[NumCS] Update to new helpers

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/00_intro.tex

@@ -26,16 +26,16 @@ Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
 	f(x) \approx f_n(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j b_j(x)
 \end{align*}
 
-\setcounter{all}{2}
+\setLabelNumber{all}{1}
 \inlineremark Unterräume $\mathcal{V}_n$ existieren nicht nur für Polynome, wir beschränken uns aber auf $b_j(x) = x^{i-1}$.
 Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
 
 % FIXME: This could go into a special "maths theory" section -> GOOD
 
-\setcounter{all}{5}
+\setLabelNumber{all}{4}
 \fancytheorem{Peano} $f$ stetig $\implies \exists p(x)$ welches $f$ in $||\cdot||_\infty$ beliebig gut approximiert.
 
-\setcounter{all}{7}
+\setLabelNumber{all}{5}
 \fancydef{Raum der Polynome} $\mathcal{P}_k := \{ x \mapsto \sum_{j = 0}^{k} \alpha_j x^j \}$
 \fancydef{Monom} $f: x \mapsto x^k$
 

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/02_newton-basis.tex

@@ -13,7 +13,7 @@ Die Konstruktion verläuft iterativ, und vorherige Datenpunkte müssen nicht neu
     p_3(x) &= p_2(x) + \ldots
 \end{align*}
 
-\setcounter{all}{3}
+\setLabelNumber{all}{2}
 \fancytheorem{Newton-Basis} $\{ N_0,\ \ldots\ ,N_n\}$ ist eine Basis von $\mathcal{P}_n$
 \begin{align*}
     N_0(x) &:= 1 \quad
@@ -49,7 +49,7 @@ Wegen Satz 2.2.3 lässt sich jedes $p_n \in \mathcal{P}_n$ als $p_n(x) =\display
 
 Die Matrixmultiplikation in $\mathcal{O}(n^3)$ ist aber nicht nötig: Es gibt ein effizienteres System. 
 
-\setcounter{all}{5}
+\setLabelNumber{all}{4}
 \fancydef{Dividierte Differenzen} 
 \begin{multicols}{2}
     \begin{align*}
@@ -81,7 +81,7 @@ Falls $x_j = x_0 + \underbrace{j \cdot h}_{:= \Delta^j}$ gilt vereinfacht sich e
     y[x_0,\ \ldots\ , x_n] &= \frac{1}{n! h^n} \Delta^n y_0 
 \end{align*}
 
-\setcounter{all}{8}
+\setLabelNumber{all}{8}
 \fancytheorem{Newton} Falls $\beta_j = y[x_0,\ \ldots\ , x_j]$ geht das resultierende Polynom durch alle $(x_i,y_i)$.\\
 \footnotesize
 (D.h. die dividierten Differenzen sind korrekt.)
@@ -164,7 +164,7 @@ Auswertung eines Newton-Polynoms funktioniert in $\mathcal{O}(n)$ durch ein modi
 
 \subsubsection{Fehler}
 
-\setcounter{all}{11}
+\setLabelNumber{all}{10}
 \inlinetheorem $f$ $n$-mal diff.-bar, $y_i = f(x_i) \implies \exists \xi \in (\min_i x_i, \max_i x_i)$ s.d. $y[x_0,x_1,\ldots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{(n+1)!}$
 
 \fancytheorem{Fehler} $f: [a,b] \to \R$ ist $(n+1)$-mal diff.-bar, $p$ ist das Polynom zu $f$ in $x_0,\ldots,x_n \in [a,b]$. 

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/03_lagrange-and-barzycentric-formula.tex

@@ -84,14 +84,14 @@ Gleiche funktion, etwas kürzer:
 \end{code}
 
 Mit dem können wir dann ein Polynom mit der baryzentrischen Interpolationsformel interpolieren:
-\setcounter{numberingConfig}{0}
+\numberingOff
 \begin{formula}[]{Baryzentrische Interpolationsformel}
 	\vspace{-1.5pc}
 	\begin{align*}
 		p(x) = \frac{\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \frac{\lambda_k}{x - x_k} y_k}{\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \frac{\lambda_k}{x - x_k}}
 	\end{align*}
 \end{formula}
-\setcounter{numberingConfig}{3}
+\numberingOn
 
 Falls wir die Stützstellen als $(n + 1)$ Chebyshev-Abszissen $\displaystyle x_k = \cos\left( \frac{k\pi}{n} \right)$ wählen,
 so sind alle $\lambda_k$ gegeben durch $\lambda_k = (-1)^k \delta_k$ mit $\delta_0 = \delta_n = 0.5$ und $\delta_i = 1$.
@@ -141,7 +141,7 @@ Verglichen in der Lagrange-Basis zum korrekten Interpolationspolynom $p(x)$ ergi
 \end{align*}
 
 
-\stepcounter{all}
+\stepLabelNumber{all}
 \fancytheorem{Auswirkung von Messfehlern} Es gilt (wenn $\Lambda_n$ die beste Lebesgue-Konstante für die Ungleichung ist):
 \rmvspace
 \begin{align*}
@@ -156,7 +156,7 @@ Verglichen in der Lagrange-Basis zum korrekten Interpolationspolynom $p(x)$ ergi
     \end{align*}
 \end{theorem}
 
-\stepcounter{all}
+\stepLabelNumber{all}
 \inlineremark Für gleichmässig auf $I$ verteilte Stützstellen gilt $\displaystyle \Lambda_n \approx \frac{2^{n + 1}}{e n \log(n)}$
 
 \shade{gray}{Wichtig:} \bi{Niemals gleichmässig verteilte Stützstellen verwenden für die Interpolation von Polynomen hohen Grades}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/04_chebyshev-interpolation.tex

@@ -30,7 +30,7 @@
 \end{definition}
 $T_n(x)$ scheint erst nicht ein Polynom zu sein, aber wir haben einen $\arccos$ in einem $\cos$. Zudem:
 
-\stepcounter{all}
+\stepLabelNumber{all}
 \fancytheorem{Eigenschaften}
 Das $n$-te Chebyshev-Polynom ist ein Polynom von Grad $n$ und für $x \in [-1, 1]$ gilt:
 \begin{multicols}{2}
@@ -81,7 +81,7 @@ Oder $k = 1, \ldots, n - 1$ bei ausgeschlossenen Endpunkten $a$ und $b$
 
 
 % ────────────────────────────────────────────────────────────────────
-\stepcounter{all}
+\stepLabelNumber{all}
 \newpage
 \subsubsection{Fehler}
 Was hat die neue Verteilung für einen Einfluss auf den Fehler?
@@ -98,12 +98,12 @@ Folglich sind also die Nullstellen der Chebyshev-Polynome $T_n$ die bestmöglich
 Da die Abszissen mit FFT einfacher zu berechnen sind, werden diese oft bevorzugt berechnet.
 Dies, da die Nullstellen von $T_n$ in den Extrema von $T_{2n}$ enthalten sind, während zudem zwischen zwei nebeneinanderliegenden Chebyshev-Abszissen jeweils eine Nullstelle von $T_{2n}$ liegt
 
-\stepcounter{all}
+\stepLabelNumber{all}
 \fancytheorem{Lebesgue-Konstante} Für die Chebyshev-Interpolation: $\displaystyle \Lambda_n \approx \frac{2}{\pi} \log(n) \text{ für } n \rightarrow \infty$
 
 
 % ────────────────────────────────────────────────────────────────────
-\stepcounter{all}
+\stepLabelNumber{all}
 \begin{theorem}[]{Interpolationspolynom}
 	Das Interpolationspolynom $p$ zu $f$ mit Chebyshev-Knoten gleich der Nullstellen von $T_{n + 1}$ ist gegeben durch
 	\begin{align*}