[PS] More fixes

semester4/ps/ps-jh/TODO.md

@@ -4,4 +4,6 @@
 - [ ] Tips & Tricks
 - [ ] Better examples
 - [ ] Shorten defs, etc
-- [ ] Link together (decide on style for that)
+- [ ] Link together better (decide on style for that)
+- [ ] Convex function def
+- [ ] Multiplication, div diff rules

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_definition.tex

@@ -9,3 +9,4 @@ $f = \{ \omega \in \Omega \divider \cX(\omega) \leq a \} \in \cF$ (notwendinge B
     0 & \text{ wenn } \omega \notin A \\
     1 & \text{ wenn } \omega \in A
 \end{cases}$
+Das $A$ kann bspw $\cX \leq a$ sein.

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/02_independence.tex

@@ -1,19 +1,14 @@
 % P26
 \subsection{Unabhängigkeit}
+\label{sec:rv-indep}
 \shortdefinition Z.V. $\cX_1, \ldots, \cX_n$ sind \bi{unabh.} falls
 $\forall x_1, \ldots, x_n \in \R$ $\P[\cX_1 \leq x_1, \ldots, \cX_n \leq x_n] = \P[\cX_1 \leq x_1] \cdots \P[\cX_n \leq x_n]$
 
 \shortremark Alternativ: ZVs unabhängig, falls $\forall I_1 \subseteq \R, \ldots, I_n \subseteq \R$ Intervalle
 $\{ \cX_1 \in I_1 \}, \ldots, \{ \cX_n \in I_n \}$ unabhängig
 
+\shortdefinition u.i.v. (i.i.d.) (unabhängig \& identisch verteilt) Z.V.
 
 \subsubsection{Gruppierung}
 \shorttheorem $n$ ZV $\cX_i$ und $1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n$ sind indizes und $\phi_1, \ldots, \phi_k$ Abbildungen. Dann sind unabhängig:\\
-$Y_1 = \phi_1(\cX_1, \ldots, \cX_{i_1}), \ldots, Y_k = \phi_k(X_{i_{k - 1} + 1}, \ldots, X_{i_k})$
-
-\subsubsection{Unabhängig identisch verteilte ZV}
-% FIXME: REMOVE into shorter writing
-{\scriptsize Abgekürzt u.i.v., oder i.i.d (independent \& identically distributed)}
-
-\shortdefinition Eine Folge von ZV ist \bi{(1)} unabh. falls $X_i$ unabh. sind und \bi{(2)} uiv, falls unabh. und die ZV dieselbe Verteilungsf. haben, also:
-$\forall i, j \ F_{\cX_i} = F_{\cX_j}$
+$Y_1 = \phi_1(\cX_1, \ldots, \cX_{i_1}), \ldots, Y_k = \phi_k(X_{i_k + 1}, \ldots, X_n)$

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/04_construction.tex

@@ -1,9 +1,6 @@
 % P28: TODO: may need expansion
 \subsection{Konstruktion von Zufallsvariablen}
-\shortdefinition[Bernoulli ZV] mit param. $p \in [0, 1]$ falls\\
-$\P[\cX = 0] = 1 - p$ und $\P[\cX = 1] = p$. Not.: $\cX \sim \text{Ber}(p)$
-
-\shorttheorem[$\exists$-T v. Kolmogorov] $\exists$ W-Raum und n. endl. uiv Folge von $\cX_i \sim \text{Ber}\left( \frac{1}{2} \right)$
+\shorttheorem[$\exists$-T v. Kolmogorov] $\exists$ W-Raum und endl. uiv Folge von $\cX_i \sim \text{Ber}\left( \frac{1}{2} \right)$ mit param $0.5$
 
 \shortdefinition ZV $U$ heisst \bi{gleichverteilt auf} [0, 1], falls\\
 $F_U(x) = \begin{cases}
@@ -17,10 +14,10 @@ Wir schreiben $U \sim \cU([0, 1])$
 $\cY(\omega) = \sum_{n = 1}^{\8} 2^{-n} \cX_n (\omega)$ absolut, mit $\cY(\omega) \in [0, 1]$.
 $\cY \sim \cU([0, 1])$
 
-\shortdefinition[Pseudoinverse] von $F$ ist $F^{-1} : (0, 1) \rightarrow \R$. Def:\\
+\shortdefinition[Inverse Vert.] von $F$ ist $F^{-1} : (0, 1) \rightarrow \R$. Def:\\
 $\forall \alpha \in (0, 1) \quad F^{-1} (\alpha) = \inf\{ x \in \R \divider F(x) \geq \alpha \}$
 
-\shorttheorem[Inversionsmethode] $F$ erfüllt eig. v. T2.4, $U \sim \cU(\dots)$, dann hat ZV $X = F^{-1}(U)$ die Verteilfunk. $F_X = F$
+\shorttheorem[Inversionsmethode] $F$ erfüllt T2.4, u. $U \sim \cU(\dots)$, dann hat ZV $X = F^{-1}(U)$ die Verteilfunk. $F_X = F$
 
 \shortremark $X$ wohldefiniert mit $X(\omega) = F^{-1}(U(\omega))$ falls $U(\omega) \in (0, 1)$ und $X(\omega) = 0$ sonst.
 

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/01_almost-certain-events.tex

@@ -2,4 +2,4 @@
 \subsection{Fast sichere Ereignisse}
 \shortdefinition $A \in \cF$ tritt \bi{fast sicher} (f.s.) ein, falls $\P[A] = 1$.
 
-\shortremark Für allg. Mengen: $A$ f.s., falls $\exists A' \subseteq A \divider \P[A'] = 1$
+\shortremark Für allg. Mengen: $A$ f.s., falls $\exists A' \subseteq A : \P[A'] = 1$

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/02_discrete-rv.tex

@@ -1,9 +1,11 @@
 \subsection{Diskrete Zufallsvariablen}
 \shortdefinition Z.V. $\cX$ ist \bi{diskret}, falls endl. oder abzählb. Menge $W \subsetneq \R$ existiert, s.d. $\P[\cX \in W] = 1$ (Werte v. $\cX$ f.s. in $W$)
 
-\shortremark Falls der Grundraum $\Omega$ endlich oder abzählbar ist, dann ist jede Z.V. $\cX$ diskret.
+\shortremark Falls $\Omega$ endl. / abzählb., dann ist jede Z.V. $\cX$ diskret.
 
-\shortdefinition[Verteilung] Für Z.V. $\cX$ mit $W$ endl. oder abzählb. $(p(x))_{x \in W} \defEquiv \forall x \in W \; p(x) := \P[\cX = x]$
+\shortdefinition[Gewichtsf.] $\cX$ mit $W$ endl.: $p_{\cX}(x) = \P[\cX = x]$
+
+\shortdefinition[Verteilung] $(p(x))_{x \in W} \defEquiv \forall x \in W \; p(x)$
 
 \shorttheorem $(p(x))_{x \in W} = \sum_{x \in W} p(x) = 1$
 

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/04_poisson.tex

@@ -1,4 +1,6 @@
 \subsubsection{Poisson-Verteilung}
+{\scriptsize Approximation von Binomialverteilung}
+
 \shortdefinition $\cX \sim \text{Poisson}(\lambda)$ mit $\lambda > 0 \in \R$, falls\\
 $\forall k \in \N \quad \P[\cX = k] = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$
 

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/00_intro.tex

@@ -3,11 +3,11 @@
 
 \shortremark $\E[\cX]$ immer definiert und endlich oder unendlich
 
-\shorttheorem $\cX$ n.-neg. Dann: $\E[\cX] \geq 0$. $=$, wenn $\cX = 0$ fast sicher
+\shorttheorem $\cX$ n.neg. Dann: $\E[\cX] \geq 0$. $=$, wenn $\cX = 0$ fast sicher
 
 \shortdefinition $\E[\cX] = \E[\cX_+] - \E[\cX_-]$ mit $\cX_-$ auch n.-neg.
 
-\shortremark $|\cX| = \cX_+ + \cX_-$. Für $\cX \geq 0$ ist $\E[\cX]$ immer definiert.
+\shortremark $|\cX| = \cX_+ + \cX_-$; $\cX = \cX_+ - \cX_-$. Für $\cX \geq 0$ ist $\E[\cX]$ immer definiert.
 Falls $\cX$ kein konst. Vorzeichen, $\E[\cX]$ undef.
 
 \shortremark $\E[\cX] = \int_{0}^{\8} (1 - F_\cX(x)) \dx x - \int_{-\8}^{0} F_\cX(x)$

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/01_disc.tex

@@ -8,7 +8,7 @@
 
 \subsubsection{Beispiele}
 \begin{itemize}
-    \item $\cX \sim \text{Ber}(p)$: $\E[\cX] = p$
+    \item $\cX \sim \text{Ber}(p)$: $\E[\cX] = p$ ($\E[1_A] = \P[A]$)
     \item $\cX \sim \text{Bin}(n, p)$: $\E[\cX] = np$
     \item $\cX \sim \text{Poisson}(\lambda)$: $\E[\cX] = \lambda$
 \end{itemize}

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/02_cont.tex

@@ -1,12 +1,13 @@
 \subsection{Stetige Zufallsvariablen}
 \shortdefinition $\cX$ stetig $\E[\cX] = \int_{-\8}^{\8} x f_\cX(x) \dx x$
 
-\shorttheorem $\E[\varphi(\cX)] = \int_{-\8}^{\8} \varphi(x) f_\cX(x) \dx x$, falls int. wohldefiniert
+\shorttheorem $\E[\varphi(\cX)] = \int_{-\8}^{\8} \varphi(x) f_\cX(x) \dx x$, falls int. wohldef.
+
+\shortlemma[Int über gauss. Glockenk.] $\int_{-\8}^{\8} e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}} \dx x = \sqrt{2 \pi \sigma^2}$
 
 \subsubsection{Beispiele}
 % TODO: Consider if need derivation of them here and prev section as well
 % TODO: Also add the ones proven in exercises
-\shortlemma[Int über gauss. Glockenk.] $\int_{-\8}^{\8} e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}} \dx x = \sqrt{2 \pi \sigma^2}$
 \begin{itemize}
     \item $\cX \sim \cU([a, b])$, $a < b$: $\E[\cX] = \frac{a + b}{2}$
     \item $\cX \sim \text{Exp}(\lambda)$, $\lambda > 0$: $\E[\cX] = \frac{1}{\lambda}$

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/03_properties.tex

@@ -14,7 +14,5 @@ $\E\left[ \prod_{k = 1}^n \cX_k \right] = \prod_{k = 1}^n \E[\cX_k]$
 \shorttheorem $f : \R \rightarrow \R_+$ mit $\int_{-\8}^{\8} f(x) \dx x = 1$. Dann ist äquivalent:
 \bi{(1)} $\cX$ stetig mit Dichte $f$ und \bi{(2)} für jede stückweise stetige Abb. $\varphi : \R \rightarrow \R$ gilt $\E[\varphi(\cX)] = \int_{-\8}^{\8} \varphi(x) f(x) \dx x$
 
-\shorttheorem äquivalent: \bi{1} $\cX, \cY$ unabhängig, für alle $\varphi, \psi : \R \rightarrow \R$: $\E[\varphi(\cX) \psi(\cX)] = \E[\varphi(\cX)] \E[\psi]$
-
 \shorttheorem äquivalent: \bi{(1)} $\cX_i$ unabhängig,\\
 \bi{(2)} $\forall \varphi_i$: $\E[\varphi_1(\cX_1) \cdots \varphi_n(\cX_n)] = \E[\varphi_1(\cX_1)] \cdots \E[\varphi_n(\cX_n)]$

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/04_inequalities.tex

@@ -4,3 +4,5 @@
 \shorttheorem[Jensensche] $\varphi: \R \rightarrow \R$ konvex, und falls $\E[\varphi(\cX)]$ und $\E[\cX]$ wohldefiniert: $\varphi(\E[\cX]) \leq \E[\varphi(\cX)]$
 
 \shorttheorem[Dreieck] $\varphi(x) = |x|$, dann $|\E[\cX]| \leq \E[|\cX|]$. $\varphi(x) = x^2$, dann $\E[|\cX|] \leq \sqrt{\E[\cX^2]}$
+
+\shortcorollary[Cheb.] $\V[\cY]$ end. $\forall c > 0$ gilt: $\P[|\cY - \E[\cY]| \geq c] \leq \frac{\V[\cY]}{c^2}$

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/05_variance.tex

@@ -1,4 +1,6 @@
 \subsection{Varianz}
+$\E[\cX^2] = \sum_{x \in W} x^2 \cdot p_\cX(x)$ ($\cX$ diskret)
+
 \shortdefinition $\cX$ mit $\E[\cX^2] < \8$, $\V[\cX] = \E[(\cX - \E[\cX])^2]$
 
 \shortdefinition[Standardabweichung] $\sigma(\cX) = \sqrt{\V[\cX]}$
@@ -11,7 +13,8 @@ $\V[\cX] = \E[\cX^2] - \E[\cX]^2 = a^2\E[1_\Omega] - a^2 = 0$
 % Task 4.42 (needs proof?)
 \shortremark $\E[\cX] < \8$, dann $\V[\cX] \geq 0$ mit $=$ g.d.w. $\cX$ konst; zudem $\V[a \cX] = a^2 \V[\cX]$ und $\V[\cX + a] = \V[\cX]$
 
-\shortproposition $\cX_k$ paarw. unabh. $\V\left[ \sum_{k = 1}^{n} \cX_k \right] = \sum_{k = 1}^{n} \V[\cX_k]$
+\shortproposition $\cX_k$ paarw. unabh. $\V\left[ \sum_{k = 1}^{n} \cX_k \right] = \sum_{k = 1}^{n} \V[\cX_k]$.
+Falls $\cX_k$ abhängig, dann gilt $\neq$
 
 \shortexample Varianz von bekannten Verteilungen
 \begin{itemize}
@@ -21,5 +24,3 @@ $\V[\cX] = \E[\cX^2] - \E[\cX]^2 = a^2\E[1_\Omega] - a^2 = 0$
     \item $\cX \sim \cU([a, b])$, $\V[\cX] = \frac{(b - a)^2}{12}$
     \item $\cX \sim \cN(\mu, \sigma^2)$, $\V[\cX] = \sigma^2$
 \end{itemize}
-
-\shortcorollary[Cheb.] $\V[\cY]$ end. $\forall c > 0$ gilt: $\P[|\cY - \E[\cY]| \geq c] \leq \frac{\V[\cY]}{c^2}$

semester4/ps/ps-jh/parts/04_joint-distribution/00_discrete.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \subsection{Gemeinsame Diskrete Verteilung}
-\shortdefinition $\cX_i$ mit Mengen $W_k \subseteq \R$ endlich oder abzählbar mit $\cX_k \in W_k$ fast sicher.
+\shortdefinition $\cX_k$ mit Mengen $W_k \subseteq \R$ endlich oder abzählbar mit $\cX_k \in W_k$ fast sicher.
 Die gemeinsame Verteilung (\textit{Joint probability distribution}) von $(\cX_1, \ldots, \cX_n)$ ist Familie von W.:
 \[
     \{ p(x_1, \ldots, x_n) \}_{x_1 \in W_1, \ldots, x_n \in W_n}
@@ -22,7 +22,7 @@ mit $p : \R^n \rightarrow [0, 1]$ die gemeinsame Gewichtsfunktion (joint probabi
                         & = \sum_{y_1 \leq x_1, \ldots, y_n \leq x_n} p(y_1, \ldots, y_n)
 \end{align*}
 
-\shorttheorem[Verteilung Bild] Sei $\phi : \R^n \rightarrow \R$, $\cX_i$ disk. Z.V. mit Werten jeweils f.s. in $W_1, \ldots, W_n$.
+\shorttheorem[Verteilung Bild] Sei $\varphi : \R^n \rightarrow \R$, $\cX_i$ disk. Z.V. mit Werten jeweils f.s. in $W_1, \ldots, W_n$.
 Dann $\cZ = \varphi(\cX_1, \ldots, \cX_n)$ disk. Z.V. mit Werten f.s. in $W = \varphi(W_1 \times \ldots \times W_n)$. Verteilung von $\cZ$ dann gegeben durch ($\forall z \in W$):
 \[
     \P[\cZ = z] = \sum_{\elementstack{x_1 \in W_1, \ldots, x_n \in W_n}{\varphi(x_1, \ldots, x_n) = z}} \P[\cX_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n]
@@ -48,5 +48,6 @@ $\forall k \in \{ 1, \ldots, n \}$ und $\forall x \in W_k$ gilt:
 \shorttheorem Folgende Aussagen sind äquivalent (für $\cX_i$ mit Verteilung $\{p(x_1, \ldots, x_n)\}_{x_1 \in W_1, \ldots, x_n \in W_n}$):
 \begin{itemize}
     \item $\cX_1, \ldots, \cX_n$ sind unabhängig
-    \item $\forall x_1 \in W_1, \ldots, x_n \in W_n$ gilt \[ p(x_1, \ldots, x_n) = \P[\cX_1 = x_1] \cdot \ldots \cdot \P[\cX_n = x_n] \]
+    \item $\forall x_1 \in W_1, \ldots, x_n \in W_n$ gilt (prod. Randv. von $\cX_i$)
+        \[ p(x_1, \ldots, x_n) = \P[\cX_1 = x_1] \cdot \ldots \cdot \P[\cX_n = x_n] \]
 \end{itemize}

semester4/ps/ps-jh/parts/04_joint-distribution/01_continuous.tex

@@ -52,7 +52,7 @@ Herleitung der Randdichte (``wegintegrieren''):
 \end{align*}
 {\scriptsize (Hier wieder Umwandlung von Summe zu Integral von Diskret zu Stetig)}
 
-\shortexample Beispiele von gemeinsamen stetigen Verteilungen\\
+\shortexample Randdichten mit Gleichverteilung\\
 \bi{Einheitsquadrat} {\scriptsize ($f(x, y) = 1_{(x, y) \in [0, 1]^2} = 1_{x \in [0, 1]} 1_{y \in [0, 1]}$)}
 \begin{align*}
     f_\cX(x) & = \int_{0}^{1} 1_{x \in [0, 1]} 1_{y \in [0, 1]} \dx y = 1_{x \in [0, 1]} \\
@@ -73,7 +73,7 @@ Herleitung der Randdichte (``wegintegrieren''):
           $f(x_1, \ldots, x_n) = f_{\cX_1}(x_1) \cdot \ldots \cdot f_{\cX_n}(x_n)$
 \end{itemize}
 
-\shortexample[Gleichverteilungen]\\
+\shortexample Unabhängigkeit bei Gleichverteilungen\\
 \bi{Einheitsquadrat} Wieder $f(x, y) = 1_{(x, y) \in [0, 1]^2}$, dann:
 \[
     f(x, y) = 1_{(x, y) \in [0, 1]^2} = 1_{x \in [0, 1]} 1_{y \in [0, 1]} = f_\cX(x) f_\cY(y)

semester4/ps/ps-jh/parts/05_limit-theorems/01_weak-law-of-large-numbers.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \subsection{Schwaches Gesetz der grossen Zahlen}
-\shorttheorem[Schwaches Ges. der grossen Zahlen] Sei $K = \{ 1, 2, \ldots \}$ und $\forall k \in K : \cX_k$ unabh. Z.V. mit $\E[\cX_k] = \mu$; $\V[\cX_k] = \sigma^2$:
+\shorttheorem[Schwaches GGZ] Sei $K = \{ 1, 2, \ldots \}$ und $\forall k \in K : \cX_k$ unabh. Z.V. mit $\E[\cX_k] = \mu$; $\V[\cX_k] = \sigma^2$:
 \[
     \overline{\cX}_n = \frac{1}{n} S_n = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k
 \]

semester4/ps/ps-jh/parts/05_limit-theorems/02_strong-law-of-large-numbers.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \subsection{Starkes Gesetz der grossen Zahlen}
-\shorttheorem[Starkes Ges. der grossen Zahlen] Für $\cX_1, \ldots$ mit $\cX_k$ unabhängig mit $\E[\cX_k]$ endlich. Für
+\shorttheorem[Starkes GGZ] Für $\cX_1, \ldots$ mit $\cX_k$ unabhängig mit $\E[\cX_k]$ endlich. Für
 \[
     \overline{\cX}_n = \frac{1}{n} S_n = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k
 \]

semester4/ps/ps-jh/parts/05_limit-theorems/03_central-limit-theorem.tex

@@ -8,7 +8,7 @@ $(\cX_n)_{n \in \N}$ \bi{konvergiert in V.} gegen $\cX$
 \]
 
 \shorttheorem[Zentraler Grenzwertsatz (\textbf{ZGS})]\\
-{\scriptsize i.i.d = independent and identically distributed (u.i.v in DE)}
+{\scriptsize i.i.d = independent and identically distributed (u.i.v in DE, see \ref{sec:rv-indep})}
 
 $\cX_k$ i.i.d mit $\E[\cX_k] = \mu$, $\V[\cX_k] = \sigma^2$. Für Partialsummen $S_n = \sum_{k = 1}^{n} \cX_k$ gilt $\forall x \in \R$ (mit $\Phi$ V.F. von Std.-Norm.-V):
 \[
@@ -16,7 +16,7 @@ $\cX_k$ i.i.d mit $\E[\cX_k] = \mu$, $\V[\cX_k] = \sigma^2$. Für Partialsummen
 \]
 
 \shortremark $\E[S_n] \! = \! n \mu$, $\V[S_n] \! = \! n \sigma^2$; $S_n^* \! = \! \frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \! \overset{\text{approx}}{\sim} \! \cN(0, 1)$
-für grosse $n$, mit $\overset{\text{approx}}{\sim}$ gespr. ``approx. gleichverteilt gemäss''.
+für grosse $n$, mit $\overset{\text{approx}}{\sim}$ gespr. ``approximativ verteilt gemäss''.
 Also ist für $\E[S_n^*] = 0$ und $\V[S_n^*] = 1$.
 
 Für $S_n$ also: $S_n \! \overset{\text{approx}}{\sim} \! \cN(n\mu, n\sigma^2)$,

semester4/ps/ps-jh/parts/05_limit-theorems/04_chernoff-bounds.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \subsection{Chernoff-Schranken}
-\shortdefinition[Momenterzeugende Funktion] von $\cX$ ist für $t \in \R$ $M_\cX(t) + \E[e^{t\cX}]$
+\shortdefinition[Momenterzeugende Funktion] von $\cX$ ist für $t \in \R$ $M_\cX(t) = \E[e^{t\cX}]$
 
 \shortexample $\cX \sim \text{Ber}(p)$, dann $M_\cX(t) = 1 - p + p e^t$;\\
 $\cX \sim \text{Bin}(n, p)$, dann $M_\cX(t) = (1 - p + pe^t)^n$
@@ -13,3 +13,4 @@ $\cX \sim \text{Bin}(n, p)$, dann $M_\cX(t) = (1 - p + pe^t)^n$
 \[
     \P[S_n \geq (1 + \delta) \mu_n] \leq \left( \frac{e^\delta}{(1 + \delta)^{1 + \delta}} \right)
 \]
+Dabei ist $\delta$ der Faktor der Abweichung

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/01_estimators.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \subsection{Schätzer}
-\shortdefinition[Schätzer] ist eine Z.V. der Form $T_l = t_l(\cX_1, \ldots, \cX_n)$, mit zu findender Schätzfunktion $t_l : \R^n \rightarrow \R$.
+\shortdefinition[Schätzer] ist eine Z.V. der Form $T_l = t_l(\cX_1, \ldots, \cX_n)$, mit zu findender \bi{Schätzfunktion} $t_l : \R^n \rightarrow \R$.
 Einsetzen von Daten liefer dann \bi{Schätzwerte}. Oft schreiben wir $T = (T_1, \ldots, T_m)$ und $\vartheta = (\vartheta_1, \ldots, \vartheta_m)$
 
 \shortremark \bi{Schätzwert} ist Zahl ($T_l(\omega)$), \bi{Schätzer} ist Z.V. ($T_l$)

semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex

@@ -14,6 +14,8 @@
 \renewcommand{\propositionShortNamingDE}{Prop}
 \renewcommand{\remarkShortNamingDE}{Bem}
 \renewcommand{\theoremShortNamingDE}{Thm}
+\renewcommand{\corollaryShortNamingDE}{Kor}
+\renewcommand{\lemmaShortNamingDE}{Lem}
 
 \renewcommand{\descriptorNameDisplay}[1]{\textbf{#1}}