[NumCS] Add some notes from tasks of series 04

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/04_chebyshev-interpolation.tex

@@ -131,13 +131,39 @@ Für $n \geq 15$ berechnet man $c_k$ mit der Schnellen Fourier Transformation (F
 
 
 \fancytheorem{Clenshaw-Algorithmus} Seien $d_{n + 2} = d_{n + 1} = 0$. Sei $d_k = c_k + (2x)d_{k + 1} - d_{k + 2} \text{ für } k = n, \ldots, 0$\\
-Dann gilt: $p(x) = \frac{1}{2}(d_0 - d_2)$ und man kann $p(x)$ mit Hilfe einer Rückwärtsrekursion berechnen
+Dann gilt: $p(x) = \frac{1}{2}(d_0 - d_2)$ und man kann das Interpolationspolynom $p(x)$ mit Hilfe einer Rückwärtsrekursion berechnen
 
 Der Clenshaw-Algorithmus ist sehr stabil, auch wenn er mit (oft) unstabilen Rekursionen implementiert ist.
 
+Auf der nächsten Seite findet sich eine saubere, effiziente Implementation des Clenshaw-Algorithmus:
+
+\newpage
+\begin{code}{python}
+    def clenshaw(coeffs: np.ndarray, x: np.ndarray):
+        n = len(coeffs) - 1
+        # initialise temporary variables
+        d_prev_prev, d_prev, d_curr = (
+            np.zeros_like(x),
+            np.zeros_like(x),
+            np.zeros_like(x),
+        )
+
+        for k in range(n, -1, -1):  # backward recursion
+            d_curr = coeffs[k] + 2 * x * d_prev - d_prev_prev
+            d_prev_prev, d_prev = d_prev, d_curr
+
+        return d_prev - x * d_prev_prev
+\end{code}
 
 
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-\subsection{DFT und Chebyshev-Interpolation}
-Der folgende Abschnitt wurde ausgelassen, da dieser (noch) nicht während den Vorlesungen behandelt wurde.
-Er behandelt primär die Implementation der Chebyshev-Interpolation.
+\innumpy kann man mit \texttt{np.polynomial.chebyshev.chebfit} ein polyfit für Chebyshev-Polynome durchführen und mit \texttt{np.polynomial.chebyshev.chebder}
+die Ableitungen der Approximation berechnen. Die \texttt{chebder}-Funktion nimmt die normalen Chebyshev-Koeffizienten als Argument, die man einfach mit folgendem Code berechnen kann:
+\begin{code}{python}
+    def get_cheb_coeffs(abscissa: np.ndarray)
+        n = len(abscissa) - 1
+        dct_vals = scipy.fft.dct(abscissa, type=1)
+
+        coeffs = dct_vals / n
+        coeffs[0] /= 2
+        self.coeffs = coeffs
+\end{code}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/05_dft-chebyshev.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \newsection
 \subsection{DFT und Chebyshev-Interpolation}
-Mithilfe der DFT können günstig und einfach die Chebyshev-Koeffizienten berechnet werden.
+Mithilfe der DFT können günstig und einfach die Chebyshev-Koeffizienten ($c_k$) berechnet werden.
 Die Idee basiert auf dem Satz 2.4.16, durch welchen schon schnell klar wird, dass es eine Verbindung zwischen den Fourier-Koeffizienten und Chebyshev-Koeffizienten gibt.
 
 Die Chebyshev-Knoten sind folgendermassen definiert: