[PS] fixes

semester4/ps/ps-rb/parts/02_variables.tex

@@ -230,6 +230,8 @@ $$
 
 {\scriptsize
     \remark $f_X$ (Stetig) ist Intuitiv das Analogon zu $p_x$ (Diskret)
+
+    \remark Für stetige $X$ gilt $\forall x:\ \P[X=x] = 0$, da $W_X = \infty$.
 }
 
 \definition \textbf{Gleichverteilung} $X \sim \mathcal{U}([a,b])$\\
@@ -300,5 +302,5 @@ $$
 \lemma \textbf{Standardisierung}\\
 \smalltext{$Z \sim \mathcal{N}(m, \rho^2),\quad x\in\R$}
 $$
-    \P[x\leq Z] = \Phi\Biggl( \frac{x - m}{\rho} \Biggr)
+    \P[x\leq Z] = \Phi\Biggl(\frac{x - \E[Z]}{\sqrt{\V[Z]}}\Biggr) = \Phi\Biggl( \frac{x - m}{\rho} \Biggr)
 $$

semester4/ps/ps-rb/parts/04_joint-distributions.tex

@@ -87,3 +87,7 @@ $$
 
 % It's important to him to know \E[X]\E[Y] = \E[X\cdot Y] isn't enough for indep., requires \E[\phi(X)]\E[\psi(X)] instead \forall \phi,\psi
 
+\notation \textbf{Bedingte gem. Verteilung}
+$$
+    f_{X \vert Y} := \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}
+$$

semester4/ps/ps-rb/parts/07_stats.tex

@@ -107,18 +107,15 @@ $$
     T = (T_1, T_2) \text{ für } \Bigl(\E_\vartheta[X], \V_\vartheta[X] \Bigr)
 $$
 $$
-    T_1 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \qquad T_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 - \Biggl(\underbrace{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i}_{T_1}\Biggr)^2
+    T_1 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \qquad T_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \Bigl( X_i - T_1 \Bigr)^2
 $$
-{\footnotesize
-    \remark Allgemein nicht erwartungstreu
-}
 
-\definition \textbf{Empirische Varianz} \subtext{(Unbiased Sample Variance)}
+\definition \textbf{Korr. Empirische Varianz} \subtext{(Unbiased Sample Variance)}
 $$
-    T_1' = T_1 \qquad T_2' = \frac{n}{n-1}T_2
+    T_1' = T_1 \qquad T_2' = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \Bigl( X_i - T_1 \Bigr)^2
 $$
 {\footnotesize
-    \remark Erwartungstreu
+    \remark $T'$ ist erwartungstreu, $T$ jedoch nicht.
 }
 
 \subsection{Verteilungen von Schätzern}
@@ -174,7 +171,7 @@ $$
     \bar{X}_n = \sum_{i=1}^{n}X_i,\qquad S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{n}^{i=1}\Bigl( X_i - \bar{X}_n \Bigr)^2
 $$
 \begin{enumerate}
-    \item $\bar{X}_n \sim \mathcal{N}\bigl(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\bigr)$ also $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}(\bar{X}_n - \mu) \sim \mathcal{N}(0,1)$
+    \item $\bar{X}_n \sim \mathcal{N}\bigl(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\bigr) \implies \displaystyle\frac{\bar{X}_n - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim \mathcal{N}(0,1)$
     \item $\frac{n-1}{\sigma^2}S^2 = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n\Bigl( X_i - \bar{X}_n \Bigr)^2 \sim \chi^2_{n-1}$
     \item $\bar{X}_n \perp S^2$
     \item $\frac{\bar{X}_n-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} = \displaystyle\frac{\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{S / \sigma} = \frac{\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{1}{n-1}\frac{n-1}{\sigma^2}S^2}} \sim t_{n-1}$
@@ -214,9 +211,12 @@ $$
 
 \subsubsection{Statistisches Vorgehen}
 
-\definition \textbf{Signifikanzniveau} $\alpha$ s.d. $\underset{\vartheta\in\Theta_0}{\sup}\P_\vartheta[T\in K] \leq \alpha$
+\definition \textbf{Signifikanzniveau} $\alpha$ s.d. $\underset{\vartheta\in\Theta_0}{\sup}\P_\vartheta[T\in K] \leq \alpha$\\
+\subtext{Intuitiv: Chance, dass $\Theta_0$ ($H_0$) in $K$ liegt, ist kleiner als $\alpha$.}
 
-\definition \textbf{Macht} $\beta: \Theta_A \to [0,1] \quad \vartheta \mapsto \beta(\vartheta) = \P_\vartheta[T \in K]$
+
+\definition \textbf{Macht} $\beta: \Theta_A \to [0,1] \quad \vartheta \mapsto \beta(\vartheta) = \P_\vartheta[T \in K]$\\
+\subtext{Intuitiv: Chance, dass $\Theta_A$ ($H_A$) im Bereich $K$ liegt.}
 
 \method \textbf{Asymmetrisches Verfahren}:
 \begin{enumerate}