_fourier.tex

@@ -29,9 +29,7 @@ Das Inverse davon nimmt eine Funktion der Frequenz und transformiert diese in ei
 %
 \inlineremark $p_m : \R \rightarrow \C$ ist periodisch mit Periode $1$.
 Falls $\gamma_{-j} = \overline{\gamma_j}$ für alle $j$, dann ist $p_m$ reellwertig und
-% NOTE: Uhh... do we want to use the fancy symbols for real and imaginary part or just use $\text{Re}$?
-% RESPONE: whatever he uses in the script, preferably \text{Re}() etc.
-$p_m$ kann folgendermassen dargestellt werden ($a_0 = 2\gamma_0, a_j = 2\Re(\gamma_j)$ und $b_j = -2\Im(\gamma_j)$):
+$p_m$ kann folgendermassen dargestellt werden ($a_0 = 2\gamma_0, a_j = 2\text{Re}(\gamma_j)$ und $b_j = -2\text{Im}(\gamma_j)$):
 \rmvspace
 \begin{align*}
     p_m(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{j = 1}^{m} (a_j \cos(2\pi jt) + b_j \sin(2\pi jt))
@@ -123,8 +121,6 @@ Die dargestellte Funktion ist die Fourier-Reihe der charakteristischen Funktion
 \end{align*}
 Mit $c = \pi(a + b)$ und $d = \pi(b - a)$
 
-% TODO: Replace with rendered image from matplotlib (will be higher quality than screenshot from script and can tweak it to our liking)
-% we will have it anyway after solving the exercises, so might as well
 \begin{figure}[h!]
     \begin{center}
         \includegraphics[width=0.95\textwidth]{assets/01_interpolation/01_trigonometric/overarcing.png}
@@ -140,27 +136,3 @@ wobei $l = 0, 1 \ldots, N - 1$ und $N$ die Anzahl der Intervalle ist:
 \begin{align*}
     \hat{f}_N(k) := \frac{1}{N} \sum_{l = 0}^{N - 1} f(t_l) e^{-2\pi ikt_l} \approx \hat{f}(k)
 \end{align*}
-
-% TODO: Consider if we should use the below
-
-% \begin{tikzpicture}
-%     \begin{axis}[
-%         legend pos=outer north east,
-%         title=Function plot of $f(x)$ (parts coloured),
-%         axis lines = box,
-%         xlabel = $x$,
-%         ylabel = $y$,
-%         variable = t,
-%         trig format plots = rad,
-%     ]
-%         \addplot [
-%             domain=1:4,
-%             samples=70,
-%             color=blue,
-%         ]
-%         {log2(x)};
-%         \addlegendentry{$ y=x^2 - x - 0.5$}
-%     \end{axis}
-%     \node (0) at (0, 0) {};
-% \end{tikzpicture}
-

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/04_error-estimation.tex

@@ -18,13 +18,11 @@
 \numberingOff
 \inlineex Zur Fehlerbetrachtung verwenden wir drei Funktionen $f : [0, 1] \rightarrow \R$, welche wir mit trigonometrischer Interpolation an den Punkten $\frac{k}{N}$ approximieren:
 \begin{enumerate}[label=(\Roman*)]
-    % FIXME: Possibly wrong function definition in script
     \item Stufenfunktion (periodische Fortsetzung von $f$) $f : [0, 1] \rightarrow \R$ mit $f(t) = \begin{cases}
                   0 & \text{für } \left| t - \frac{1}{2} \right| > \frac{1}{4}    \\
                   1 & \text{für } \left| t - \frac{1}{2} \right| \leq \frac{1}{4}
               \end{cases}$
     \item Periodische, glatte Funktion $h: \R \rightarrow \R$ mit $h(t) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{2} \sin(2\pi t)}}$
-          % TODO: Is it $h$ or $g$ here? $g$ makes little sense imho
     \item Hutfunktion (periodische Fortsetzung von $h$) $g : [0, 1] \rightarrow \R$ mit $g(t) = \left| t - \frac{1}{2} \right|$
 \end{enumerate}
 Die untenstehende Abbildung \ref{fig:interpolation-error-examples} beinhaltet einen Plot, auf dem die Konvergenz in Abhängigkeit des Grades des Interpolationspolynoms aufgetragen ist.