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Janis Hutz
2025-10-19 08:36:46 +02:00
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semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/03_lagrange-and-barzycentric-formula.tex
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@@ -9,37 +9,37 @@
\begin{definition}[]{Lagrange Polynome} \begin{definition}[]{Lagrange Polynome}
Für Knoten (auch gennannt Stützstellen) $x_0, x_1, \ldots, x_n \in \R$ definieren wir die Lagrange-Polynome für $n = \text{Anzahl Stützstellen}$, also haben wir $n - 1$ Brüche, da wir eine Iteration überspringen, weil bei dieser $j = i$ ist: Für Knoten (auch gennannt Stützstellen) $x_0, x_1, \ldots, x_n \in \R$ definieren wir die Lagrange-Polynome für $n = \text{Anzahl Stützstellen}$, also haben wir $n - 1$ Brüche, da wir eine Iteration überspringen, weil bei dieser $j = i$ ist:
\begin{align*} \begin{align*}
l_i(x) = \prod_{j = 0 \atop j \neq i}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j} l_i(x) = \prod_{\elementstack{j = 0}{j \neq i}}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
\end{align*} \end{align*}
\end{definition} \end{definition}
Falls $j = i$ im Produkt, so überspringt $j$ diese Zahl. Falls $j = i$ im Produkt, so überspringt $j$ diese Zahl.
\inlineex Seien $x_0, x_1, x_2$ die Stützstellen für die Lagrange-Polynome (mit $n = 2$): \inlineex Seien $x_0, x_1, x_2$ die Stützstellen für die Lagrange-Polynome (mit $n = 2$):
\begin{align*} \begin{align*}
l_0(x) & = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} \cdot \frac{x - x_2}{x_0 - x_2} & l_0(x) & = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} \cdot \frac{x - x_2}{x_0 - x_2} &
l_1(x) & = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} \cdot \frac{x - x_2}{x_1 - x_2} & l_1(x) & = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} \cdot \frac{x - x_2}{x_1 - x_2} &
l_2(x) & = \frac{x - x_0}{x_2 - x_0} \cdot \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} l_2(x) & = \frac{x - x_0}{x_2 - x_0} \cdot \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}
\end{align*} \end{align*}
\begin{theorem}[]{Lagrange-Interpolationsformel} \begin{theorem}[]{Lagrange-Interpolationsformel}
Die Lagrange-Polynome $l_i$ zu den Stützstellen $(x_0, y_0), \ldots, (x_n, y_n)$ bilden eine Basis der Polynome $\mathcal{P}_n$ und es gilt: Die Lagrange-Polynome $l_i$ zu den Stützstellen $(x_0, y_0), \ldots, (x_n, y_n)$ bilden eine Basis der Polynome $\mathcal{P}_n$ und es gilt:
\begin{align*} \begin{align*}
p(x) = \sum_{i = 0}^{n} y_i l_i(x) \text{ mit } l_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} p(x) = \sum_{i = 0}^{n} y_i l_i(x) \text{ mit } l_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
\end{align*} \end{align*}
\end{theorem} \end{theorem}
\fancyremark{Eigenschaften der Lagrange-Polynome} \fancyremark{Eigenschaften der Lagrange-Polynome}
\rmvspace \rmvspace
\begin{multicols}{2} \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item $l_i(x_j) = 0 \smallhspace \forall j \neq i$ \item $l_i(x_j) = 0 \smallhspace \forall j \neq i$
\item $l_i(x_i) = 1 \smallhspace \forall i$ \item $l_i(x_i) = 1 \smallhspace \forall i$
\item $\deg(l_i) = n \smallhspace \forall i$ \item $\deg(l_i) = n \smallhspace \forall i$
\item $\sum_{k = 0}^{n} l_k(x) = 1 \text{ und } \sum_{k = 0}^{n} l_k^{(m)}(x) = 0 \text{ für } m > 0$ \item $\sum_{k = 0}^{n} l_k(x) = 1 \text{ und } \sum_{k = 0}^{n} l_k^{(m)}(x) = 0 \text{ für } m > 0$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{multicols} \end{multicols}
Da eine Implementation, welche direkt auf den Lagrange-Polynomen basiert, eine Laufzeit von $\tco{n^3}$ hätte, suchte man nach einer besseren Methode. Da eine Implementation, welche direkt auf den Lagrange-Polynomen basiert, eine Laufzeit von $\tco{n^3}$ hätte, suchte man nach einer besseren Methode.
@@ -52,44 +52,44 @@ Man berechnet die baryzentrischen Gewichte $\lambda_k$ folgendermassen:
oder das ganze mithilfe von Numpy: oder das ganze mithilfe von Numpy:
\begin{code}{python} \begin{code}{python}
def barycentric_weights(x: np.ndarray) -> np.ndarray: def barycentric_weights(x: np.ndarray) -> np.ndarray:
n = len(x) n = len(x)
# Initialize to zeros # Initialize to zeros
barweight = np.ones(n) barweight = np.ones(n)
for k in range(n): for k in range(n):
# Vectorized differences between $x_k$ and all $x$s # Vectorized differences between $x_k$ and all $x$s
differences = x[k] - x differences = x[k] - x
# Remove the $k$-th element (and handle edge cases for $k = 0$ and $k = n - 1$) # Remove the $k$-th element (and handle edge cases for $k = 0$ and $k = n - 1$)
if k < n - 1 and k > 0: if k < n - 1 and k > 0:
diff_processed = np.concatenate((differences[:k], differences[(k + 1) :])) diff_processed = np.concatenate((differences[:k], differences[(k + 1) :]))
barweight[k] = 1 / np.prod(diff_processed) barweight[k] = 1 / np.prod(diff_processed)
elif k == 0: elif k == 0:
barweight[k] = 1 / np.prod(differences[1:]) barweight[k] = 1 / np.prod(differences[1:])
else: else:
barweight[k] = 1 / np.prod(differences[:k]) barweight[k] = 1 / np.prod(differences[:k])
return barweight return barweight
\end{code} \end{code}
Gleiche funktion, etwas kürzer: Gleiche funktion, etwas kürzer:
\begin{code}{python} \begin{code}{python}
def barycentric_weights(x: np.ndarray) -> np.ndarray: def barycentric_weights(x: np.ndarray) -> np.ndarray:
n = len(x) n = len(x)
w = np.ones(n) # = barweight w = np.ones(n) # = barweight
# Compute the (non-inverted) product, avoiding case (x[i] - x[i]) = 0 # Compute the (non-inverted) product, avoiding case (x[i] - x[i]) = 0
for i in range(0, n, 1): for i in range(0, n, 1):
if (i-1 > 0): w[0:(i-1)] *= (x[0:(i-1)] - x[i]) if (i-1 > 0): w[0:(i-1)] *= (x[0:(i-1)] - x[i])
if (i+1 < n): w[i+1:n] *= (x[i+1:n] - x[i]) if (i+1 < n): w[i+1:n] *= (x[i+1:n] - x[i])
# Invert all at once # Invert all at once
return 1/w return 1/w
\end{code} \end{code}
Mit dem können wir dann ein Polynom mit der baryzentrischen Interpolationsformel interpolieren: Mit dem können wir dann ein Polynom mit der baryzentrischen Interpolationsformel interpolieren:
\numberingOff \numberingOff
\begin{formula}[]{Baryzentrische Interpolationsformel} \begin{formula}[]{Baryzentrische Interpolationsformel}
\vspace{-1.5pc} \vspace{-1.5pc}
\begin{align*} \begin{align*}
p(x) = \frac{\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \frac{\lambda_k}{x - x_k} y_k}{\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \frac{\lambda_k}{x - x_k}} p(x) = \frac{\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \frac{\lambda_k}{x - x_k} y_k}{\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \frac{\lambda_k}{x - x_k}}
\end{align*} \end{align*}
\end{formula} \end{formula}
\numberingOn \numberingOn
@@ -102,25 +102,25 @@ Eine weitere Anwendung der Formel ist als Ausganspunkt für die Spektralmethode
\begin{code}{python} \begin{code}{python}
def interp_barycentric( def interp_barycentric(
data_point_x: np.ndarray, data_point_x: np.ndarray,
data_point_y: np.ndarray, data_point_y: np.ndarray,
barweight: np.ndarray, barweight: np.ndarray,
x: np.ndarray x: np.ndarray
): ):
p_x = np.zeros_like(x) p_x = np.zeros_like(x)
n = data_point_x.shape[0] n = data_point_x.shape[0]
for i in range(x.shape[0]): for i in range(x.shape[0]):
# Separate sums to divide in the end # Separate sums to divide in the end
upper_sum = 0 upper_sum = 0
lower_sum = 0 lower_sum = 0
for k in range(n): for k in range(n):
frac = barweight[k] / (x[i] - data_point_x[k]) frac = barweight[k] / (x[i] - data_point_x[k])
upper_sum += frac * data_point_y[k] upper_sum += frac * data_point_y[k]
lower_sum += frac lower_sum += frac
p_x[i] = upper_sum / lower_sum p_x[i] = upper_sum / lower_sum
return p_x return p_x
\end{code} \end{code}
@@ -130,14 +130,14 @@ Eine weitere Anwendung der Formel ist als Ausganspunkt für die Spektralmethode
Falls an den Stützstellen $x_i$ durch beispielsweise ungenaue Messungen unpräzise Werte $\tilde{y_i}$ haben, so entsteht logischerweise auch ein unpräzises Polynom $\tilde{p}(x)$. Falls an den Stützstellen $x_i$ durch beispielsweise ungenaue Messungen unpräzise Werte $\tilde{y_i}$ haben, so entsteht logischerweise auch ein unpräzises Polynom $\tilde{p}(x)$.
Verglichen in der Lagrange-Basis zum korrekten Interpolationspolynom $p(x)$ ergibt sich folgender Fehler: Verglichen in der Lagrange-Basis zum korrekten Interpolationspolynom $p(x)$ ergibt sich folgender Fehler:
\begin{align*} \begin{align*}
|p(x) - \tilde{p}(x)| = \left| \sum_{i = 0}^{n} (y_i - \tilde{y_i}) l_i(x) \right| \leq \max_{i = 0, \ldots, n} |y_i - \tilde{y_i}| \cdot \sum_{i = 0}^{n} |l_i(x)| |p(x) - \tilde{p}(x)| = \left| \sum_{i = 0}^{n} (y_i - \tilde{y_i}) l_i(x) \right| \leq \max_{i = 0, \ldots, n} |y_i - \tilde{y_i}| \cdot \sum_{i = 0}^{n} |l_i(x)|
\end{align*} \end{align*}
\fancydef{Lebesgue-Konstante} Zu den Stützstellen $x_0, \ldots, x_n$ im Intervall $[a, b]$ ist sie definiert durch \fancydef{Lebesgue-Konstante} Zu den Stützstellen $x_0, \ldots, x_n$ im Intervall $[a, b]$ ist sie definiert durch
\rmvspace \rmvspace
\begin{align*} \begin{align*}
\Lambda_n = \max_{x \in [a, b]} \sum_{i = 0}^{n} |l_i(x)| \Lambda_n = \max_{x \in [a, b]} \sum_{i = 0}^{n} |l_i(x)|
\end{align*} \end{align*}
@@ -145,11 +145,11 @@ Verglichen in der Lagrange-Basis zum korrekten Interpolationspolynom $p(x)$ ergi
\fancytheorem{Auswirkung von Messfehlern} Es gilt (wenn $\Lambda_n$ die beste Lebesgue-Konstante für die Ungleichung ist): \fancytheorem{Auswirkung von Messfehlern} Es gilt (wenn $\Lambda_n$ die beste Lebesgue-Konstante für die Ungleichung ist):
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\begin{align*} \begin{align*}
\max_{x \in [a, b]} |p(x) - \tilde{p}(x)| \leq \Lambda_n \max_{i = 0, \ldots, n} |y_i - \tilde{y_i}| \max_{x \in [a, b]} |p(x) - \tilde{p}(x)| \leq \Lambda_n \max_{i = 0, \ldots, n} |y_i - \tilde{y_i}|
\end{align*} \end{align*}
\begin{theorem}[]{Fehler} \begin{theorem}[]{Fehler}
Sei $f : [a, b] \rightarrow \R$ und $p$ das Interpolationspolynom zu $f$. Seien $x_0, \ldots, x_n$ die Stützstellen, dann gilt: Sei $f : [a, b] \rightarrow \R$ und $p$ das Interpolationspolynom zu $f$. Seien $x_0, \ldots, x_n$ die Stützstellen, dann gilt:
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\begin{align*} \begin{align*}
||f(x) - p(x)||_{\infty} = \max_{x \in [a, b]}|f(x) - p(x)| \leq (1 + \Lambda_n) \min_{q \in \mathcal{P}_n} \max_{x \in [a, b]} |f(x) - q(x)| ||f(x) - p(x)||_{\infty} = \max_{x \in [a, b]}|f(x) - p(x)| \leq (1 + \Lambda_n) \min_{q \in \mathcal{P}_n} \max_{x \in [a, b]} |f(x) - q(x)|

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semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
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@@ -49,7 +49,7 @@ Falls wir $c_k(x) = x^k$ haben (was oft der Fall ist, je nach Funktion aber kön
Für die Knoten $x_0, x_1, \ldots, x_n \in \R$ definieren wir die Polynome Für die Knoten $x_0, x_1, \ldots, x_n \in \R$ definieren wir die Polynome
\rmvspace \rmvspace
\begin{align*} \begin{align*}
l_i(x) = \prod_{j = 0 \atop j \neq i}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j} l_i(x) = \prod_{\substack{j = 0\\ j \neq i}}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
\end{align*} \end{align*}
\rmvspace \rmvspace
@@ -129,7 +129,7 @@ Für dieses Referenzintervall können wir die Gewichte $\hat{w}_j$ und die Knote
\rmvspace \rmvspace
\begin{align*} \begin{align*}
\int_{a}^{b} f(t) \dx t \approx \frac{1}{2}(b - a) \sum_{j = 1}^{n} \hat{w}_j \hat{f}(\hat{c}_j) = \sum_{j = 1}^{n} w_j f(c_j) \int_{a}^{b} f(t) \dx t \approx \frac{1}{2}(b - a) \sum_{j = 1}^{n} \hat{w}_j \hat{f}(\hat{c}_j) = \sum_{j = 1}^{n} w_j f(c_j)
& & \text{ mit } {c_j = \frac{1}{2} (1 - \hat{c}_j) a + \frac{1}{2}(1 + \hat{c}_j) b \atop{w_j = \frac{1}{2}(b - a)\hat{w}_j}} & & \text{ mit } \elementstack{c_j = \frac{1}{2} (1 - \hat{c}_j) a + \frac{1}{2}(1 + \hat{c}_j) b}{w_j = \frac{1}{2}(b - a)\hat{w}_j}
\end{align*} \end{align*}
\rmvspace\rmvspace \rmvspace\rmvspace