eth-janishutz/eth-summaries
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[PS] Updated marginal distribution tips & tricks

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janishutz
2026-07-17 12:17:14 +02:00
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\newpage
\subsection{Tabelle von Auf- und Ableitungen}
Für Integrale von stückweisen Funktionen, stückweise Integrieren und aufsummieren.
Für ungerade Funktionen (mit $f(-x) = -f(x)$, bspw $f(x) = x$ und $f(x) = \cos(x)$) ist Integral $\int_{-C}^C f(x) \dx x = 0$, auch bei Multiplikation von mehreren Funktionen.
\begin{scriptsize}
\begin{tables}{lll}{\tr{Antiderivative}{Stammfunktion} & \tr{Function}{Funktion} & \tr{Derivative}{Ableitung}}
$\displaystyle \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ & $x^n$ & $n \cdot x^{n - 1}$ \\
@@ -21,28 +22,26 @@ Für Integrale von stückweisen Funktionen, stückweise Integrieren und aufsummi
$x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2}$ & $\arcsin(x)$ & $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\
$x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2}$ & $\arccos(x)$ & $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\
$\displaystyle x \cdot \arctan(x) - \frac{\ln(x^2 + 1)}{2}$ & $\arctan(x)$ & $\displaystyle \frac{1}{x^2 + 1}$ \\[0.2cm]
$\ln|\sin(x)|$ & $\cot(x)$ & $\displaystyle -\frac{1}{\sin^2(x)}$ \\
$\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ \\
$\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ \\
$\ln|\cosh(x)|$ & $\tanh(x)$ & $\displaystyle \frac{1}{\cosh^2(x)}$ \\
& $\arcsinh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ \\
& $\arccosh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ \\
& $\arctanh(x)$ & $\frac{1}{1 - x^2}$ \\
% $\ln|\sin(x)|$ & $\cot(x)$ & $\displaystyle -\frac{1}{\sin^2(x)}$ \\
% $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ \\
% $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ \\
% $\ln|\cosh(x)|$ & $\tanh(x)$ & $\displaystyle \frac{1}{\cosh^2(x)}$ \\
% & $\arcsinh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ \\
% & $\arccosh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ \\
% & $\arctanh(x)$ & $\frac{1}{1 - x^2}$ \\
\end{tables}
\end{scriptsize}
\shade{teal}{Weitere Ableitungen}
\begin{tables}{cc}{$F(x)$ & $f(x)$}
$\frac{1}{a} \ln|ax + b|$ & $\frac{1}{ax + b}$ \\
$\frac{ax}{c} - \frac{ad - bc}{c^2} \ln|cx + d|$ & $\frac{a (cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2}$ \\
$\frac{x}{2} f(x) + \frac{a^2}{2} \ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{a^2 + x^2}$ \\
$\frac{x}{2} f(x) - \frac{a^2}{2} \arcsin\left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\sqrt{a^2 - x^2}$ \\
$\frac{x}{2} f(x) - \frac{a^2}{2} \ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{x^2 - a^2}$ \\
$\ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$ \\
$\arcsin \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ \\
$\frac{1}{a}\arctan \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{a^2 - x^2}$ \\
\end{tables}
% \begin{tables}{cc}{$F(x)$ & $f(x)$}
% \shade{teal}{Weitere Ableitungen}
% \begin{tables}{cc}{$F(x)$ & $f(x)$}
% $\frac{1}{a} \ln|ax + b|$ & $\frac{1}{ax + b}$ \\
% $\frac{ax}{c} - \frac{ad - bc}{c^2} \ln|cx + d|$ & $\frac{a (cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2}$ \\
% $\frac{x}{2} f(x) + \frac{a^2}{2} \ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{a^2 + x^2}$ \\
% $\frac{x}{2} f(x) - \frac{a^2}{2} \arcsin\left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\sqrt{a^2 - x^2}$ \\
% $\frac{x}{2} f(x) - \frac{a^2}{2} \ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{x^2 - a^2}$ \\
% $\ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$ \\
% $\arcsin \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ \\
% $\frac{1}{a}\arctan \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{a^2 - x^2}$ \\
% $-\frac{1}{a} \cos(ax + b)$ & $\sin(ax + b)$ \\
% $\frac{1}{a} \sin(ax + b)$ & $\cos(ax + b)$ \\[1mm]
% \hline