[PS] Completed tests (examples of likelihood functions, p-value)

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/01_construction.tex

@@ -20,3 +20,6 @@ Anderer Test $(T', K')$ mit $\P_{\vartheta_0}[T' \in K'] =: \alpha \leq \alpha^*
 \[
     R(x_1, \ldots, x_n) = \frac{\sup_{\vartheta \in \Theta_A} L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta)}{\sup_{\vartheta \in \Theta_0} L(x_1, \ldots, x_n; \vartheta)}
 \]
+
+% 407
+% TODO: Likelihood-Functions and quotients of common distributions

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/02_examples.tex

@@ -0,0 +1,52 @@
+\subsection{Beispiele}
+\shortexample[Gauss-Test] $\cX_i$ i.i.d. $\sim \cN(\vartheta, \sigma^2)$ unter $\P_\vartheta$ mit bekanntem $\sigma^2$.
+Die zu testende Hypothese ist $H_0 : \vartheta = \vartheta_0$, mögliche alternative Hypothesen $H_A$ sind
+$\vartheta > \vartheta_0$, $\vartheta < \vartheta_0$ (einseitig) oder $\vartheta \neq \vartheta_0$ (zweiseitig).
+Teststatistik ist immer:
+\[
+    T = \frac{\overline{\cX}_n - \vartheta_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim \cN(0, 1) \qquad \text{unter } \P_{\vartheta_0}
+\]
+Kritischer Bereich $K$: $(c_>, \8)$, bzw. $(-\8, c_<)$ für einseitig, $(-\8, -c_{\neq}) \cup (c_{\neq}, \8)$ für zweiseitig (verw. falls $|T| > c_{\neq}$).
+
+\bi{Bestimmung $c$s}: Mit Verteilung von $T$. Bsp: $\alpha = \P_{\vartheta_0}[T > c_>] = 1 - \Phi(c_>)$, folglich $c_> = \Phi^{-1}(1 - \alpha) =: z_{1 - \alpha}$
+
+
+\shortexample[t-Test] $\cX_i$ i.i.d. $\sim \cN(\mu, \sigma^2)$ unter $\P_{\overrightarrow{\vartheta}}$
+mit $\overrightarrow{\vartheta} := (\mu, \sigma^2)$ (und insbesondere $\sigma^2)$ unbekannt.
+Testen wieder $H_0 : \mu = \mu_0$. Teststatistik ist hier:
+\[
+    T = \frac{\overline{X}_n - \mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \qquad S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{k = 1}^{n} (\cX_k - \overline{\cX}_n)^2
+\]
+Kritischer Bereich $K$: $c_> = t_{n - 1, 1 - \alpha}$, $c_< = t_{n - 1, \alpha} = -c_>$ und $c_{\neq} = t_{n - 1, 1 - 0.5 \alpha}$,
+mit $t_{m, \gamma}$ das $\gamma$-Quantil, mit $\P[\cX \leq t_{m, \gamma}] = \gamma$ für $\cX \sim t_m$
+
+
+\shortremark[Zweistichproben-Tests] $\cX_k$ (i.i.d.) und jeweils unabhängig von allen $\cY_l$
+
+
+\shortexample[Gepaarter Zweist. m. N.V.] $\cX_i$ i.i.d. $\sim \cN(\mu_\cX, \sigma^2)$ und $\cY_j$ i.i.d. $\sim \cN(\mu_\cY, \sigma^2)$.
+
+Differenzen $\cZ_k = \cX_k - \cY_k$ unter $\P_\vartheta$ i.i.d. $\sim \cN(\mu_\cX, \mu_\cY, 2\sigma^2)$.
+Wenn nicht unabhängig: $\sim \cN(\mu_\cX - \mu_\cY, 2(1 - \rho) \sigma^2)$ mit $\rho \in (-1, 1)$ Korrelation und $\rho = 0$ Unabhängigkeit.
+
+
+\shortexample[Ungepaart] $\cX_i$, $\cY_j$ wie zuvor ($n$ und $m$ je). 
+
+$z$-Test (falls $\sigma^2$ bekannt):
+\[
+    T = \frac{(\overline{\cX}_n - \overline{\cY}_m) - (\mu_\cX - \mu_\cY)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}}} \sim \cN(0, 1)
+\]
+$\mu_\cX - \mu_\cY$ muss aus $H_0$ bekannt sein. Der kritische Bereich ist wieder Quantile der $\cN(0, 1)$-Verteilung.
+
+$t$-Test (falls $\sigma^2$ unbekannt):
+\[
+    T = \frac{(\overline{\cX}_n - \overline{\cY}_m) - (\mu_\cX - \mu_\cY)}{S \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}}} \sim t_{n + m - 2}
+\]
+mit $S^2_\cY$ analog zu $S^2_\cX$ ($n$ durch $m$ ersetzt)
+\[
+    S^2_\cX = \frac{1}{n - 1} \sum_{k = 1}^{n} (\cX_k - \overline{\cX}_n)^2
+\]
+Dann:
+\[
+    S^2 = \frac{1}{m + n - 2}((n - 1)S_\cX^2 + (m - 1)S_\cY^2)
+\]

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/03_p-value.tex

@@ -0,0 +1,22 @@
+\subsection{p-Wert}
+Für Stichprobe $\cX_i$ ($n$ el.) testen $H_0 : \vartheta = \vartheta_0$ gegen eine $H_A : \vartheta \in \Theta_A$.
+
+$p$-Wert ist W unter $H_0$ einen mind. so extremen Wert für $T$ zu bekommen wie $T(\omega) = t(x_1, \ldots, x_n)$ (extrem bezieht sich auf $H_A$).
+Für bspw. $H_A: \vartheta > \vartheta_0$, dann ist $p\text{-Wert}(\omega) = \P_{\vartheta_0}[T > t_0] \Big|_{t_0 = t(\cX_1(\omega), \ldots)}$
+
+\shortdefinition[Geordnete Testsammlung]
+$T$ Teststatistik, Familie von Tests $(T, K_t)_{t \geq 0}$ \bi{geordnet bezgl. $T$}, falls $\forall t$ gilt $K_t \subseteq \R$ und $\forall s \leq t$ gilt $K_s \supset K_t$.
+Typische Beispiele:
+\begin{itemize}
+    \item $K_t = (t, \8)$ (rechtsseitiger Test)
+    \item $K_t = (-\8, t)$ (linksseitiger Test)
+    \item $K_t = (-\8, t) \cup (t, \8)$ (beidseitiger Test)
+\end{itemize}
+
+\shortdefinition[p-Wert] $p\text{-Wert} = G(T) : \Omega \rightarrow [0, 1]$, mit $G(t) = \P_{\vartheta_0}[T \in K_t]$.
+Er ist eine Zufallsvariable, hängt direkt von $x_i$ ab. Wiederholen des Tests generiert neuen $p$-Wert.
+
+Wenn $T$ stetig und $K_t = (t, \8)$, dann gleichverteilt auf $[0, 1]$.
+
+\inlineintuition Besagt, welche Tests $H_0$ ablehnen würden (alle Tests mit $\alpha > p$ lehnen $H_0$ ab). $H_A$ spielt \textit{keine} Rolle.
+Es heisst \textit{NICHT}, dass der $p$-Wert die W \textit{IST}, dass die Hypothese richtig ist.