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synced 2026-07-27 21:29:09 +02:00
[PS] Start rewrite of max likelihood section
Also adds various small quality of life improvements and simpler explanations
This commit is contained in:
@@ -1,4 +1,7 @@
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\subsection{Unabhängigkeit}
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\label{sec:basics-indep}
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\bi{Siehe zudem} Abschnitt \ref{sec:rv-indep}
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\shortdefinition $A, B \in \cF$ \bi{unabh.} falls $\P[A \cap B] = \P[A] \cdot \P[B]$
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\shortremark Falls $\P[A] \in \{0, 1\}$: $\forall B \in \cF \; \P[A \cap B] = \P[A] \P[B]$.
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@@ -1,6 +1,8 @@
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% P26
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\subsection{Unabhängigkeit}
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\label{sec:rv-indep}
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\bi{Siehe zudem} Abschnitt \ref{sec:basics-indep}
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\shortdefinition Z.V. $\cX_1, \ldots, \cX_n$ sind \bi{unabh.} falls
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$\forall x_1, \ldots, x_n \in \R$ $\P[\cX_1 \leq x_1, \ldots, \cX_n \leq x_n] = \P[\cX_1 \leq x_1] \cdots \P[\cX_n \leq x_n]$
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@@ -9,6 +11,8 @@ $\{ \cX_1 \in I_1 \}, \ldots, \{ \cX_n \in I_n \}$ unabhängig
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\shortdefinition u.i.v. (i.i.d.) (unabhängig \& identisch verteilt) Z.V.
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\shortremark Paarweise unabh. $\centernot{\Rightarrow}$ unabh. von allen Z.V. zusammen
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\subsubsection{Gruppierung}
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\shorttheorem $n$ ZV $\cX_i$ und $1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n$ sind indizes und $\phi_1, \ldots, \phi_k$ Abbildungen. Dann sind unabhängig:\\
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$Y_1 = \phi_1(\cX_1, \ldots, \cX_{i_1}), \ldots, Y_k = \phi_k(X_{i_k + 1}, \ldots, X_n)$
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@@ -1,16 +1,15 @@
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\newpage
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\subsection{Verteilungen}
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\subsubsection{Bernoulli-Verteilung}
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\shortdefinition $\cX \sim \text{Ber}(p)$: $\P[\cX = 0] = 1 - p$ und $\P[\cX = 1] = p$
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\shortdefinition $\cX \sim \text{Ber}(p)$: $\P[\cX = k] = p^k(1 - p)^{1 - k}$ mit $k \in \{ 0, 1 \}$
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\subsubsection{Binomialverteilung}
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\shortdefinition $\cX \sim \text{Bin}(n, p)$, falls\\
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$\forall k \in \{ 0, \ldots, n \}\; \P[\cX = k] = {n \choose k} p^k (1 - p)^{n - k}$
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\shortdefinition $\cX \sim \text{Bin}(n, p)$, falls $\forall k \in \{ 0, \ldots, n \}$\\
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$\P[\cX = k] = {n \choose k} p^k (1 - p)^{n - k}$ ($F_\cX$ mit Summe berechnen)
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\shortremark $\sum_{k = 0}^{n} p(k) = \sum_{k = 0}^{n} \P[\cX = k] = (p + 1 - p)^n = 1$
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\shorttheorem $X_i \sim \text{Ber}(p_i)$ unab: $(S_n := \sum_{i = 0}^{n} X_i) \sim \text{Ber}(n, p)$
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\shortremark $\text{Bin}(1, p)$ ist $\text{Ber}(p)$ verteilt. Für $X, Y \sim \text{Bin}(n_i, p)$ mit $X, Y$ unabhängig dann ist $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$
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@@ -1,8 +1,8 @@
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\subsubsection{Geometrische Verteilung}
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{\scriptsize Warten auf den ersten Erfolg (in $\8$ Folge von Bernoulli-Experimenten)}
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\shortdefinition $\cX \sim \text{Geom}(p)$ mit $W = \N \backslash \{0\}$ falls $\forall k \in W$\\
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$\P[\cX = k] = (1 - p)^{k - 1} p$
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\shortdefinition $\cX \sim \text{Geom}(p)$ mit $W = \N \backslash \{0\}$ und $p \in [0, 1]$,\\
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falls $\forall k \in W$ $\P[\cX = k] = (1 - p)^{k - 1} p$
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\shortremark[Verteilung] $F_\cX(k) = 1 - (1 - p)^k$
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@@ -1,8 +1,8 @@
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\subsubsection{Negativbinomiale Verteilung}
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{\scriptsize Warten auf den $r$-ten Erfolg (in $\8$ Folge von Bernoulli-Experimenten)}
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\shortdefinition $\cX \sim \text{NBin}(r, p)$, falls\\
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$\displaystyle \forall k \in \{r, r + 1, \ldots \} \quad \P[\cX = k] = {k - 1 \choose r - 1} p^r (1 - p)^{k - r}$
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\shortdefinition $\cX \sim \text{NBin}(r, p)$, falls $\forall k \in \{r, r + 1, \ldots \}$\\
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$\displaystyle \P[\cX = k] = {k - 1 \choose r - 1} p^r (1 - p)^{k - r}$ ($F_\cX$ mit Summe)
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\shorttheorem $\cX_i \sim \text{Ber}(p)$, dann\\
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$T_r := \inf \left\{ n \geq 1\; \big|\; \sum_{l = 1}^{n} \cX_l = r \right\} \sim \text{NBin}(r, p)$
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@@ -1,5 +1,5 @@
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\subsubsection{Hypergeometrische Verteilung}
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{\scriptsize $r$ Elemente vom Typ I, $n - r$ El. vom Typ II, $m$ davon gezogen, ohne Zurücklegen}
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\shortdefinition $\cX \sim \text{H}(n, r, m)$, falls\\
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$\displaystyle \forall k \in \{ 0, \ldots, \min(m, r) \} \quad \P[\cX = k] = \frac{{r \choose k} {n - r \choose m - k}}{{n \choose m}}$
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\shortdefinition $\cX \sim \text{H}(n, r, m)$, falls $\forall k \in \{ 0, \ldots, \min(m, r) \}$ \\
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||||
$\displaystyle \P[\cX = k] = \frac{{r \choose k} {n - r \choose m - k}}{{n \choose m}}$ ($F_\cX$ mit Summe berechnen)
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@@ -2,7 +2,7 @@
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{\scriptsize Approximation von Binomialverteilung}
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\shortdefinition $\cX \sim \text{Poisson}(\lambda)$ mit $\lambda > 0 \in \R$, falls\\
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$\forall k \in \N \quad \P[\cX = k] = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$
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$\forall k \in \N \quad \P[\cX = k] = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \qquad F_\cX(k) = e^{-\lambda} \sum_{j = 0}^{k} \frac{\lambda^j}{j!}$
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\shorttheorem Für $n \in \N$ Z.V. $\cX_i \sim \text{Bin}\left( n, \frac{\lambda}{n} \right)$ und $\cN \sim \text{Poisson}(\lambda)$:
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$\forall k \in \N \quad \limni \P[\cX_i = k] = \P[\cN = k]$
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@@ -40,7 +40,7 @@ $\forall k \in \{ 1, \ldots, n \}$ und $\forall x \in W_k$ gilt:
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F_{\cX_k}(x) = \lim_{\elementstack{x_l \rightarrow \8}{l \in \{ 1, \ldots, n \} \backslash \{ k \}}} F(x_1, \ldots, x_{k - 1}, x, x_{k + 1}, \ldots, x_n)
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\]
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\shorttheorem[Erwartungswert Bild] (Solange Summe wohldefiniert ist, summieren über $x_1 \in W_1, \ldots, x_n \in W_n$)
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\shorttheorem[Erwartungswert Bild] (Solange $\Sigma$ wohldef, summieren über $x_1 \in W_1, \ldots, x_n \in W_n$), siehe rechts für details
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\[
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\E[\varphi(\cX_1, \ldots, \cX_n)] = \sum_{x_1, \ldots, x_n} \varphi(x_1, \ldots, x_n) p(x_1, \ldots, x_n)
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\]
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@@ -49,5 +49,5 @@ $\forall k \in \{ 1, \ldots, n \}$ und $\forall x \in W_k$ gilt:
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\begin{itemize}
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\item $\cX_1, \ldots, \cX_n$ sind unabhängig
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\item $\forall x_1 \in W_1, \ldots, x_n \in W_n$ gilt (prod. Randv. von $\cX_i$)
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\[ p(x_1, \ldots, x_n) = \P[\cX_1 = x_1] \cdot \ldots \cdot \P[\cX_n = x_n] \]
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||||
\[ p(x_1, \ldots, x_n) = \P[\cX_1 = x_1] \cdot \ldots \cdot \P[\cX_n = x_n] \]
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\end{itemize}
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@@ -29,6 +29,7 @@ Jeder Funk. $f$ die obiges erfüllt ein W-Raum $(\Omega, \cF, \P)$ und $n$-Z.V.
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\[
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\E[\varphi(\cX_1, \ldots)] \! = \! \int_{-\8}^{\8} \ldots \int_{-\8}^{\8} \varphi(x_1, \ldots) f(x_1, \ldots) \dx x_n \ldots
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\]
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{\scriptsize $\varphi$ ist bspw. für $\E[\cX\cY]$, $\varphi(\cX, \cY) = \cX \cdot \cY$, Integralgrenzen nach $f(x_1, \ldots)$}
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\shortdefinition[Randverteilung] Falls $\cX, \cY$ gemeinsame Verteilung $F$ haben, so ist die Verteilungsfunktion der \bi{Randverteilung} von $\cX$,
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$F_\cX : \R \rightarrow [0, 1]$ gegeben durch:
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@@ -2,4 +2,6 @@
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{\scriptsize \shortterm In Zusammenhang mit Zufallsvariablen auch \bi{Sichprobenmittel} genannt. Realisierung wird \bi{empirischer Mittelwert} genannt}
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\shortremark \hl{Vereinfacht}: Beide besagen, dass $\limit{n}{\8} \overline{\cX}_n \approx \E[\cX_k]$
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% TODO: Possibly add the remark from P288 (P6 in Slide Deck 6) on expected value
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@@ -1,7 +1,7 @@
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\subsection{Starkes Gesetz der grossen Zahlen}
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\shorttheorem[Starkes GGZ] Für $\cX_1, \ldots$ mit $\cX_k$ unabhängig mit $\E[\cX_k]$ endlich. Für
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\[
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\overline{\cX}_n = \frac{1}{n} S_n = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k
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\overline{\cX}_n = \frac{1}{n} S_n = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k
|
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\]
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gilt $\overline{\cX}_n \overset{n \rightarrow \8}{\longrightarrow} \mu \quad \P$-fast sicher, also
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\[
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@@ -2,7 +2,7 @@
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\shortterm \bi{Stichprobe} Die Gesamtheit der Beobachtungen $x_1, \ldots, x_n$ oder Z.V. $\cX_1, \ldots, \cX_n$. $n$ ist \bi{Stichprobenumfang}
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% TODO: Think of more concise def
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\shortdefinition[Parameterraum] Ein Datensatz $x_1, \ldots, x_n$ aus einer Stichprobe $\cX_1, \ldots, \cX_n$ kann durch (evtl. hochdimimensionalem)
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||||
\bi{Param.} $\vartheta$ aus \bi{Param.-Raum} $\Theta$ dargestellt werden.
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||||
\shortdefinition[Parameterraum] Ein Datensatz $x_1, \ldots, x_n$ aus einer Stichprobe $\cX_1, \ldots, \cX_n$ kann durch (evtl. hochdim.)
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\bi{Param.} $\vartheta$ aus \bi{Param.-Raum} $\Theta$ dargestellt werden. $\vartheta$ ist dabei oft die Param der Verteilung (bspw. $\vartheta = (\mu, \sigma^2)$ bei Normalv.).
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Wir betrachten jeweils \textit{Familie von W-Räumen}, $(\Omega, \cF, \P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta}$.\\
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{\scriptsize Wir haben normalen Grundraum plus W-Mass $\P_\vartheta$}
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@@ -1,6 +1,7 @@
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\subsection{Schätzer}
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\label{sec:estimators}
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\shortdefinition[Schätzer] ist eine Z.V. der Form $T_l = t_l(\cX_1, \ldots, \cX_n)$, mit zu findender \bi{Schätzfunktion} $t_l : \R^n \rightarrow \R$.
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Einsetzen von Daten liefer dann \bi{Schätzwerte}. Oft schreiben wir $T = (T_1, \ldots, T_m)$ und $\vartheta = (\vartheta_1, \ldots, \vartheta_m)$
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\shortremark \bi{Schätzwert} ist Zahl ($T_l(\omega)$), \bi{Schätzer} ist Z.V. ($T_l$)
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@@ -3,20 +3,20 @@
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In Modell $\P_\vartheta$ sind $\overrightarrow{\cX} = (\cX_1, \ldots, \cX_n)$ entweder
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\begin{itemize}
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\item \bi{diskret} (gem. Gew. $p_{\overrightarrow{\cX}} (x_1, \ldots, x_n; \vartheta)$)
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\item \bi{stetig} (gem. Dichte $f_{\overrightarrow{\cX}} (x_1, \ldots, x_n; \vartheta)$)
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||||
\item \bi{diskret} (gem. Gew. $p_{\overrightarrow{\cX}} (x_1, \ldots, x_n; \vartheta)$)
|
||||
\item \bi{stetig} (gem. Dichte $f_{\overrightarrow{\cX}} (x_1, \ldots, x_n; \vartheta)$)
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||||
\end{itemize}
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Da oft $X_k$ i.i.d mit individueller Gew. $p_\cX(x; \vartheta)$ bzw. Dichte $f_\cX(x; \vartheta)$ sind, also (mit $g$ ersetzt durch $p$ oder $f$)
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\[
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g_{\overrightarrow{\cX}}(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) = \prod_{k = 1}^n g_\cX(x_k; \vartheta)
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||||
g_{\overrightarrow{\cX}}(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) = \prod_{k = 1}^n g_\cX(x_k; \vartheta)
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\]
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\shortdefinition[Likelihood-Funktion]
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\[
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L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) = \begin{cases}
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||||
p_{\overrightarrow{\cX}}(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) & \text{im diskreten Fall} \\
|
||||
f_{\overrightarrow{\cX}}(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) & \text{im stetigen Fall}
|
||||
\end{cases}
|
||||
L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) = \begin{cases}
|
||||
p_{\overrightarrow{\cX}}(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) & \text{im diskreten Fall} \\
|
||||
f_{\overrightarrow{\cX}}(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) & \text{im stetigen Fall}
|
||||
\end{cases}
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\]
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||||
\bi{log-Likelihood-Funktion} $l(\vartheta) = \log(L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta))$. Ist im i.i.d-Fall eine Summe. \hl{\textbf{Immer in $p$ $k$ durch $x_k$ ersetzen!!}}
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@@ -24,75 +24,68 @@ Da oft $X_k$ i.i.d mit individueller Gew. $p_\cX(x; \vartheta)$ bzw. Dichte $f_\
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\shortdefinition[ML-Schätzer] $T_{ML}$ für $\vartheta$ maximiert die Funktion $\vartheta \mapsto L(\cX_1, \ldots, \cX_n; \vartheta)$ für alle $\vartheta$, also
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\[
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||||
T_{ML} = t_{TM}(\cX_1, \ldots, \cX_n) \in \underset{\vartheta \in \Theta}{\text{argmax}}\; L(\cX_1, \ldots, \cX_n; \vartheta)
|
||||
T_{ML} = t_{TM}(\cX_1, \ldots, \cX_n) \in \underset{\vartheta \in \Theta}{\text{argmax}}\; L(\cX_1, \ldots, \cX_n; \vartheta)
|
||||
\]
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||||
{\scriptsize Wir suchen besten $t_{TM}$, durch geschickte Wahl von $\vartheta$}\\
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||||
Meistens sind $\cX_k$ i.i.d. unter $\P_\vartheta$, dann $L$ produkt, also besser $\log(L)$ maximieren (da Summe).
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\shortremark
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\hl{Einfacher:} Statt max., Nullstellen von Abl. (einfachheitshalber von $l(\vartheta)$) nach $\vartheta$.
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\shortremark Suchen oft optimales $L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta)$,
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da es einfacher ist, ersetzen dann $x_1, \ldots$ durch $\cX_1, \ldots$
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\shortexample[Von Serie] Kalibrierung von Gerät bis erfolgreich. $\cX \sim \text{Geo}(\theta)$ Anzahl Versuche, mit $\P_\theta[\cX = k] = \theta (1 - \theta)^{k - 1}$,
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gesucht $\theta$, $\cX_i$ unter $\P_\theta$ u.i.v. \bi{Aufgaben}
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||||
\underline{LH-Func und $\log$-LH}: Mit Beobachtungen $x_i$ berechnen.\\
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||||
$L(x_1, \ldots; \theta) = \ldots = \prod_{k = 1}^n \theta (1 - \theta)^{x_k - 1}$ (s. \ref{sec:series}),\\
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||||
$l(\theta) = n \ln(\theta) + (S - n) \ln(1 - \theta)$, mit $S = \sum_{k = 1}^n x_k$.\\
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$\log(0)$ möglich (wenn $\theta = 1$ und $S \neq n$, ohne expanding)
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\underline{ML-Sch}: $S > n$: $l'(\theta) = \frac{n}{\theta} + \frac{S - n}{1 - \theta}$,
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||||
Nullstelle von $l'(\theta)$ ist $\hat{\theta} = \frac{n}{S}$, check mit $l''(\frac{n}{S}) < 0$, ist max. Also ist $T_{ML} = \frac{n}{\sum_{k = 1}^{n} \cX_k}$
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\underline{Mit Werten} Einfach einsetzen und auflösen.
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% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
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\shortexample \bi{Verteilungen} (Dimension $\vartheta$ gleich dim. param der V.)\\
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\coloredbox{red}{REWRITE}{
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This section is undergoing a rewrite currently.
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When complete, there will be estimators for (pretty much) every covered distribution
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}
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\shortexample[How To] Finden von ML-Schätzern:
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\begin{enumerate}
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\item log-LH-Funk. bestimmen ($x_i$ statt $\cX_i$ verwenden)
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||||
\item Nach $\vartheta$ ableiten (oder wodurch $\vartheta$ ersetzt wurde)
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||||
\item Nullstelle davon berechnen
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||||
\item ML-Schätzer ist dann Nullstelle von Ableitung (mit $x_i$ wieder durch $\cX_i$ ersetzt)
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||||
\end{enumerate}
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\shortexample[ML-Schätzer von Verteilungen]
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{\scriptsize $n$ hier wenn nicht anders definiert, die Anzahl an Z.V. als arg von Dichte / Gewicht}
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\highlight{Bernoulli} $\cX_i \sim \text{Ber}(p)$ i.i.d, hier $\vartheta = p$. Dabei:
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$p_\cX(x; \vartheta) = \P_\vartheta[\cX = x] = \vartheta^x (1 - \vartheta)^{1 - x}$ mit $x \in \{0, 1\}$, $S = \sum_{k = 1}^{n}x_k$
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||||
\[
|
||||
L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) = \vartheta^{S} (1 - \vartheta)^{n - S}
|
||||
L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) = \vartheta^{S} (1 - \vartheta)^{n - S}
|
||||
\]
|
||||
Log LH-Func: $\log(\vartheta) \cdot S + \log(1 - \vartheta) \left( n - S \right)$\\
|
||||
\bi{Log LH-Func}: $l(\vartheta) = \log(\vartheta) \cdot S + \log(1 - \vartheta) \left( n - S \right)$\\
|
||||
\bi{ML-Schätzer}: $T = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k = \overline{\cX}_n$
|
||||
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||||
\fbox{\bi{Normalverteilung}} $\cX_i \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ i.i.d. ($\sigma^2 = v$):
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||||
\[
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||||
f_\cX(x; \vartheta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi v}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2v}}
|
||||
\]
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||||
Weil i.i.d (und $\vartheta = (\mu, \sigma^2) = (\mu, v)$):
|
||||
\[
|
||||
L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta) = \prod_{k = 1}^n f_\cX(x_k; \vartheta)
|
||||
\]
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||||
und somit ($l(\vartheta) = \log(L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta))$):
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||||
\[
|
||||
l(\vartheta) = -\frac{1}{2} n(\log(2 \pi) + \log(v)) - \sum_{k = 1}^{n} \frac{(x_k - \mu)^2}{2v}
|
||||
\]
|
||||
Ableitungen nach $\mu$ und $v$ (beide $0$ für Max, $l$ kurz für $l(\vartheta)$):
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||||
\[
|
||||
\partial_\mu l = 2 \sum_{k = 1}^{n} \frac{x_k - \mu}{2v} \quad
|
||||
\partial_v l = - \frac{n}{2v} + \frac{1}{2v^2} \sum_{k = 1}^n (x_k - \mu)^2
|
||||
\]
|
||||
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
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||||
Der \bi{Schätzer} ist $T = (T_1, T_2)$ (\textbf{Momentschätzer}):
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||||
\highlight{Geometrisch} dabei $\vartheta = p$ und \bi{Log LH-Func}
|
||||
\[
|
||||
T_1 = \overline{\cX}_n \quad
|
||||
T_2 = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k^2 - (\overline{\cX}_n)^2
|
||||
l(\vartheta) = n \ln(\vartheta) + (S - n) \ln(1 - \vartheta) \qquad S \text{ wie bei Ber}
|
||||
\]
|
||||
Für $T$ gilt: $(\E_\vartheta[\cX], \V_\vartheta[\cX])$. Ist nicht Erwartungstreu.
|
||||
Es gilt $\E_\vartheta[\cX_k \cX_l] = \E_\vartheta[\cX_k] \E_\vartheta[\cX_l] = \E_\vartheta[\cX]^2$
|
||||
und folglich:
|
||||
\bi{ML-Schätzer} $T = \frac{n}{S}$
|
||||
|
||||
% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
|
||||
\highlight{Poisson} dabei $\vartheta = \lambda$ und \bi{Log LH-Func}
|
||||
\[
|
||||
\E_\vartheta[(\overline{\cX}_n)^2] = \frac{1}{n} \E_\vartheta[\cX^2] + \frac{n^2 - n}{n^2} (\E_\vartheta[\cX])^2
|
||||
l(\vartheta) = -n \vartheta \lambda + \log(\lambda) \sum_{i = 1}^{n} x_i - \sum_{i = 1}^{n} \log(x_i!)
|
||||
\]
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\bi{ML-Schätzer} ist $T = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_i$
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\fbox{\bi{Normalverteilung}}\\
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$\cX_i \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ i.i.d. und $\vartheta = (\mu, \sigma^2) = (\mu, v)$). \bi{Likelihood-Funktion} wie üblich und somit ist \bi{Log LH-Func}:
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\[
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l(\vartheta) = -\frac{1}{2} n(\log(2 \pi) + \log(v)) - \sum_{k = 1}^{n} \frac{(x_k - \mu)^2}{2v}
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\]
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Der \bi{Momentschätzer} ist $T = (T_1, T_2) = (E_\vartheta[\cX], \V_\vartheta[\cX])$:
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\[
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T_1 = \overline{\cX}_n \qquad
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T_2 = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k^2 - (\overline{\cX}_n)^2
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\]
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\bi{Erwartungstreuer Schätzer} für $(\E_\vartheta[\cX], \V_\vartheta[\cX])$ (s. \ref{sec:estimators}):
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\[
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T_1' = T_1 \quad
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T_2' = \frac{n}{n - 1} T_2
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T_1' = T_1 \quad
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T_2' = \frac{n}{n - 1} T_2
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\]
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{\scriptsize $T_2'$ ist (korrigierte) empirische (Stichproben)varianz \textit{((un)biased sample variance)}.
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Bei höherdimensionalen Parametern suchen wir den zugehörigen Nullvektor.}
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@@ -12,7 +12,7 @@ Sie heissen \bi{Einfach}, falls $\Theta_0 = \{ \vartheta_0 \}$, resp. $\Theta_A
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\shortdefinition[Test] ist ein Paar $(T, K)$ mit
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\begin{itemize}
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\item \bi{Teststatistik} $T = t(\cX_1, \ldots, \cX_n)$ eine Zufallsvariable mit messbarer Funktion $t: \R^n \rightarrow \R$
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\item \bi{Teststatistik} $T = t(\cX_1, \ldots, \cX_n)$ eine Zufallsvariable mit messbarer Funktion $t: \R^n \rightarrow \R$ (oft LQ)
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\item \bi{Verwerfungsbereich} $K \subseteq \R$ (auch \textit{kritischer Bereich})
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\end{itemize}
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\shade{gray}{Entscheidungsregel} $H_0$ wird \textit{verworfen}, falls $T(\omega) \in K$, sonst \textit{angenommen}, bzw. nicht verworfen
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@@ -1,4 +1,4 @@
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\subsection{Permutationen}
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{\scriptsize Auf wieviele Arten kann man $n$ Objekte anordnen}
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\bi{ohne Wiederholung} $n!$
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\bi{ohne Wiederholung} $n!$. Zudem \hl{${n \choose 0} = 1$} nach Konvention
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@@ -55,3 +55,6 @@ $\cosh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} : \R
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\subsubsection{Reihen}
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\label{sec:series}
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$\prod_{k = 1}^{n} \vartheta (1 - \vartheta)^{x_k - 1} = \vartheta^n (1 - \vartheta)^{S - n}$ mit $S = \sum_{k = 1}^{n} x_k$
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% TODO: Add log and power laws
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@@ -1,4 +1,6 @@
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\newpage
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\subsection{Tabelle von Auf- und Ableitungen}
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Für Integrale von stückweisen Funktionen, stückweise Integrieren und aufsummieren.
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\begin{scriptsize}
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\begin{tables}{lll}{\tr{Antiderivative}{Stammfunktion} & \tr{Function}{Funktion} & \tr{Derivative}{Ableitung}}
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$\displaystyle \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ & $x^n$ & $n \cdot x^{n - 1}$ \\
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@@ -40,14 +42,14 @@
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$\arcsin \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ \\
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$\frac{1}{a}\arctan \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{a^2 - x^2}$ \\
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\end{tables}
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\begin{tables}{cc}{$F(x)$ & $f(x)$}
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$-\frac{1}{a} \cos(ax + b)$ & $\sin(ax + b)$ \\
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$\frac{1}{a} \sin(ax + b)$ & $\cos(ax + b)$ \\[1mm]
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\hline
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$x^x$ & $x^x \cdot (1 + \ln|x|)$ \\
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$(x^x)^x$ & $(x^x)^x \cdot (x + 2x\ln|x|)$ \\
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$x^{(x^x)}$ & $x^{(x^x)} \cdot (x^{x - 1} + \ln|x| \cdot x^x (1 + \ln|x|))$ \\
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\hline \\[-3mm]
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$\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2} \sin(2x))$ & $\sin(x)^2$ \\[1mm]
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$\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2} \sin(2x))$ & $\cos(x)^2$ \\
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\end{tables}
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% \begin{tables}{cc}{$F(x)$ & $f(x)$}
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% $-\frac{1}{a} \cos(ax + b)$ & $\sin(ax + b)$ \\
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% $\frac{1}{a} \sin(ax + b)$ & $\cos(ax + b)$ \\[1mm]
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% \hline
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% $x^x$ & $x^x \cdot (1 + \ln|x|)$ \\
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||||
% $(x^x)^x$ & $(x^x)^x \cdot (x + 2x\ln|x|)$ \\
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||||
% $x^{(x^x)}$ & $x^{(x^x)} \cdot (x^{x - 1} + \ln|x| \cdot x^x (1 + \ln|x|))$ \\
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% \hline \\[-3mm]
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% $\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2} \sin(2x))$ & $\sin(x)^2$ \\[1mm]
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% $\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2} \sin(2x))$ & $\cos(x)^2$ \\
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% \end{tables}
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