[PS] Finish continuous distributions

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/02_discrete-rv.tex

@@ -7,7 +7,8 @@
 
 \shorttheorem $(p(x))_{x \in W} = \sum_{x \in W} p(x) = 1$
 
-\shortremark $\forall (p(x))_{x \in W} \; \exists$ eine Z.V. mit dieser Verteilung. Können desh. schreiben: ``Sei $\cX$ disk. Z.V. mit Verteilung $(p(x))_{x \in W}$''
+\shortremark $\forall (p(x))_{x \in W} \; \exists$ Z.V. mit dieser Verteilung. Können desh. schreiben:
+``Sei $\cX$ disk. Z.V. mit Verteilung $(p(x))_{x \in W}$''
 
 
 \subsubsection{Zusammenhang Verteilung, Verteilungsfunktion}

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/04_cont-dist.tex

@@ -5,7 +5,7 @@ $f_\cX$ ist Dichte (pdf) von $\cX$
 
 % \shortdefinition[Stückw. st. diff. F.] TODO: Consider adding this, Slides Chapter 3, P56
 
-\shorttheorem Sei $F_\cX$ st. stückw. diff. auf Partition $-\8 = x_0 < x_1 \ldots < x_n = \8$.
+\shorttheorem Sei $F_\cX$ st. stückw. diff. auf Partition $-\8 = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = \8$.
 Dann $\cX$ stetig, mit $a_k$ beliebig und
 \[
     f_\cX = \begin{cases}

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/05_cont-distributions/00_eq.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\subsection{Stetige Verteilungen}
+
+\subsubsection{Gleichverteilung}
+
+\shortdefinition $\cX \sim \cU([a, b])$, f
+$f_\cX = \begin{cases}
+        \frac{1}{b - a} & x \in [a, b] \\
+        0               & \text{sonst}
+    \end{cases}$
+
+\shortremark $\P[\cX \in [c, c + l]] = \frac{l}{b - a}$,
+$F_\cX(x) = \begin{cases}
+        0                   & x < a           \\
+        \frac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\
+        1                   & x > b
+    \end{cases}$

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/05_cont-distributions/00_normal.tex

@@ -1,5 +0,0 @@
-\subsection{Stetige Verteilungen}
-\shortdefinition[Gleichverteilung] $\cX \sim \cU([a, b])$, falls $f_\cX = \begin{cases}
-    \frac{1}{b - a} & x \in [a, b] \\
-    0               & \text{sonst}
-\end{cases}$

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/05_cont-distributions/01_exp.tex

@@ -0,0 +1,15 @@
+\subsubsection{Exponentialverteilung}
+{\scriptsize Wie Geomemtrische Verteilung warten auf Erfolg}
+
+\shortdefinition $\cX \sim \text{Exp}(\lambda)$, falls
+$\forall x \in \R f_\cX(x) = \begin{cases}
+        \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
+        0                      & x < 0
+    \end{cases}$
+
+\shortremark[Gedächtnisl.] $\P[\cX > t + s | \cX > s] = \P[\cX > t]$
+
+\shortremark[Verteilungsfunktion] $F_\cX(x) = \begin{cases}
+    1 - e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
+    0                  & x < 0
+\end{cases}$

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/05_cont-distributions/02_cauchy.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+\subsubsection{Cauchy-Verteilung}
+\shortdefinition $\cX \sim \text{Cauchy}(x_0, \gamma)$, falls $\displaystyle f_\cX(x) = \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{\gamma^2 + (x - x_0)^2}$
+
+\shortremark[Verteilungsfunk.] $\displaystyle F_\cX(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan \left( \frac{x - x_0}{\gamma} \right)$
+
+\shortdefinition[Langschwänzige Verteilung] für $|x| \rightarrow \8$ nur sehr langsam gegen $0$ (quadratisch vs. exponentiell bei Norm. V)

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/05_cont-distributions/03_normal.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\subsubsection{Normalverteilung}
+\shortdefinition $\cX \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ falls $f_\cX(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{\frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2}$,\\
+mit $\sigma$ Standardabweichung. Auch: Gauss'sche Verteilung
+
+\shortdefinition[Standardnormalverteilung] $\cX \sim \cN(0, 1)$:\\
+$f_\cX = \varphi$ und $\F_\cX = \Phi = \int_{-\8}^{x} \varphi(t) \dx t = \frac{1}{\sqrt{2\phi}} \int_{-\8}^{x} e^\frac{-t^2}{2} \dx t$
+
+\shorttheorem $cX \sim \cN(\mu, \sigma^2)$, dann $\frac{\cX - \mu}{\sigma} \sim \cN(0, 1)$, also:
+\[
+    F_\cX(x) = \P[\cX \leq x] = \P\left[ \frac{\cX - \mu}{\sigma} \leq \frac{x - \mu}{\sigma} \right] = \Phi \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)
+\]
+
+\shortexample für Phänomene modellierbar mit Normalverteilung:
+\begin{itemize}
+    \item Streuung von Messwerten um Mittelwert
+    \item Grösse und Gewicht der Bevölkerung
+    \item Renditen von Aktien
+\end{itemize}
+
+\shortremark Für $\cX_i \sim \cN(\mu_i, \sigma_i^2)$ unabhängig gilt:
+\[
+    \cY := \mu_0 + \sum_{k = 1}^{n} a_k \cX_k \sim \cN\left( \mu_0 + \sum_{k = 1}^{n} a_k \mu_k, \sum_{k = 1}^{n} a_k^2 \sigma_k^2 \right)
+\]
+
+\shortremark Für $\mu \in \R, \sigma^2 > 0$ und $\cZ \sim \cN(0, 1)$ gilt\\
+$\mu + \sigma \cZ \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ (nützlich für Simulation)
+
+\shortremark $\P[|\cX - \mu| \geq 3\sigma] \leq 0.0027$