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semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/00_fourier.tex

@@ -67,6 +67,7 @@ Dann verwandeln sich die Integrale in die Form $\frac{1}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{
 \inlinedef Eine Funktion $f$ ist der $L^2$-Grenzwert von Funktionenfolgen $f_n \in L^2(0, 1)$, wenn für $n \rightarrow \infty$ gilt, dass $||f - f_n||_{L^2(0, 1)} \rightarrow 0$
 
 
+\newpage
 \begin{theorem}[]{Fourier-Reihe}
     Jede Funktion $f \in L^2(0, 1)$ ist der Grenzwert ihrer Fourier-Reihe:
     \rmvspace

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/00_intro.tex

@@ -22,6 +22,7 @@ Der Beweis hierfür ist im Skript auf p. $71$. Die $N$-te Einheitswurzel wird hi
 \fancydef{$N$-te Einheitswurzel} $\omega_N := \exp(\frac{-2\pi i}{N})$
 
 \fancyremark{Eigenschaften von $\omega_N$}
+\vspace{-1.5pc}
 \begin{multicols}{3}
 \begin{align*}
     \forall j,k \in \mathbb{Z}:\quad                 & \omega_N^{k+jN}=\omega_N^k \\
@@ -43,3 +44,4 @@ Der Beweis hierfür ist im Skript auf p. $71$. Die $N$-te Einheitswurzel wird hi
 \end{align*}
 \newcolumn
 \end{multicols}
+\vspace{-1.5pc}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/01_construction.tex

@@ -4,9 +4,9 @@ Wir definieren die Trigonometrische Basis. Den Basiswechsel zu dieser Basis nenn
 
 \fancydef{Trigonometrische Basis}\\
 \begin{align*}
-    \{v_0, v_{N-1}\} \text{ ist eine Basis von } \mathbb{C}^N, \text{ wobei } v_k = 
+    \{v_0, \ldots, v_{N-1}\} \text{ ist eine Basis von } \mathbb{C}^N, \text{ wobei } v_k =
     \begin{bmatrix}
-        \omega_N^{0\cdot k} \\ \omega_N^{1\cdot k}1 \\ \vdots \\ \omega_N^{(N-1)\cdot k}
+        \omega_N^{0\cdot k} \\ \omega_N^{1\cdot k} \\ \vdots \\ \omega_N^{(N-1)\cdot k}
     \end{bmatrix}
     \in \mathbb{C}^N
 \end{align*}
@@ -19,32 +19,35 @@ An Hand von $V$ definieren wir gleich die Fourier-Matrix $F_N$.
 \end{align*}
 
 Der Eintrag $y_l$ enstspricht einem Glied der Fourier-Reihe ausgewertet in $\frac{l}{N} \in [0,1)$. \\
-Die diskreten Fourier-Koeffizienten $\gamma_k$ sind eine Umsortierung der trigonometrischen Basis Koeffizienten.
+Die diskreten Fourier-Koeffizienten $\gamma_k$ sind eine Umsortierung der Koeffizienten der trigonometrischen Basis.
 \begin{multicols}{2}
-\begin{align*}
-    y = \underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} y_k e_{k+1}}_{y \text{ in Komponenten}} = \underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} z_k v_k}_{\text{in Trig. Basis}} = \sum_{k=0}^{N-1} z_k \begin{bmatrix}
+    \begin{align*}
+        y = \underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} y_k e_{k+1}}_{y \text{ in Komponenten}} = \underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} z_k v_k}_{\text{in Trig. Basis}} = \sum_{k=0}^{N-1} z_k
+        \begin{bmatrix}
             \omega_N^{0 \cdot k} \\ \omega_N^{1 \cdot k} \\ \omega_N^{2 \cdot k} \\ \vdots \\ \omega_N^{(N-1) \cdot k}
         \end{bmatrix}
-\end{align*}
-\newcolumn
+    \end{align*}
+    \newcolumn
 
-\begin{align*}
-    y_l &= \sum_{k=0}^{N-1} z_k \omega_N^{l \cdot k} \overset{\text{S. 75}}{=} \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \gamma_k \cdot \exp(\frac{2\pi i}{N}lk) \\
-    \text{wobei }\gamma_k &= \begin{cases}
+    \begin{align*}
+        y_l                   & = \sum_{k=0}^{N-1} z_k \omega_N^{l \cdot k} \overset{\text{S. 75}}{=} \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \gamma_k \cdot \exp(\frac{2\pi i}{N}lk) \\
+        \text{wobei }\gamma_k & =
+        \begin{cases}
             z_k,   & 0 < k \leq \frac{N}{2}-1 \\
             z_k+N, & -\frac{N}{2} \leq k < 0
         \end{cases}
-\end{align*}
+    \end{align*}
 \end{multicols}
 
-\fancydef{Fourier-Matrix}\\
+\fancydef{Fourier-Matrix}
 \begin{align*}
-    F_N := V^H = [v_0, \ldots, v_{N-1}]^H = \begin{bmatrix}
+    F_N := V^H = [v_0, \ldots, v_{N-1}]^H =
+    \begin{bmatrix}
         \omega_N^0 & \omega_N^0     & \cdots & \omega_N^0         \\
         \omega_N^0 & \omega_N^1     & \cdots & \omega_N^{N-1}     \\
         \omega_N^0 & \omega_N^2     & \cdots & \omega_N^{2(N-1)}  \\
         \vdots     & \vdots         &        & \vdots             \\
-        \omega_N^0 & \omega_N^{N-1} &\cdots & \omega_N^{(N-1)^2} 
+        \omega_N^0 & \omega_N^{N-1} & \cdots & \omega_N^{(N-1)^2}
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/02_fftshift.tex

@@ -1,9 +1,9 @@
 \subsubsection{DFT in Numpy}
 
 Sei $y$ in der Standardbasis, und $c = \mathcal{F}_N(y)$, also $y$ in der trig. Basis.
-$$
-    c = F_N \times y = \verb|fft|(y)\quad \textit{(DFT in numpy)} \quad \quad \quad y = \frac{1}{N}F_N^Hc = \verb|ifft|(c)\quad \textit{(Inverse DFT in numpy)}
-$$
+\begin{align*}
+    c = F_N \times y = \texttt{fft}(y)\quad \text{\textit{(DFT in numpy)}} & y = \frac{1}{N}F_N^Hc = \texttt{ifft}(c)\quad \textit{(Inverse DFT in numpy)}
+\end{align*}
 
 Um zur ursprünglichen Darstellung des trig. Polynoms zurück zu kommen, müssen wir die Koeffizienten umsortieren: \\
 Seien $z = \frac{1}{N} F_N y$ und  $\zeta = \verb|fft.fftshift|(z)$.
@@ -12,14 +12,15 @@ Seien $z = \frac{1}{N} F_N y$ und  $\zeta = \verb|fft.fftshift|(z)$.
 \end{align*}
 \setcounter{all}{13}
 \inlineremark Man kann mit dieser Approximation einfach die $L^2$-Norm und Ableitungen berechnen:
+\vspace{-1.5pc}
 \begin{multicols}{2}
-\begin{align*}
+    \begin{align*}
         ||f||^2_{L^2} \approx \left\Vert \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx} \right\Vert^2_{L^2} = \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} |\zeta_k|^2 = \Vert z \Vert^2_{L^2}
-\end{align*}
+    \end{align*}
 
-\newcolumn
+    \newcolumn
 
-\begin{align*}
+    \begin{align*}
         f'(t) \approx \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} (2\pi ik) \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx}
-\end{align*}
+    \end{align*}
 \end{multicols}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/03_linalg.tex

@@ -56,7 +56,7 @@ Die Shift Matrix $S_N$ ist der Zirkulant für $c=e_2$. $S_N$ ist eine Permutatio
 
 Die Shift-Matrix hat einen speziellen Bezug zu den Spaltenvektoren $v_k$ von $F_N$, und auch allen anderen Zirkulanten $C$.
 
-\inlineremark Der $k$-te Fourier-vektor $v_k$ ist ein Eigenvektor von $S_N$ zu $\lambda_k = e^{2\pi i \frac{k}{N}}$.
+\inlineremark Der $k$-te Fourier-Vektor $v_k$ ist ein Eigenvektor von $S_N$ zu $\lambda_k = e^{2\pi i \frac{k}{N}}$.
 
 \fancytheorem{Diagonalisierung von Zirkulanten} Die Eigenvektoren von $S_N$ diagonalisieren jeden Zirkulanten $C$, und sind d.h. auch die Eigenvektoren von $C$.
 Die Eigenwerte erhält man aus $p(z) = c_0z^0 + \ldots + c_{N-1}z^{N-1}$.