[PS] More fixes

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_definition.tex

@@ -9,3 +9,4 @@ $f = \{ \omega \in \Omega \divider \cX(\omega) \leq a \} \in \cF$ (notwendinge B
     0 & \text{ wenn } \omega \notin A \\
     1 & \text{ wenn } \omega \in A
 \end{cases}$
+Das $A$ kann bspw $\cX \leq a$ sein.

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/02_independence.tex

@@ -1,19 +1,14 @@
 % P26
 \subsection{Unabhängigkeit}
+\label{sec:rv-indep}
 \shortdefinition Z.V. $\cX_1, \ldots, \cX_n$ sind \bi{unabh.} falls
 $\forall x_1, \ldots, x_n \in \R$ $\P[\cX_1 \leq x_1, \ldots, \cX_n \leq x_n] = \P[\cX_1 \leq x_1] \cdots \P[\cX_n \leq x_n]$
 
 \shortremark Alternativ: ZVs unabhängig, falls $\forall I_1 \subseteq \R, \ldots, I_n \subseteq \R$ Intervalle
 $\{ \cX_1 \in I_1 \}, \ldots, \{ \cX_n \in I_n \}$ unabhängig
 
+\shortdefinition u.i.v. (i.i.d.) (unabhängig \& identisch verteilt) Z.V.
 
 \subsubsection{Gruppierung}
 \shorttheorem $n$ ZV $\cX_i$ und $1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n$ sind indizes und $\phi_1, \ldots, \phi_k$ Abbildungen. Dann sind unabhängig:\\
-$Y_1 = \phi_1(\cX_1, \ldots, \cX_{i_1}), \ldots, Y_k = \phi_k(X_{i_{k - 1} + 1}, \ldots, X_{i_k})$
-
-\subsubsection{Unabhängig identisch verteilte ZV}
-% FIXME: REMOVE into shorter writing
-{\scriptsize Abgekürzt u.i.v., oder i.i.d (independent \& identically distributed)}
-
-\shortdefinition Eine Folge von ZV ist \bi{(1)} unabh. falls $X_i$ unabh. sind und \bi{(2)} uiv, falls unabh. und die ZV dieselbe Verteilungsf. haben, also:
-$\forall i, j \ F_{\cX_i} = F_{\cX_j}$
+$Y_1 = \phi_1(\cX_1, \ldots, \cX_{i_1}), \ldots, Y_k = \phi_k(X_{i_k + 1}, \ldots, X_n)$

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/04_construction.tex

@@ -1,9 +1,6 @@
 % P28: TODO: may need expansion
 \subsection{Konstruktion von Zufallsvariablen}
-\shortdefinition[Bernoulli ZV] mit param. $p \in [0, 1]$ falls\\
-$\P[\cX = 0] = 1 - p$ und $\P[\cX = 1] = p$. Not.: $\cX \sim \text{Ber}(p)$
-
-\shorttheorem[$\exists$-T v. Kolmogorov] $\exists$ W-Raum und n. endl. uiv Folge von $\cX_i \sim \text{Ber}\left( \frac{1}{2} \right)$
+\shorttheorem[$\exists$-T v. Kolmogorov] $\exists$ W-Raum und endl. uiv Folge von $\cX_i \sim \text{Ber}\left( \frac{1}{2} \right)$ mit param $0.5$
 
 \shortdefinition ZV $U$ heisst \bi{gleichverteilt auf} [0, 1], falls\\
 $F_U(x) = \begin{cases}
@@ -17,10 +14,10 @@ Wir schreiben $U \sim \cU([0, 1])$
 $\cY(\omega) = \sum_{n = 1}^{\8} 2^{-n} \cX_n (\omega)$ absolut, mit $\cY(\omega) \in [0, 1]$.
 $\cY \sim \cU([0, 1])$
 
-\shortdefinition[Pseudoinverse] von $F$ ist $F^{-1} : (0, 1) \rightarrow \R$. Def:\\
+\shortdefinition[Inverse Vert.] von $F$ ist $F^{-1} : (0, 1) \rightarrow \R$. Def:\\
 $\forall \alpha \in (0, 1) \quad F^{-1} (\alpha) = \inf\{ x \in \R \divider F(x) \geq \alpha \}$
 
-\shorttheorem[Inversionsmethode] $F$ erfüllt eig. v. T2.4, $U \sim \cU(\dots)$, dann hat ZV $X = F^{-1}(U)$ die Verteilfunk. $F_X = F$
+\shorttheorem[Inversionsmethode] $F$ erfüllt T2.4, u. $U \sim \cU(\dots)$, dann hat ZV $X = F^{-1}(U)$ die Verteilfunk. $F_X = F$
 
 \shortremark $X$ wohldefiniert mit $X(\omega) = F^{-1}(U(\omega))$ falls $U(\omega) \in (0, 1)$ und $X(\omega) = 0$ sonst.