[PS] Start rewrite of max likelihood section

Also adds various small quality of life improvements and simpler
explanations

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/00_bin.tex

@@ -1,16 +1,15 @@
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 \subsection{Verteilungen}
 \subsubsection{Bernoulli-Verteilung}
-\shortdefinition $\cX \sim \text{Ber}(p)$: $\P[\cX = 0] = 1 - p$ und $\P[\cX = 1] = p$
+\shortdefinition $\cX \sim \text{Ber}(p)$: $\P[\cX = k] = p^k(1 - p)^{1 - k}$ mit $k \in \{ 0, 1 \}$
 
 
 \subsubsection{Binomialverteilung}
-\shortdefinition $\cX \sim \text{Bin}(n, p)$, falls\\
-$\forall k \in \{ 0, \ldots, n \}\; \P[\cX = k] = {n \choose k} p^k (1 - p)^{n - k}$
+\shortdefinition $\cX \sim \text{Bin}(n, p)$, falls $\forall k \in \{ 0, \ldots, n \}$\\
+$\P[\cX = k] = {n \choose k} p^k (1 - p)^{n - k}$ ($F_\cX$ mit Summe berechnen)
 
 \shortremark $\sum_{k = 0}^{n} p(k) = \sum_{k = 0}^{n} \P[\cX = k] = (p + 1 - p)^n = 1$
 
 \shorttheorem $X_i \sim \text{Ber}(p_i)$ unab: $(S_n := \sum_{i = 0}^{n} X_i) \sim \text{Ber}(n, p)$
 
 \shortremark $\text{Bin}(1, p)$ ist $\text{Ber}(p)$ verteilt. Für $X, Y \sim \text{Bin}(n_i, p)$ mit $X, Y$ unabhängig dann ist $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$
-

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/01_geom.tex

@@ -1,8 +1,8 @@
 \subsubsection{Geometrische Verteilung}
 {\scriptsize Warten auf den ersten Erfolg (in $\8$ Folge von Bernoulli-Experimenten)}
 
-\shortdefinition $\cX \sim \text{Geom}(p)$ mit $W = \N \backslash \{0\}$ falls $\forall k \in W$\\
-$\P[\cX = k] = (1 - p)^{k - 1} p$
+\shortdefinition $\cX \sim \text{Geom}(p)$ mit $W = \N \backslash \{0\}$ und $p \in [0, 1]$,\\
+falls $\forall k \in W$ $\P[\cX = k] = (1 - p)^{k - 1} p$
 
 \shortremark[Verteilung] $F_\cX(k) = 1 - (1 - p)^k$
 

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/02_negbin.tex

@@ -1,8 +1,8 @@
 \subsubsection{Negativbinomiale Verteilung}
 {\scriptsize Warten auf den $r$-ten Erfolg (in $\8$ Folge von Bernoulli-Experimenten)}
 
-\shortdefinition $\cX \sim \text{NBin}(r, p)$, falls\\
-$\displaystyle \forall k \in \{r, r + 1, \ldots \} \quad \P[\cX = k] = {k - 1 \choose r - 1} p^r (1 - p)^{k - r}$
+\shortdefinition $\cX \sim \text{NBin}(r, p)$, falls $\forall k \in \{r, r + 1, \ldots \}$\\
+$\displaystyle \P[\cX = k] = {k - 1 \choose r - 1} p^r (1 - p)^{k - r}$ ($F_\cX$ mit Summe)
 
 \shorttheorem $\cX_i \sim \text{Ber}(p)$, dann\\
 $T_r := \inf \left\{ n \geq 1\; \big|\; \sum_{l = 1}^{n} \cX_l = r \right\} \sim \text{NBin}(r, p)$

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/03_hyp-geom.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \subsubsection{Hypergeometrische Verteilung}
 {\scriptsize $r$ Elemente vom Typ I, $n - r$ El. vom Typ II, $m$ davon gezogen, ohne Zurücklegen}
 
-\shortdefinition $\cX \sim \text{H}(n, r, m)$, falls\\
-$\displaystyle \forall k \in \{ 0, \ldots, \min(m, r) \} \quad \P[\cX = k] = \frac{{r \choose k} {n - r \choose m - k}}{{n \choose m}}$
+\shortdefinition $\cX \sim \text{H}(n, r, m)$, falls $\forall k \in \{ 0, \ldots, \min(m, r) \}$ \\
+$\displaystyle \P[\cX = k] = \frac{{r \choose k} {n - r \choose m - k}}{{n \choose m}}$ ($F_\cX$ mit Summe berechnen)

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/04_poisson.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 {\scriptsize Approximation von Binomialverteilung}
 
 \shortdefinition $\cX \sim \text{Poisson}(\lambda)$ mit $\lambda > 0 \in \R$, falls\\
-$\forall k \in \N \quad \P[\cX = k] = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$
+$\forall k \in \N \quad \P[\cX = k] = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}  \qquad F_\cX(k) = e^{-\lambda} \sum_{j = 0}^{k} \frac{\lambda^j}{j!}$
 
 \shorttheorem Für $n \in \N$ Z.V. $\cX_i \sim \text{Bin}\left( n, \frac{\lambda}{n} \right)$ und $\cN \sim \text{Poisson}(\lambda)$:
 $\forall k \in \N \quad \limni \P[\cX_i = k] = \P[\cN = k]$