[NumCS] Update to new helpers

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/00_fourier.tex

@@ -60,7 +60,7 @@ $p_m$ kann folgendermassen dargestellt werden ($a_0 = 2\gamma_0, a_j = 2\Re(\gam
 In Anwendungen findet sich oft das Intervall $\left[ -\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$.
 Dann verwandeln sich die Integrale in die Form $\frac{1}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}} (\ldots) \dx t$ und $\exp(2\pi ijt)$ durch $\exp(i \frac{2\pi j}{T} t)$ ersetzt wird.
 
-\stepcounter{all}
+\stepLabelNumber{all}
 \inlineremark Die Funktionen $\varphi_k(x) = \exp(2\pi ikx)$ sind orthogonal bezüglich des $L^2(0, 1)$-Skalarprodukts, bilden also eine Basis für den Unterraum der trigonometrischen polynome.
 
 
@@ -89,7 +89,7 @@ Dann verwandeln sich die Integrale in die Form $\frac{1}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{
 
 % A (small) intuitive explanation of what the fourier series / coefficients are & what they are useful for would be great, script *briefly* touches on it.
 
-\setcounter{all}{14}
+\setLabelNumber{all}{14}
 \inlineremark Die Parseval'sche Gleichung beschreibt einfach gesagt einen ``schnellen'' Abfall der $\hat{f}(k)$.
 Genauer gesagt, klingen die Koeffizienten schneller als $\frac{1}{\sqrt{k}}$ ab.
 Sie sagt zudem aus, dass die $L^2$-Norm der Funktion aus einer Summe berechnet werden kann (nicht nur als Integral).
@@ -134,7 +134,7 @@ Mit $c = \pi(a + b)$ und $d = \pi(b - a)$
     \label{fig:trigo-interp-overarcing}
 \end{figure}
 
-\stepcounter{all}
+\stepLabelNumber{all}
 \inlineremark Meist ist es nicht möglich (oder nicht sinnvoll) die Fourier-Koeffizienten analytisch zu berechnen,
 weshalb man wieder zur Numerik und der Trapezformel greift, die folgendermassen definiert ist für $t_l = \frac{l}{N}$,
 wobei $l = 0, 1 \ldots, N - 1$ und $N$ die Anzahl der Intervalle ist:

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/01_construction.tex

@@ -58,14 +58,14 @@ Die diskreten Fourier-Koeffizienten $\gamma_k$ sind eine Umsortierung der Koeffi
 
 Die skalierte Fourier-Matrix $\frac{1}{\sqrt{N}}F_N$ hat einige besondere Eigenschaften.
 
-\setcounter{all}{6}
+\setLabelNumber{all}{6}
 \inlinetheorem Die skalierte Fourier-Matrix $\frac{1}{\sqrt{N}}F_N$ ist unitär: $F_N^{-1} = \frac{1}{N} F_N^H = \frac{1}{N} \overline{F_N}$
 
 \fancyremark{Eigenwerte von $\frac{1}{\sqrt{N}}F_N$} Die $\lambda$ von $\frac{1}{\sqrt{N}}F_N$ liegen in $\{1,-1,i,-i\}$.
 
 Die diskrete Fourier-Transformation ist nun einfach die Anwendung der Basiswechsel-Matrix $F_N$.
 
-\setcounter{all}{5}
+\setLabelNumber{all}{5}
 \fancydef{Diskrete Fourier-Transformation} $\mathcal{F}_N: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ s.d. $\mathcal{F}_N(y) = F_Ny$
 \begin{align*}
     \text{Für } c = \mathcal{F}_N(y) \text{ gilt: }\quad c_k = \sum_{j=0}^{N-1} y_j \omega_N^{kj}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/02_fftshift.tex

@@ -10,7 +10,7 @@ Seien $z = \frac{1}{N} F_N y$ und  $\zeta = \verb|fft.fftshift|(z)$.
 \begin{align*}
     f(x) \approx \underbrace{\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \zeta_k \cdot e^{2 \pi ikx} }_{\text{Form des trig. Polynoms}}
 \end{align*}
-\setcounter{all}{13}
+\setLabelNumber{all}{13}
 \inlineremark Man kann mit dieser Approximation einfach die $L^2$-Norm und Ableitungen berechnen:
 \vspace{-1.5pc}
 \begin{multicols}{2}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/01_dft/03_linalg.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \newpage
 \subsubsection{DFT \& Lineare Algebra}
 
-\setcounter{all}{25}
+\setLabelNumber{all}{25}
 \fancydef{Zirkulant} Für einen vektor $c \in \mathbb{R}^N$ hat der Zirkulant $C \in \mathbb{R}^{N \times N}$ die Form:
 \begin{align*}
     C = \begin{bmatrix}
@@ -74,7 +74,7 @@ Die Faltung von $a = [a_0,\ldots,a_{N-1}]^\top, b = [b_0,\ldots,b_{N-1}]^\top$ i
     c = a \circledast b\quad\quad \text{s.d. } \sum_{n=0}^{N-1} a_nb_{k-n} \equiv_N \sum_{n=0}^{N-1}b_na_{n-k}
 \end{align*}
 
-\setcounter{all}{32}
+\setLabelNumber{all}{32}
 \inlineremark Zyklische Faltungen von Vektoren kann man mit Zirkulanten berechnen. 
 \begin{align*}
     c = a \circledast b = Ab = \underbrace{\begin{bmatrix}
@@ -87,7 +87,7 @@ Die Faltung von $a = [a_0,\ldots,a_{N-1}]^\top, b = [b_0,\ldots,b_{N-1}]^\top$ i
 
 % NOTE: I'm not sure if this below is correct. This is how I interpret what is written in the script
 
-\setcounter{all}{30}
+\setLabelNumber{all}{30}
 \inlineremark Eine Multiplikation von Polynomen $g,h$ entspricht einer Faltung im Frequenzbereich.
 \begin{align*}
     \mathcal{F}_N(\underbrace{g * h}_{\text{Standard Basis}}) = \underbrace{\mathcal{F}_N(g) \cdot \mathcal{F}_N(h)}_{\text{Trigonometrische Basis}}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/04_error-estimation.tex

@@ -36,7 +36,7 @@ Auch hier tritt das Gibbs-Phänomen wieder an den Sprungstellen von $f(t)$ auf.
 Dies verursacht die Verlangsamung der Konvergenz in den Stellen, in welchen die Funktion nicht glatt ist.
 
 \newpage
-\stepcounter{all}
+\stepLabelNumber{all}
 \inlineex Sei für $\alpha \in [0, 1)$ $\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha \sin(2\pi t)}}$.
 Die Konvergenz ist exponentiell in $n$ und je kleiner $\alpha$, desto schneller ist sie.
 In der untenstehenden Abbildung \ref{fig:interpolation-error-convergence} sind einige Beispiele aufgetragen:
@@ -50,7 +50,7 @@ In der untenstehenden Abbildung \ref{fig:interpolation-error-convergence} sind e
 \end{figure}
 
 
-\setcounter{all}{6}
+\setLabelNumber{all}{6}
 \begin{theorem}[]{Aliasing}
     Der k-te Fourier-Koeffizient des $N$-ten trigonometrischen Interpolationspolynoms unterscheidet sich vom $k$-ten Fourier-Koeffizienten von $f$ 
     gerade um die Summe aller Fourier-Koeffizienten, die um ganze Vielfache von $N$ vom $k$-ten Fourier-Koeffizienten verschoben sind:

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/05_dft-chebyshev.tex

@@ -39,7 +39,7 @@ Und mit weitern Umformungen erhalten wir
 \end{align*}
 Auf Seite 102 im Skript findet sich auch eine effiziente Implementation dessen.
 
-\stepcounter{all}
+\stepLabelNumber{all}
 \inlineremark Die Formel in Satz 2.4.16 (und in der eben erwähnten Implementierung) sind nichts anderes als eine Version der DCT (Discrete Cosine Transform).
 Dies ist eine günstigere, aber beschränktere Variante der DFT, mit der nur reellwertige, gerade Funktionen interpoliert werden können.