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Janis Hutz
2025-10-10 11:45:53 +02:00
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semester3/numcs/numcs-summary.pdf
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1
semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/00_fourier.tex
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@@ -67,6 +67,7 @@ Dann verwandeln sich die Integrale in die Form $\frac{1}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{
\inlinedef Eine Funktion $f$ ist der $L^2$-Grenzwert von Funktionenfolgen $f_n \in L^2(0, 1)$, wenn für $n \rightarrow \infty$ gilt, dass $||f - f_n||_{L^2(0, 1)} \rightarrow 0$
\newpage
\begin{theorem}[]{Fourier-Reihe}
Jede Funktion $f \in L^2(0, 1)$ ist der Grenzwert ihrer Fourier-Reihe:
\rmvspace

4
semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/00_intro.tex
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@@ -22,6 +22,7 @@ Der Beweis hierfür ist im Skript auf p. $71$. Die $N$-te Einheitswurzel wird hi
\fancydef{$N$-te Einheitswurzel} $\omega_N := \exp(\frac{-2\pi i}{N})$
\fancyremark{Eigenschaften von $\omega_N$}
\vspace{-1.5pc}
\begin{multicols}{3}
\begin{align*}
\forall j,k \in \mathbb{Z}:\quad & \omega_N^{k+jN}=\omega_N^k \\
@@ -42,4 +43,5 @@ Der Beweis hierfür ist im Skript auf p. $71$. Die $N$-te Einheitswurzel wird hi
\end{cases}
\end{align*}
\newcolumn
\end{multicols}
\end{multicols}
\vspace{-1.5pc}

59
semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/01_construction.tex
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@@ -2,54 +2,57 @@
Wir definieren die Trigonometrische Basis. Den Basiswechsel zu dieser Basis nennen wir diskrete Fourier Transformation.
\fancydef{Trigonometrische Basis}\\
\fancydef{Trigonometrische Basis}\\
\begin{align*}
\{v_0, v_{N-1}\} \text{ ist eine Basis von } \mathbb{C}^N, \text{ wobei } v_k =
\{v_0, \ldots, v_{N-1}\} \text{ ist eine Basis von } \mathbb{C}^N, \text{ wobei } v_k =
\begin{bmatrix}
\omega_N^{0\cdot k} \\ \omega_N^{1\cdot k}1 \\ \vdots \\ \omega_N^{(N-1)\cdot k}
\end{bmatrix}
\omega_N^{0\cdot k} \\ \omega_N^{1\cdot k} \\ \vdots \\ \omega_N^{(N-1)\cdot k}
\end{bmatrix}
\in \mathbb{C}^N
\end{align*}
Die symmetrische, nicht hermitesche Matrix $V = [v_0,\ \ldots\ , v_{N-1}]$ ist eine orthogonale Basis für $\mathbb{C}^N$: $V^HV = N\cdot I_N$.\\
Ebenfalls ist $V$ die Basiswechsel Matrix Trigonometrische Basis ($z$) $\mapsto$ Standardbasis ($y$).\\
Ebenfalls ist $V$ die Basiswechsel Matrix Trigonometrische Basis ($z$) $\mapsto$ Standardbasis ($y$).\\
An Hand von $V$ definieren wir gleich die Fourier-Matrix $F_N$.
\begin{align*}
y = Vz \implies z = V^{-1}y = \frac{1}{N}V^Hy = \frac{1}{N}\underbrace{F_N}_{:= V^H} y
\end{align*}
Der Eintrag $y_l$ enstspricht einem Glied der Fourier-Reihe ausgewertet in $\frac{l}{N} \in [0,1)$. \\
Die diskreten Fourier-Koeffizienten $\gamma_k$ sind eine Umsortierung der trigonometrischen Basis Koeffizienten.
Die diskreten Fourier-Koeffizienten $\gamma_k$ sind eine Umsortierung der Koeffizienten der trigonometrischen Basis.
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
y = \underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} y_k e_{k+1}}_{y \text{ in Komponenten}} = \underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} z_k v_k}_{\text{in Trig. Basis}} = \sum_{k=0}^{N-1} z_k \begin{bmatrix}
\omega_N^{0 \cdot k} \\ \omega_N^{1 \cdot k} \\ \omega_N^{2 \cdot k} \\ \vdots \\ \omega_N^{(N-1) \cdot k}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\newcolumn
\begin{align*}
y = \underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} y_k e_{k+1}}_{y \text{ in Komponenten}} = \underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} z_k v_k}_{\text{in Trig. Basis}} = \sum_{k=0}^{N-1} z_k
\begin{bmatrix}
\omega_N^{0 \cdot k} \\ \omega_N^{1 \cdot k} \\ \omega_N^{2 \cdot k} \\ \vdots \\ \omega_N^{(N-1) \cdot k}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\newcolumn
\begin{align*}
y_l &= \sum_{k=0}^{N-1} z_k \omega_N^{l \cdot k} \overset{\text{S. 75}}{=} \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \gamma_k \cdot \exp(\frac{2\pi i}{N}lk) \\
\text{wobei }\gamma_k &= \begin{cases}
z_k, & 0 < k \leq \frac{N}{2}-1 \\
z_k+N, & -\frac{N}{2} \leq k < 0
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
y_l & = \sum_{k=0}^{N-1} z_k \omega_N^{l \cdot k} \overset{\text{S. 75}}{=} \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \gamma_k \cdot \exp(\frac{2\pi i}{N}lk) \\
\text{wobei }\gamma_k & =
\begin{cases}
z_k, & 0 < k \leq \frac{N}{2}-1 \\
z_k+N, & -\frac{N}{2} \leq k < 0
\end{cases}
\end{align*}
\end{multicols}
\fancydef{Fourier-Matrix}\\
\fancydef{Fourier-Matrix}
\begin{align*}
F_N := V^H = [v_0, \ldots, v_{N-1}]^H = \begin{bmatrix}
\omega_N^0 & \omega_N^0 & \cdots & \omega_N^0 \\
\omega_N^0 & \omega_N^1 & \cdots & \omega_N^{N-1} \\
\omega_N^0 & \omega_N^2 & \cdots & \omega_N^{2(N-1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\omega_N^0 & \omega_N^{N-1} &\cdots & \omega_N^{(N-1)^2}
F_N := V^H = [v_0, \ldots, v_{N-1}]^H =
\begin{bmatrix}
\omega_N^0 & \omega_N^0 & \cdots & \omega_N^0 \\
\omega_N^0 & \omega_N^1 & \cdots & \omega_N^{N-1} \\
\omega_N^0 & \omega_N^2 & \cdots & \omega_N^{2(N-1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\omega_N^0 & \omega_N^{N-1} & \cdots & \omega_N^{(N-1)^2}
\end{bmatrix}
=
=
\begin{bmatrix}
\omega_N^{jk}
\end{bmatrix}^{N-1}_{j,k = 0}
\end{bmatrix}^{N-1}_{j,k = 0}
\in \mathbb{C}^{N\times N}
\end{align*}

25
semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/02_fftshift.tex
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@@ -1,25 +1,26 @@
\subsubsection{DFT in Numpy}
Sei $y$ in der Standardbasis, und $c = \mathcal{F}_N(y)$, also $y$ in der trig. Basis.
$$
c = F_N \times y = \verb|fft|(y)\quad \textit{(DFT in numpy)} \quad \quad \quad y = \frac{1}{N}F_N^Hc = \verb|ifft|(c)\quad \textit{(Inverse DFT in numpy)}
$$
\begin{align*}
c = F_N \times y = \texttt{fft}(y)\quad \text{\textit{(DFT in numpy)}} & y = \frac{1}{N}F_N^Hc = \texttt{ifft}(c)\quad \textit{(Inverse DFT in numpy)}
\end{align*}
Um zur ursprünglichen Darstellung des trig. Polynoms zurück zu kommen, müssen wir die Koeffizienten umsortieren: \\
Seien $z = \frac{1}{N} F_N y$ und $\zeta = \verb|fft.fftshift|(z)$.
Seien $z = \frac{1}{N} F_N y$ und $\zeta = \verb|fft.fftshift|(z)$.
\begin{align*}
f(x) \approx \underbrace{\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx} }_{\text{Form des trig. Polynoms}}
\end{align*}
\setcounter{all}{13}
\inlineremark Man kann mit dieser Approximation einfach die $L^2$-Norm und Ableitungen berechnen:
\vspace{-1.5pc}
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
||f||^2_{L^2} \approx \left\Vert \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx} \right\Vert^2_{L^2} = \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} |\zeta_k|^2 = \Vert z \Vert^2_{L^2}
\end{align*}
\begin{align*}
||f||^2_{L^2} \approx \left\Vert \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx} \right\Vert^2_{L^2} = \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} |\zeta_k|^2 = \Vert z \Vert^2_{L^2}
\end{align*}
\newcolumn
\newcolumn
\begin{align*}
f'(t) \approx \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} (2\pi ik) \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx}
\end{align*}
\end{multicols}
\begin{align*}
f'(t) \approx \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} (2\pi ik) \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx}
\end{align*}
\end{multicols}

4
semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/03_linalg.tex
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@@ -56,7 +56,7 @@ Die Shift Matrix $S_N$ ist der Zirkulant für $c=e_2$. $S_N$ ist eine Permutatio
Die Shift-Matrix hat einen speziellen Bezug zu den Spaltenvektoren $v_k$ von $F_N$, und auch allen anderen Zirkulanten $C$.
\inlineremark Der $k$-te Fourier-vektor $v_k$ ist ein Eigenvektor von $S_N$ zu $\lambda_k = e^{2\pi i \frac{k}{N}}$.
\inlineremark Der $k$-te Fourier-Vektor $v_k$ ist ein Eigenvektor von $S_N$ zu $\lambda_k = e^{2\pi i \frac{k}{N}}$.
\fancytheorem{Diagonalisierung von Zirkulanten} Die Eigenvektoren von $S_N$ diagonalisieren jeden Zirkulanten $C$, und sind d.h. auch die Eigenvektoren von $C$.
Die Eigenwerte erhält man aus $p(z) = c_0z^0 + \ldots + c_{N-1}z^{N-1}$.
@@ -101,4 +101,4 @@ Im Fall von $T$-periodischen Funktionen gilt: $(g * h)(x) = \frac{1}{T}\displays
Man erhält so letzendlich das Faltungs-Theorem: Die $F_N$-Transformierte einer Faltung ist genau das gleiche wie die Multiplikation zweier $F_N$-Transormierten. Da die DFT in $\mathcal{O}(n\log(n))$ (Kap. 3.3) geht, gilt dies nun auch für die Faltung.
\begin{align*}
F_Nc = \text{diag}(F_N a) F_N b
\end{align*}
\end{align*}

18
semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/03_interpolation/00_intro.tex
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@@ -45,15 +45,15 @@ Unten findet sich Python code der mit den unterschiedlichen Methoden die Koeffiz
\rmvspace
\begin{code}{python}
def get_coeff_trig_poly(t: np.ndarray, y: np.ndarray):
N = y.shape[0]
if N % 2 == 1:
n = (N - 1.0) / 2.0
M = np.exp(2 * np.pi * 1j * np.outer(t, np.arange(-n, n + 1)))
else:
n = N / 2.0
M = np.exp(2 * np.pi * 1j * np.outer(t, np.arange(-n, n)))
c = np.linalg.solve(M, y)
return c
N = y.shape[0]
if N % 2 == 1:
n = (N - 1.0) / 2.0
M = np.exp(2 * np.pi * 1j * np.outer(t, np.arange(-n, n + 1)))
else:
n = N / 2.0
M = np.exp(2 * np.pi * 1j * np.outer(t, np.arange(-n, n)))
c = np.linalg.solve(M, y)
return c
N = 2**12
t = np.linspace(0, 1, N, endpoint=False)